微分几何(A).doc

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装 订 线

（ 2009 至 2010 学年 第 一 学期 ）
课程名称： 微分几何 考试时间： 110 分钟
课程代码： 7103380 试卷总分： 100 分
考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 不允许
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总分
得分

评卷
教师

一、 填空题：（每小题2分，共20分）
1. 非零向量具有固定长，则=_______________.
2. 曲线在t=1处的切向量是__________________________.
3. 圆柱螺线在处的法平面方程是__________________________
4. 空间曲线在t = 2处有，则曲线在t = 2处的曲率
k(2) = ________________.
5. 曲面上的曲线，如果它在每一点的____ _______ ______，则称其为曲面上的测地线.
6.在空间曲线的切线与固定方向作固定角的曲线是_________________线.
7. 在欧拉公式中，是________ ______ _的夹角.
8. 对于曲面,方程，（t为参数），表示曲面
在正常点的_____________________________.
9. 曲面的三个基本形式与高斯曲率K平均曲率H之间的关系是_______________________________.
10. 曲面上曲线是曲率线的充要条件是__________________________组成可展曲面
二、 选择填空题：(每小题3分，共30分)
1、曲线在P(s)点的基本向量是，曲率为k(s)，则k(s)=_____.
A、 B、 C、 D、
2、若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是________.
A、平面曲线 B、球面曲线 C、一般螺线 D、直线
3、以下说法正确的是_____.
A、法曲率 B、法曲率是曲率向量在主法向量上的投影
C、法曲率是法截线的曲率 D、法曲率的绝对值是法截线的曲率
4、球面的坐标曲线不构成_____.
A、正交的渐近网 B、共轭网
C、曲率线网 D、半测地坐标网
5、以下结论_____不正确.
A、在等距变换下，曲面的第一类基本量和第二类基本量都是不变的；
B、曲面S：的法向量为，如果，则(d)为主方向；
C、曲面上的直线是曲面的渐近线，也是曲面的测地线；
D、设曲面的单位法向量为，曲面的两方向与共轭的充要条件为.
6、曲面的坐标网是共轭网的充要条件是______.
A、F=0 B、M=0 C、L=N=0 D、F=M=0
7、若沿曲面上的曲线(C)恒有法曲率，则曲线一定是_________.
A、渐近线 B、平面曲线 C、曲率线 D、测地线
8、在曲面上一点处高斯曲率K > 0，则曲面在这点有_____.
A、大于零 B、等于零 C、小于零 D、符号不确定
9、下列曲面中，_______不一定是可展曲面.
A、柱面 B、曲面沿曲率线的法线曲面
C、某曲线的切线曲面 D、曲线的副法线曲面
10、曲面上，曲线(C)在P点的基本向量为，曲面在P点的法向量为，则测地曲率kg_______.
A、 B、 C、 D、
三、 解答与证明题：（3题14分，其余各9分）
1、求曲线的曲率和挠率.
2、证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线.
3、设曲面： 求
⑴ 的第一、第二基本形式；
⑵ 在点(1,0,1)处沿任意方向的法曲率；
⑶ 试证的坐标曲线为曲率线.
4、证明挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.
5、试证：如果测地线同时为曲率线，则它一定是平面曲线.
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