经验分布函数及其应用.doc

(完整word)经验分布函数及其应用
经验分布函数及其应用
经验分布函数定义
定义:设是总体(离散型、或连续型，分布函数F（x)未知）的n个独立观测值，按大小顺序可排成 。若 ，则不超过x的观测值的频率为函数,就等于在n次重复独立试验中事件的频率。

我们称此函数 为总体的经验分布函数或样本分布函数.

简单性质：
1.对于每一组观测值 ，单调，非降，左连续且在点有间断点，在每个点的跳跃值都是 。
2.显然，具有分布函数的其他性质.
3.为样本的函数，是一统计量，即为一随机变量，由于相互独立且有相同的分布函数，因而它等价于n次独立重复试验的伯努利概型中事件发生k次其余 次不发生的额概率，即有：

4。格列汶科定理
设总体 的分布函数为 ,经验分布函数为，对于任何实数x，记

则有
其中 也为一统计量用来衡量与之间在所有的x的值上的最大差异程度，格列汶科定理证明了统计量以概率为1地收敛于0，也就是如下所要说的经验分布函数的收敛性问题。

经验分布函数的收敛性
经验分布函数在统计中有着非常重要的作用， 是理论分布函数与实际数据间的桥梁, 本科教材中已经指出， 当样本容量足够大时, 经验分布函数依概率收敛于总体分布函数，所以， 统计推断才得以以样本为依据， 而得到合理的结果.而事实上, 经验分布函数与总体分布函数还有更进一步的收敛关系, 下简单介绍之

我们采用R语言中ecdf（stats）函数，ecdf(）所属R语言包：stats，
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plot（ecdf(c（rnorm（10000)）)，
do.points=FALSE, verticals=TRUE，main = ”模拟正态分布的经验分布函数”)

mtext("样本容量为10000",side=3,line=0）

以下用的是采用数学方法画出经验分布函数的代码：
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dat=rnorm（10000）
x=density(dat）＄x
dx=diff(density(dat)$x）[1]
y=density（dat）$y
plot(x,cumsum（y*dx），main = "模拟正态分布的经验分布函数")
mtext("样本容量为10000”,side=3，line=0)

经验分布函数是一个随机变量,而经验分布函数的观测值就是普通意义上的分布函数,它具有分布函数的一切性质。