必修四两角差的余弦公式(附答案).doc

(完整word)必修四两角差的余弦公式(附答案)
两角差的余弦公式
［学习目标］　1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2。理解用向量法导出公式的主要步骤。3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算．

知识点一　两角差余弦公式的探究
思考1　如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β）呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明．
答案　不正确．
例如：当α＝，β＝时，cos（α－β）＝cos ＝,
而cos α－cos β＝cos －cos ＝－，
故cos(α－β)≠cos α－cos β；
再如:当α＝，β＝时，cos（α－β）＝cos ＝，
而cos α－cos β＝cos －cos ＝,
故cos(α－β)≠cos α－cos β。
思考2　计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．
①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1；
②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝；
③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0；
④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝.
猜想：
cos αcos β＋sin αsin β＝cos（α－β）;
即：cos（α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
知识点二　两角差的余弦公式C（α－β）:cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
思考　如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，完成下列问题：
（1）P点坐标是(cos α,sin α)，向量＝(cos α,sin α），｜|＝1。
Q点坐标是(cos β,sin β）,向量＝(cos β,sin β），
｜|＝1。
（2)当α为钝角，β为锐角时,α－β和向量与的夹角〈，〉之间的关系是：α－β＝〈，〉；
当α为锐角，β为钝角时，α－β和向量与的夹角<，〉之间的关系是：α－β＝－〈,>；
当α，β均为任意角时，α－β和〈，〉的关系是：α－β＝2kπ±〈,>,k∈Z.
（3)向量与的数量积·＝｜｜||·cos〈，〉＝cos(α－β)；另一方面，与的数量积用点坐标形式表示：·＝(cos α，sin α）·（cos β,sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
从而，对任意角α，β均有cos（α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β。

题型一　运用公式求值
例1　求下列三角函数式的值．
（1）sin ;(2）cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°；
（3）cos(α－45°)cos（15°＋α）＋sin（α－45°)sin（15°＋α）．
解　（1)原式＝cos
＝cos π＝cos＝cos
＝cos cos －sin sin ＝。
(2）原式＝cos（15°－105°)＝cos（－90°)＝0。
（3)原式＝cos[（α－45°）－（15°＋α)］
＝cos(－60°）＝。

跟踪训练1　求下列各式的值．
（1)cos（α－35°）cos（25°＋α）＋sin（α－35°）sin（25°＋α）;
（2).
解　(1)原式＝cos［(α－35°）－（25°＋α）]＝cos（－60°)＝cos 60°＝.
（2）原式＝
＝
＝＝cos 15°＝cos（45°－30°）
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
题型二　给值求值
例2　已知α,β均为锐角，sin α＝，cos(α－β）＝,求cos β的值．
解　因为α∈,sin α＝<，所以0〈α〈,
又因为α－β∈，cos（α－β)＝<，
所以－<α－β〈－，
所以cos α＝＝ ＝，
sin(α－β)＝－＝－ ＝－，
所以cos β＝cos[α－(α－β）］＝cos αcos（α－β）＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝。
跟踪训练2　设cos＝－,sin＝,其中α∈，β∈，求cos .
解　∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝ ＝ ＝，
cos＝ ＝ ＝.
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.

题型三　给值求角
例3　已知cos α＝，cos（α＋β）＝－，且α、β∈，求β的值．
解　∵α、β∈且cos α＝,cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin（α＋β）＝＝。
又∵β＝(α＋β)－α,
∴cos β＝cos[(α＋β）－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin（α＋β)sin α
＝×＋×＝。
又∵β∈，∴β＝.
跟踪训练3　已知cos（α－β)＝－,cos（α＋β)＝，且α－β∈,α＋β∈，求β的值．
解　由α－β∈，且cos（α－β)＝－，
得sin(α－β）＝，
由α＋β∈，且cos(α＋β）＝,
得sin（α＋β)＝－。
cos 2β＝cos［(α＋β）－(α－β)］
＝cos（α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β）sin（α－β）
＝×＋×＝－1.
又∵α＋β∈,α－β∈，∴2β∈.
∴2β＝π，则β＝.

忽视角的范围致误

例4　已知△ABC中，sin（A＋B)＝，cos B＝－，求cos A.
错解一　∵cos A＝cos[（A＋B)－B］＝cos(A＋B）cos B＋sin（A＋B)sin B，
又∵在△ABC中,由cos B＝－，可得sin B＝，
由sin（A＋B)＝可得cos(A＋B)＝，
∴cos A＝×(－)＋×＝。
错解二　∵cos A＝cos(A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B,
在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，
由sin（A＋B）＝可得cos（A＋B)＝±，
∴cos A＝(±)×(－)＋×＝.
错因分析　此类问题应首先确定角的范围，再求值．本题由cos B＝－<0知B为钝角，所以A＋B为钝角．所以cos(A＋B)＝－.
正解　∵在△ABC中，由cos B＝－<0，
∴B为钝角，且sin B＝。
∵B为钝角,∴A＋B为钝角．
∵sin(A＋B）＝可得cos(A＋B)＝－。
∴cos A＝cos［(A＋B)－B]＝cos（A＋B）cos B＋
sin（A＋B）sin B＝－×（－）＋×＝。

1．设α∈，若sin α＝，则cos等于(　　）
A。 B. C．－ D．－
2．计算：sin 60°＋cos 60°＝ 。
3．求cos 105°＋sin 195°的值．

4．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β)的值．

5．已知锐角α、β满足cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β。

一、选择题
1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为(　　）
A．－ B。 C. D．－
2．化简sin（x＋y)sin（x－y）－cos(x＋y）cos（x－y）的结果为(　　）
A．sin 2x B．cos 2x
C．－cos 2x D．－sin 2x
3．若cos（α－β）＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角且α〈β，则α＋β的值为（　　)
A。 B。 C。 D.
4．若α∈(0，π），且cos(α＋)＝，则cos α等于（　　）
A. B。 C. D.
5．cos 165°等于（　　）
A。 B. C．－ D．－
6．若sin α＋sin β＝1－,cos α＋cos β＝，则cos（α－β）的值为(　　)
A. B．－ C. D．1
二、填空题
7．若cos（α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝ 。
8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0,cos α＋cos β＋cos γ＝0,则cos(α－β)的值是 ．
9．若sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝－，则cos(α－β)＝ .
10．已知α、β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为 ．
三、解答题
11．已知cos α－cos β＝,sin α－sin β＝－，求cos（α－β）．

12．已知：cos(2α－β）＝－，sin（α－2β)＝，且<α<,0〈β〈,求cos（α＋β）．

13．已知α、β、γ∈,sin α＋sin γ＝sin β,cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．

当堂检测答案
1．答案　A
解析　cos＝
＝cos α＋sin α＝＋＝。
2．答案　
解析　原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°
＝cos(60°－30°）＝cos 30°＝。
3．解　cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin（90°＋105°）
＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos（135°－30°)
＝2（cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2＝.
4．解　∵(sin α＋sin β)2＝2，（cos α＋cos β）2＝2，
以上两式展开两边分别相加,得2＋2cos(α－β）＝1，
∴cos(α－β)＝－.
5．解　∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝.
又∵0<α〈,0〈β<,∴－<α－β<.
又∵tan（α－β）＝－<0，∴cos（α－β）＝.
从而sin(α－β）＝tan(α－β）cos(α－β）＝－.
∴cos β＝cos［α－（α－β）]
＝cos αcos(α－β）＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝。

课时精练答案
一、选择题
1．答案　B
解析　cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°）＝cos 30°＝.
2．答案　C
解析　原式＝－cos[（x＋y)＋(x－y）]＝－cos 2x，故选C.
3．答案　C
解析　∵sin(α－β)＝－(－<α－β〈0），sin 2α＝，
∴cos（α＋β）＝cos[2α－（α－β)］
＝cos 2αcos(α－β）＋sin 2αsin(α－β）
＝×＋×＝－,
∵α＋β∈(0，π),∴α＋β＝。
4．答案　C
解析　∵α∈(0,π）且cos（α＋）＝,
∴sin(α＋)＝.
cos α＝cos[(α＋）－］＝×＋×＝.
5．答案　C
解析　cos 165°＝cos（180°－15°)＝－cos 15°
＝－cos(45°－30°)＝－（cos 45°cos 30°＋sin45°sin 30°)
＝－。
6．答案　B
解析　由题意知
①2＋②2⇒cos(α－β）＝－.

二、填空题
7．答案　
解析　原式＝2＋2（sin αsin β＋cos αcos β）
＝2＋2cos（α－β）＝。
8．答案　－
解析　由
①2＋②2⇒2＋2（sin αsin β＋cos αcos β)＝1
⇒cos(α－β)＝－.
9．答案　
10．答案　－
解析　∵α、β∈，
∴cos α＝,sin β＝,
∵sin α〈sin β,∴α－β∈.
∴cos(α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝,
∴α－β＝－。
三、解答题
11．解　由cos α－cos β＝两边平方得
（cos α－cos β）2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝.①
由sin α－sin β＝－两边平方得
(sin α－sin β）2＝sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝。②
①＋②得
2－2（cos αcos β＋sin αsin β)＝.
∴cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos(α－β）＝.
12．解　因为<α<，0<β〈,所以<2α－β〈π.
因为cos(2α－β)＝－，所以〈2α－β〈π.
所以sin（2α－β）＝.
因为<α<，0〈β〈，所以－〈α－2β<.
因为sin（α－2β)＝,所以0〈α－2β〈，
所以cos（α－2β)＝，
所以cos（α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β）］
＝cos(2α－β)cos（α－2β)＋sin(2α－β)sin（α－2β）
＝－×＋×＝0。
13．解　由已知,得
sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.
平方相加得（sin β－sin α)2＋(cos α－cos β）2＝1.
∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α）＝，
∵α、β、γ∈，∴β－α∈,
∴β－α＝±。
∵sin γ＝sin β－sin α>0,
∴β〉α，∴β－α＝.