思法数学：初升高衔接讲义讲映射与函数的概念.doc

第8讲 映射与函数的概念
一【学习目标】
1.了解映射的概念及表示方法；
2.理解函数的概念，了解简单的分段函数及应用，明确函数的三种表示方法；
3.会求一些简单函数的定义域和值域.
二【知识梳理】
1.映射
引入：复习初中常见的对应关系
（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；
（2）对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（）和它对应；
（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
（4）某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么
就称对应：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“：A→B”.
点拨：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．
（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
（3）设：A→B为从集合A到集合B的一个映射，若：a→b，则b叫做a的象；a叫做b的原象.
2.函数
（1）函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
点拨：① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，是一个数，而不是f乘x．
③函数是特殊的映射.
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域.
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相等（或为同一函数）.即：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
（3）函数的表示方法：解析法、列表法、图象法三种.
三【典例精析】
例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={是数轴上的点}，B=R，对应关系：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={是平面直角坐标系中的点}，对应关系：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B=：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={是新华中学的班级}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生．
思考：将（3）中的对应关系改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应：B→A是从集合B到集合A的映射吗？
例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？
300
450
600
900

1
（2）
A 开平方 B A 求正弦 B
9
4
1
3
－3
2
－2
1
－1

3
4
5
6
（1）

1
2
3
1
2
3
4
5
6
（4）
A 求平方 B A 乘以2 B
1
－1
2
－2
3
－3
1
4
9
（3）

例3.画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素）
已知：（1），对应法则是“乘以2”；
（2）A=＞，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3），对应法则是“求倒数”；
（4）＜对应法则是“求余弦”．
例4．在下图中的映射中，A中元素600的象是什么？B中元素的原象是什么？
A 求正弦 B
300
450
600
900

1

点拨：判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有象，但B中元素未必要有原象；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．
例5.已知函数f(x)=+
（1）求函数的定义域；
（2）求f（－3），f()的值；
（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.
例6.设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
解：由题意知，另一边长为，且边长为正数，所以0＜x＜40.
所以S==（40－x）x（0＜x＜40）
点拨：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
例7.下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y=()2 ; （2）y=() ;
（3）y= ; （4）y=
例8．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数．
点拨：
①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域；
③图象法：是否连线；
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
例9．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
点拨：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
四【过关精练】
一、选择题
1.已知集合，，，映射是从M到N的一个函数，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
x
x
x
x
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
y
y
3
O
O
O
O

3.设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．

4.若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数f(x)对任意x、y满足f(x＋y)=f(x)＋f(y)，且f(2)=4，则f(－1)的值为（ ）
A．－2 B．± C．±1 D．2
6．已知函数f(＋1)=x＋1，则函数f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=x2 B．f(x)=x2＋1(x≥1)
C．f(x)=x2－2x(x≥1) D．f(x)=x2－2x＋2(x≥1)
7．下列各组中，函数f(x)和g(x)的图象相同的是（ ）
A．f(x)=x，g(x)=()2 B．f(x)=1，g(x)=x0
C．f(x)=|x|，g(x)= D．f(x)=|x|，g(x)=
二、填空题
8.已知函数且，则
方程解的个数为
9.设函数则不等式的解集是
10.已知函数,其中是的正比例函数,是的反比
例函数，且,则 .
三、解答题
11.（1）若函数的定义域为，求的定义域；
（2）若函数的定义域为，求函数的定义域.
12.已知函数.
（1）若函数的值域为［0，+∞)时的的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数的值域.
第8讲 参考答案
一.选择题
1．B; 2．C; 3．A; 4．B; 5．A; 6．D; 7．C.
二.填空题
8.3; 9. ; 10. .
三.解答题
11. （1）
（2）
12．解：（1）由或.
（2）对恒有，

，
易知的值域为
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