数学实验概率论与数理统计分册习题1.doc

数学实验
概率论与数理统计分册习题

第1章 古典概率
2．碰运气能否通过英语四级考试
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等.除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D四个选项.这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么，靠运气能通过英语四级考试吗?
解：假设学生作文得满分,即15分，85道选择题每道题都靠蒙，即每道题做对的概率为1/4，得60分则通过考试。
则该同学通过考试的概率为:
P=
〉> nchoosek（85，40)＊（1/4)^45＊(3/4）^40
ans =
2。3448e-008
即:
由此可见，即使该同学作文满分,靠运气通过考试的概率也是如此的低，所以可以认为靠运气不能通过英语四级考试。

3。在区域H＝{(x，y)| （x，y）∈Q，x2+y2≤1｝，Q＝｛(x,y）｜0≤x≤1，0≤y≤1}上考虑计算二重积分（利用Monte—carlo法）：

解：积分区域如右图所示：
〉〉 n = 10000； ％ 模拟次数
x = rand(n,1)； % 点的x坐标
y = rand(n,1); % 点的y坐标
m = sum(sin(x+y)./（x+y） & x。^2 + y。^2 〈= 1）;
Vn = m/n % 落到所求面积内的点的频率,
即概率的模拟值
Vn =
0。7891
第2章 随机变量及其分布

4．公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会在0。01以下的标准来设计的。根据统计资料,成年男子的身高X服从均值为168厘米，方差为7厘米的正态分布，那么车门的高度应该至少设计为多少厘米？
解：
>> norminv(0.99, 168, 7)
ans =
184.2844
则车门的高度应该至少设计为184.3厘米

5．某研究中心有同类型仪器300台，各仪器工作相互独立，而且发生故障的概率均为0。01，通常一台仪器的故障由一人即可排除.试问：（1）为保证当仪器发生故障时，不能及时排除的概率小于0.01，至少要配多少个维修工人?(2）若一人包修20台仪器,仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？(3）若由3人共同负责维修80台仪器，仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？
解： （1） 设X表示300台仪器中发生故障的台数，则X B（300,0。01）,设b为需要配备的维修工人数，则应有P{X 〉 b｝≤0。01,即
,由于n=300较大,p=0.01较小，根据泊松定理,可以用λ=np=3的泊松分布近似计算。用Matlab计算:
>〉 poissinv（0.99，3）

ans =

8
所以为达到要求至少需配备8名维修工人。
        （2）设Y表示20台仪器中发生故障的台数,则Y ～B（20,0.01）.若在同一时刻发生故障的仪器数Y≥2，则一个工人不能维修，此概率为，用Matlab计算：

>〉 1-0。99^20—nchoosek（20,1）＊0.01*0.99^19

ans =

0.0169
则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0169。
(3)设Z表示80台仪器中发生故障的台数,则Z~B（80，0.01)。若在同一时刻发生故障的仪器数Z≥4，则由三个工人共同负责保修时不能及时维修，此概率为

用Matlab计算:
〉〉 1-0.99^80—nchoosek（80，1)*0.01＊0.99^79—nchoosek（80，2)*0.01^2*0.99^78—nchoosek(80,3）*0。01^3*0.99^77

ans =

0。0087
则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0087.

6.某糖果生产厂将产品包装成500克一袋出售，在众多因素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从正态分布N(m，b2),其中b已知，m可以在包装时调整，出厂检验时精确地称量每袋重量，多余500克的仍按500克一袋出售,因而厂家吃亏；不足500克的降价处理，或打开封口返工,或直接报废，这样厂方损失更大,问如何调整m的值使得厂方损失最小？
解：假设b=1
【实验方案】
1．设定x为产品包装后的重量，依题意x为一随机变量，且服从正态分布N(m，b2），概率密度函数为:
，（－∞<x<＋∞），b>0为已知,m待定.
当成品重量M给定后,记:
P＝P（x≥M）＝
P'＝P（ x<M） ＝
故而有 : P＋P’＝1
由以上分析,可将上式的第一项作为目标函数J（m):
J(m）＝，P（m）表示概率P＝P(x≥M)是m的函数
分析题意可知，厂方损失Y由两部分组成：
（1）x≥L时，多余部分，重量为（x－L)；
（2）x〈L时，整袋报废，重量为x；
Y＝＝m－MP
2．上式中的Y即为没生产一袋糖果所损失的平均重量，所以生产N袋糖果，得到N P袋成品，损失总重量为（mN－MN P),因此每得到一袋成品所损失糖果的平均重量J1为：
J1＝

3．求函数J(m)的最小值点即可。
4．问题的简化：设F(x)为正态分布N（m，b2）的分布函数，Φ(x）为标准正态分布的分布函数,则,
J（m)＝＝＝
令c＝，d＝，z＝d－c则上式可简化为:
J（z）＝
【实验过程】
1．生成目标函数：
在Matlab的Medit建立文件Jmin．m：
function J=Jmin(m)
J=m/（1-normcdf( (500-m），0，1));
2．画目标函数的图形：
在Matlab的Medit窗口建立文件figer．m：
for m=5000:0.001：510
J=Jmin(m）;
plot（m,J)
hold on
end
运行结果为:
从目标函数的图形可以看出，函数在500到505内取得最小值,而且当自变量向500逼近时,函数图像值急剧上升，自变量从503开始以后，函数图像接近于一条直线.
3．目标函数的最小值和最小值点的计算：
在Matlab的Medit建立文件minwaste．m：
min=600；
minm=0;
for m=500：0。001：530
J=Jmin(m);
if J〈=min
min=J;
minm=m;
end
end
wasteaverage=min—500;
minm，min,wasteaverage
运行后运行结果为：
minm =

503。2570

min =

503.5405

wasteaverage =

3。5405
即当m=503.2570时，目标函数值最小，最小值为503.5405,此时，生产一袋成品所损失糖果的平均重量J1 =3.5405.

第3章　随机变量的数字特征
1．设有标着1，2，…，9号码的9只球放在一个盒子中，从其中有放回地取出4只球，重复取100次，求所得号码之和X的数学期望及其方差.
解：在MATLAB命令窗口输入：
>〉 n = 100；
sele = [];
for ii = 1:n
sort = randperm（9);
sele(：，ii） = sort(1：4)；
end
sigma = sum（sele)；
Ex = mean（sigma）， Dx = var(sigma）
输出结果为：
Ex =

19。7000

Dx =

15.5051

2．假定国际市场上每年对我国某种出口商品需求量是随机变量（单位：吨），它服从[2000， 4000]上的均匀分布.如果售出一吨，可获利3万元,而积压一吨，需支付保管费及其它各种损失费用1万元，问应怎样决策才能使收益最大？
解：每年生产该商品x吨，收益为y，故y与需求量有关,也于生产量x有关，即：

而x的密度函数,

通过对求导，令
得到当吨时， 达到最大值8250万元 。

在Matlab命令窗口输入：
〉> syms x z
ita1=3＊x； % x < z
ita2=3＊z-（x—z）; % x〉z
phix=1/2000;
Eita=simplify(int((ita2）＊（phix),z，2000,x）+int（（ita1）*（phix)，z，x，4000））
dif=diff(Eita，x)
x=solve(dif）
E=eval(Eita)
输出结果为
Eita =
7＊x - x^2/1000 — 4000
dif =
7 - x/500
x =
3500
E =
8250

3．某厂生产的某种型号的细轴中任取20个，测得其直径数据如下（单位：mm）：
13。26，13.63，13.13，13.47,13。40，13.56,13.35,13。56，13。38,13.20,
13。48，13.58，13。57，13.37,13。48，13.46，13.51,13.29，13。42，13。69
求以上数据的样本均值与样本方差。
解：在MATLAB命令窗口输入:
X=［13。26，13.63,13.13，13。47,13。40，13。56,13。35，13。56，13。38,13.20，13.48,13.58,13.57，13.37,13。48,13.46,13.51,13.29，13。42，13.69];
j=mean（X)，f=var(X）
输出结果为：
j =
13.4395
f =
0.0211
4．将一枚硬币重复掷n次,并以X，Y分别表示出现正面和反面的次数．求X和Y的相关系数.
解：用MATLAB模仿掷硬币过程，程序如下：
〉〉 n=1000； %试验次数
for i=1：1：n
x（i）=binornd(1, 0。5);
end；
z=sum(x） ％正面朝上次数
f=n-z %反面朝上次数
s=corrcoef(z,f） %相关系数
输出结果：
z =
499
f =
501
s =
1

5．设某小型水电站一天的供电量X(kWh)在[100，200］上均匀分布，而当地人们的需求量Y在［100，250]上均匀分布。设水电站每供电1kWH有利润0。2元；若需求量超过供电量,则水电站可以从电网上取得附加电量来补充，每供电1kWH有利润0.1元。求该水电站在一天内利润的数学期望。
解：由于X，Y独立，可知（X，Y)的联合密度为

利润函数为：

因此，平均利润为：

下面我们确定有效的积分区域，有效的积分区域应该使得,所以得到如下的图形：
D1表示，D2表示Y〉X，所以

在Matlab命令窗口输入:
syms x y
ita1=0.2＊y/15000；
ita2=0。1＊(x+y)/15000；
a=int(int（ita1，y，100，x)，x，100，200)+int(int（ita2，y,x,250），x，100,200）
c=vpa（a，4) %得到4位近似解，也可以任意N位解
输出结果为：
a =
565/18
c =
31。39
6．甲、乙两组各有6位同学参加同一次测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67.这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.08分,B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
解： 这道题是要比较两组的方差大小。
在Matlab命令窗口输入：
>〉A=［95,85,75,65,55，45];
B=[73，72,71，69，68,67］；
EA=mean（A）,StdA=std（A，1）
EB=mean（B)，StdB=std（B,1）
输出结果为:
EA =
70
StdA =
17。0783
EB =
70
StdB =
2.1602

7．将只球（1～号）随机地放到只盒子（１~号）中去，一只盒子装一只球.若一只球装入与它同号的盒子中,称为一个配对,记为总的配对数，求。
解：引进随机变量
i=1，2，…，n
则总配对数为
的分布列为：

1
0
P

E(）= i=1，2,…,n
i=1，2,…，n