数学分析课本(华师大版)-习题及答案十.doc

第十一章 反常积分
一、 填空题
1．=
2．=
3． 其中为常数，当时，这积分 ，当 时，这积分
当这积分收敛时，其值为
4．
5．___________
6．____________
二、 选择填空
1． 则（ ）
A 可以令求得之值
B 可从凑微分求得之值
C 因被积函数在内不连续，不能直接换元
D 因被积函数在内不连续，之值不存在
2．在连续，则（ ）
A收敛，也必收敛，但发散， 不一定发散.
B 发散，也必发散，但收敛，
不一定收敛.
C 与同时收敛或同时发散.
D 收敛，必发散.
3．若，则积分( )
A.0 B. C.是发散的广义积分 D.是收敛的广义积分
4．( )
A. B. C. D. 不存在
5．下列广义积分发散的是( )
A. B. C. D.
三． 计算题
1．计算下列无究限积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）
2．讨论下列无穷限积分的敛散性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
3．讨论下列非正常积分的绝对收敛与条件收敛：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
4．计算下列瑕积分的值：
（1）； （2）；
（3）
5．判别下列非正常积分的敛散性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
6．仿照无究限积分的阿贝耳判别法和狄利克雷判别法，写出瑕积分的相应判别法，并用来讨论下列非正常积分的绝对收或条件收敛：
（1）；
（2）；
7．计算下列瑕积分的值（其中n为自然数）：
（1）； （2）
8．求
9．求
10．求
11．求
12．求
13．求
14．判断下列广义积分的敛散性
（1） （2）
15．判别广义积分的敛散性
16．计算积分
四、证明题
1．假定对取任何正值时收敛，且为连续函数，，证明

2．证明无穷限积分的性质3：若f在任何有限区间[a，A]上可积，且收敛，则也收敛，且
3．证明定理10.22：设定义在上的非负函数f与g在任何有限区间[a，A]上都可积.若在时，则当收敛时，也收敛；当发散时， 也发散.
4．证明：设f，g和h为上的连续函数，且成立不等式

若
5．证明下列等式：
（1）；
（2）
6．举出反例，说明即使绝对收敛，也不能保证

7．证明：若f在上单调，且收敛，则必有
，且，
8．设f在上可导，且与均收敛，证明
9．设f在上一致连续，且收敛，证明：
10．证明瑕积分收敛
11．利用上题结果，证明
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
12．设f与g是定义在上的函数，对任何它们在上均可积，证明：若与收敛，则与也收敛.
五、 考研复习题
1．讨论非正常积分的敛散性，并问取何值时这个积分绝对收敛.
2．计算下列非正常积分的值：
（1），；
（2）；
（3）；
（4）
3．证明不等式：
（1）；
（2）
4．证明下述命题：
（1）设f为上的非负连续函数，若收敛，则也收敛.
（2）设f为上的连续可微函数，且当时f递减趋于零，则当且仅当收敛时，也收敛.
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