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第四节 方程根的性质
本部分主要解决一元二次方程根的性质的问题，其中包括根的判别式、根与系数的关系(韦达定理）、二次三项式的因式分解。

一、方程的根及其与系数的关系
一元二次方程有实根，两实数根解为x1,x2，则根与系数关系为
,,
二、二次三项式分解
一元二次方程有实数根，两实根为x1,x2，则二次三项式
三、例题分析:
例1. 试确定m的值，使方程
（1） 有两个不同的正根；
（2） 有一正根一负根
（3） 有两个不同的大于1的根;
（4） 两根互为倒数
（5） 一根为另一根的3倍

例2。 若方程只有3个不相等的实根，求a的值

例3. 关于x的两个方程和，其中一个方程的两根是另一个方程的根的倒数,求a、b

例4。 设的两实根为α、β，若以α3、β3为根的一元二次方程仍是,求所有这样的一元二次方程。

习题：
1。 已知方程，不解方程，求作一个新方程，新方程的根分别是原方程各根的平方。

2. 已知α、β是方程的两个实根，试计算：，，

3。 若方程有两个实数根x1，x2，求的最小值

4。 若解分式方程时产生增根，求实数m的取值范围。

5。 当a在什么范围内取值时，方程有且仅有两个相异实根

6。 已知首项系数不相等的两个二次方程及(a、b是正整数）有一个公共根，求的值

7。 求使关于x的方程的根都是整数根的所有整数a

8. 已知方程的根是a、c,方程的根是b、d，其中a、b、c、d为不同的实数，求a、b、c、d的值

课内练习：
一、填空题：
1. 关于x的方程有整数解，则a = ________；
2. 因式分解:_______________;
3. 已知x1，x2是方程的两个实根，则________，________
4。 已知关于x的方程恰有一个实数解，则a = ______；
5. 关于x的二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是____________________;
6。 若x1，x2是方程的两个实根，则的最小值为_____;
7。 已知集合P = {x|}，Q = ｛x｜x<0}，若PÔQ，则a的取值范围是_____；
8. 若关于x的实系数一元二次方程与至少有一个公共的实数根，则a = _________;
二、解答题：
1。 试确定m的值，使
（1)有两个不相等的实数根；
（2）一根为另一根的两倍

2。 已知关于x的方程有两个实根，问：是否存在这样的p，使得两根的平方和为1？若存在,请求出p的值，若不存在,请说明理由

3。 实数a、b、c满足方程组，试求方程的根

4. 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当满足这样条件的三角形只有一个时，试求a的取值范围。