曲线和方程优秀教案.doc

《曲线和方程》教案
【课 题】曲线和方程
【教 材】人教版普通高中课程标准实验教科书——数学选修2-1
【教学目标】
◆知识目标：
1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；
2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；
3、学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；
4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
◆能力目标：
1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；
2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；
3、能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识；
◆情感目标：
1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；
2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念
【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程
【教学方法】问题探索和启发引导式相结合
【教具准备】多媒体教学设备
【教学过程】
一、感性认识阶段——以旧带新，提出课题
师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。下面看一个具体的例子：
（出示幻灯片2）
幻灯片2
画出方程表示的直线

借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论：
（出示幻灯片3）
幻灯片3
1、直线上的点的坐标都是方程的解；
2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。
即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。
也即：

（出示幻灯片4，引导学生类比、推广并思考相关问题）
幻灯片4
类比：

推广：

即：任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？
也即：方程的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程表示曲线C，同时曲线C也表示方程？为什么要具备这些条件？

师：以上问题就是本节课研究的内容：曲线和方程（板书课题）。
二、分化本质属性阶段——运用反例揭示内涵
师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？究竞用怎样的关系才能把幻灯片4中的曲线和方程的这种对应关系完整的表达出来？为了弄清这些问题，我们来研究下列问题：
（出示幻灯片5，让学生回答问题，并加以纠正和总结）
幻灯片5
用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？

师：方程⑴、⑵、⑶都不是曲线C的方程。第⑴题中曲线C上的点不全是方程的解；例如点A（－2，－2）、B（，）等不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论。第⑵题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D（2，－2）、E（，）等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论。第⑶题中既有以方程的解为坐标的点，如G（－3，3）、H（，）等都不在曲线上，又有曲线C上的点，如M（－3，－3）、N（－1，－1）等的坐标不是方程的解。事实上，⑴、⑵、⑶中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况。
（出示幻灯片6）
幻灯片6

师：以上我们观察分析了幻灯片3、5中的问题，发现幻灯片3中的问题完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而幻灯片5中的问题不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程。如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了。
三、概括形成定义阶段——讨论归纳给出定义
师：在下定义时，针对幻灯片5中的第⑴个问题“曲线上没有其坐标不是方程的解的点”应作何规定？
生：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”。
师：针对幻灯片5中的第⑵个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？
生：“以方程的解为坐标的点都有是曲线上的点”。
这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：
（出示幻灯片7）
幻灯片7
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。

四、定义强化理解阶段——多种表征、深化内涵
师：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F。请大家思考：如何用集合C和F间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义。
启发学生得出：关系⑴指点集C是点集F的子集；关系⑵指点集F是点集C的子集。
（出示幻灯片8）
幻灯片8
这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：

师：另外从充要条件的角度看，关系⑴或⑵仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。
五、应用和强化阶段——主动参与、合作交流
1、初步应用、突出内涵
（出示幻灯片9，让学生思考后回答下列问题）
幻灯片9
下列各题中，图所示的的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系⑴还是关系⑵？

学生回答：⑴错。不符合定义中的关系⑵，即但FC。
⑵错。不符合定义中的关系⑴，即但CF。
⑶错。不符合定义中的关系⑴和⑵，即CF且FC。
2、变式应用，提升能力
（出示幻灯片10，让学生在练习本上解答以下问题）
幻灯片10
解答下列问题，且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？
⑴点A（3，－4）、B（，2）是否在方程的圆上？
⑵已知方程为的圆过点C（，m），求m的值。

学生回答：⑴依据关系⑴点A在圆上，依据关系⑴点B不在圆上。
⑵依据关系⑵求得m=。
六、小结：
本节课我们通过实例的研究，掌握了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。
曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。
七、作业：
1、教材37页，习题2.1 A组 1、2题。
2、思考题：如果两条曲线的方程和的交点为M（），求证：方程表示的曲线也经过点M。（λ为任意常数）

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