第三节曲面及其方程教案.doc

重庆科创职业学院授课教案
课名：高等数学（工本0023） 教研窒： 数理教研室
班级： 编写时间：

课题：
第四节 空间曲面及其方程
教学目的及要求：
知道旋转曲面、柱面，了解常见的二次曲面的方程及图形。介绍空间曲线的各种表示形式。是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。
教学重点：
1.旋转曲面、柱面
2.空间曲线的一般表示形式
3.空间曲线在坐标面上的投影
教学难点：空间曲线在坐标面上的投影
教学步骤及内容 ：
一、 曲面方程的概念
曲面S和三元方程F(x,y,z)=0满足：
（1）曲面S上的任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0；
（2）不在曲面S上的点的坐标不满足方程F(x,y,z)=0；
那么称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程，曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形（见课本P159页图9.23）
我们通常知道平面方程式关于x,y,z的三元一次方程，所以平面是曲面的特殊情形，本节讨论一些常见的含x,y,z的二次方程所表示的曲面，称之为二次曲面。
二、 球面
建立以为球心，R为半径的球面方程。
设M(x,y,z)是球面上的任意一点（见图9.24），则有
旁批栏：

而
所以
这就是以点为球心，R为半径的球面方程。
当时，得球心在原点，半径为R的球面方程为

三、柱面
动直线l沿给定曲线C平行移动所形成的曲面，称为柱面。直线l称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。
我们只讨论准线在坐标面内，母线平行于坐标轴的柱面。建立以xoy面上的曲线C；f(x,y)=0为准线，母线平行于z轴的柱面方程。
设M(x,y,x)是柱面上的任意一点，过点M的母线与xoy面的交点N一定在准线C上（见图9.26）。点N的坐标为（x,y,0）;不论点M的竖坐标z取何值，它的横坐标x和纵坐标y都满足方程f(x,y)=0,因此所求柱面方程为
f(x,y)=0
在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示一条平面曲线，在空间直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示以xoy面上的曲线；为准线，母线平行于z轴的柱面。
类似地，方程h(y,z)=0表示以yoz面上的曲线为准线，母线平行于x轴的柱面；
方程g(x,z)=0表示以xoz面上的曲线为准线，母线平行于y轴的柱面。

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四、 旋转曲面
平面曲线C绕同一平面上定直线l旋转一周所形成的曲面，称为旋转曲面。定直线称为旋转轴。
建立yoz面上的一条曲线C:f(y,z)=0,绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程（见图9.31）
设M(x,y,z)为旋转曲面上的任一点，过点M做平面垂直于Z轴，交z轴于点P(0,0,z),交曲线C于点由于点M可以由点绕z轴旋转得到，因此有

因为所以

又因为在曲线C上，所以,将（9.4.1）,(9.4.2)代入上式，即得旋转曲面方程
可见，求平面曲线f(y,z)=0绕z轴旋转的旋转曲面方程，只要将f(y,z)=0中的y换成而z保持不变，即得旋转曲面方程。
同理，曲线f(y,z)=0绕y轴旋转的旋转曲面方程为
五、 几种常见的二次曲面
1） 椭球面
2） 单叶双曲面
3） 双叶双曲面
4） 椭圆抛物面
双曲抛物面

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双曲抛物面（鞍形曲面）方程为
（p与q同号）
当p >0， q >0时，其形状如图所示。
3．双曲面
单叶双曲面方程为

双叶双曲面方程为

各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。

小结与思考：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)，了解方程对应的图形形状，并利用截痕法简单地描出图形。

作业：见作业本7.3

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