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二次函数中寻找等腰三角形问题
1．如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G,且∠AGO=30°。
(1)点C、D的坐标
(2)求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；
(3)将(2)中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E。平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

3．已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（－3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l1、抛物线、直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；
（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标：

4．如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．

（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由．

5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（14,0）和C（0，－8），对称轴为x＝4．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．

6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

7．如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．

8．在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物
线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段
AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

10．如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为以AC为腰的等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

精选范本
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参考答案
1．【解析】（1）根据题意可得点C的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点C的横坐标，继而也可得出点D的坐标；
（2）由题意可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称，从而得出抛物线的对称轴为，再由抛物线的顶点在直线，可得出顶点坐标为()，设出顶点式，代入点C的坐标即可得出答案．
（3）分EF=EG、GF=EG、GF=EF三种情况分析。
解：(1)C(4，)，D(1，)；
(2)顶点()，解析式；
(3)EF=EG
GF=EG
GF=EF
3．解：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，∴，∴点C的坐标是
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入
函数解析式得
所以，抛物线的函数解析式为；
（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．

（3）当点M的坐标分别为时，△ MCK为等腰三角形．

（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2，），
又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，
∴△CGK为正三角形
∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，），
（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，
∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，），
（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，
但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，
综上所述，当点M的坐标分别为时，△MCK为等腰三角形．
4．（1）设y=ax（x﹣4），把A点坐标（3，3）代入得：a=﹣1，
函数的解析式为y=﹣x2+4x， …………………………………………………4分
（2）0＜m＜3，PC=PD﹣CD=﹣m2+3m，=﹣+，……………… 6分
∵﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，
当D（，0）时，PCmax=，…………………………………………………8分
（3）P的坐标是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．
………………………………………………………………………12分
（3）简单解答过程如下：
当0＜m＜3时，仅有OC=PC，∴，解得，
∴；
当m≥3时，PC=CD﹣PD=m2﹣3m，OC=，
由勾股定理得：OP2=OD2+DP2=m2+m2（m﹣4）2，
①当OC=PC时，，
解得：，
∴；
②当OC=OP时，，
解得：m1=5，m2=3（舍去），
∴P（5，﹣5）；
③当PC=OP时，m2（m﹣3）2=m2+m2（m﹣4）2，
解得：m=4，
∴P（4，0），
存在P的坐标是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．
5．（1）；
（2）存在，理由如下：

综上所述：存在5个M点，即
6．【解析】解：（1）由抛物线过A（－3，0），B（1，0），则
，解得 。
∴二次函数的关系解析式为。
（2）设点P坐标为（m，n），则。
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N。

PM =， ，AO=3。
当时，，所以OC=2。
111

∵＜0，∴函数有最大值，当时，有最大值。
此时。
∴存在点，使△ACP的面积最大。
（3）存在。点。
7．【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，∴A、D关于抛物线的对称轴对称。
∵E是AB的中点，∴O是矩形ABCD对角线的交点。
又∵B（2，1），∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）。
∵抛物线的顶点为（0，0），∴可设其解析式为：y=ax2，则有：4a=﹣1，a=﹣。
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2。
（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，﹣a2），而R（a，1）、F（0，﹣1），
则：PF=
PR=，
∴PF=PR。
②∵RF=，∴若△PFR为等边三角形，则由①得RF=PF=PR，得：
=，即：a4﹣8a2﹣48=0，得：a2=﹣4（舍去），a2=12。
∴a=±2，﹣a2=﹣3。
∴存在符合条件的P点，坐标为（2，﹣3）、（﹣2，﹣3）。
③同①可证得：QF=QS。

在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）。
同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）。
∵QS⊥BC、PR⊥BC，∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°。
∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°
∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形。
（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式。
（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证。
②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可。
③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状。
8．【解析】解：（1）B（3，0），C（0，）。
∵A（—1，0）B（3，0）
∴可设过A、B、C三点的抛物线为 。
又∵C（0，）在抛物线上，∴，解得。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。
（2）①当△OCE∽△OBC时，则。
∵OC=， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴。∴x=2。
∴当x=2时，△OCE∽△OBC。
②存在点P。
由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。
∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。
∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。
∵C（0，），∴M（2，）。
过M作MN⊥x轴于点N（2，0），

∴MN=。 ∴ EN=1。
∴。
若△PEM为等腰三角形，则：
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。
ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2) 。
ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1，)
∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，
△EPM为等腰三角形。
（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。
（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。
②求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。
9．解：（1）当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时，
MP⊥AB，∵∠A=60°，∴AP=4，∴。（2分）

（2）∵AP=，∴BP=
又∵∠B=30°，∠PMB=600°，∴∠BPM=90°
tan∠B=
∴，即等边△PMN的边长为.（4分）
（3）①当时，如图AP=，∴

∴，∴，
∴.
过F作FQ⊥0B于Q，则QN=4，∴EF=OQ=.
等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积，设为S1，
∴
∵＞0，∴S1随t的增大而增大，
∴t=1时，，∴S1的最大值为.（7分）
②当＜t＜2时，如图

在△EGK中，GE=，∴EK=，
∴S△GEK=.
∴等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积与△EGK的面积差，设为S2，
∴.
∵，对称轴为，
∴时，的最大值为.（9分）
当时，。
综上可知：当时，S的最大值为.（10分）
（4）过R作RH⊥OB于H，RH=，HN=4，

OH=，OD=12，DH=，
①OR=OD=12时，，
∴，，∴＞2，不合题意舍去。
②DR=OD=12时，，
∴，∴＞2，或＜0，都不合题意舍去。
③OR=DR时，H为CD中点，OH=6，∴，∴。
综上所述，时，△ODR是等腰三角形。（12分）
10．【解析】（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)
∴ 解得： b=－ c=－1 (2分)
∴二次函数的解析式为 (1分)
（2）设点D的坐标为（m，0）， （0＜m＜2）
∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得，
∴ ∴DE= (1分)
∴△CDE的面积=××m== (2分)
当m=1时，△CDE的面积最大，此时点D的坐标为（1，0） (1分)
（3）存在.
由(1)知：二次函数的解析式为
设y=0则 解得：x1=2 x2=－1，∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）
设直线BC的解析式为：y=kx＋b
∴ 解得：k=-1 b=-1，∴直线BC的解析式为: y=－x－1
在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1，由勾股定理得：AC=
∵点B(－1,0) 点C（0，－1），∴OB=OC ∠BCO=450. (1分)
①当以点C为顶点且PC=AC=时，
设P(k, －k－1),过点P作PH⊥y轴于H，

∴∠HCP=∠BCO=450，CH=PH=∣k∣，在Rt△PCH中
k2+k2= 解得k1=， k2=－
∴P1（，－） P2（－，）(3分)
②以A为顶点，即AC=AP=
设P(k, －k－1),过点P作PG⊥x轴于G，

AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣
在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2，（2－k)2+(－k－1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍) ∴P3(1, －2) (3分)
（3）AP=CP，此时AP²=CP²
2X²-2X+5=2X²
-2X=-5，X=2.5
代入BC方程，Y=-3.5 因此P4（2.5，-3.5）
综上所述，存在四点：P1（，－）P2（-，）P3(1, -2) P4(,-).
（1）用待定系数法求得二次函数的解析式
（2）设点D的坐标为（m，0）， （0＜m＜2），由△ADE∽△AOC得，
从而求得DE的长，通过△CDE的面积公式求得当m=1时，△CDE的面积最大，即可求出点D的坐标
（3）求出直线BC的解析式，若三角形为等腰三角形，则有三种可能，利用勾股定理从而求得P点的坐标
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