方程模型策略解决数学问题.doc

方程模型策略解决数学问题

方程,是含有未知数的等式，它不仅是代数的重要内容,也是重要的数学方法，一些表面看来与方程无关的数学问题可以转化成方程问题来解决。在解决数学问题时,有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化,这种解决问题的思想称为方程思想。
方程模型策略就是用方程的思想，从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用定义、公式、定理和已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量的数量关系，转化为方程和方程组等数学模型，从而使问题得以解决的思维方法。
方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用意识，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
很多综合问题,都需要通过构造方程模型来解决。因此我们要引导学生注重两点.
1、在平时的学习中,应该不断强化用方程模型策略解题的意识。
2、要具有正确构建方程模型的能力有些数学问题需要利用方程解决，而正确构建方程模型是关键，因此要善于根据已知条件,寻找等量关系，正确列出方程。
下面我们来学习几种常用的方程模型。
“S = Sl · S2" 型方程模型
模型释义:S,Sl,S2分别表示相互关联的3个量,其中S是Sl,S2的乘积。当然，该模型也可以拓展到多个量乘积的情形。
首先，我们看这样一个问题：
例1 小华的父亲，前年存了年利率为2.43%的；年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税20％后，所得利息正好为小华买了一只价值为486元的电子记事本，你知道小华的父亲前年存了多少钱吗?
（小常识：我国目前对除教育储蓄之外的其他储蓄所产生的利息,征收20％的个人所得税，即利息税.)
分析: 先读懂题意，分清已知量和未知量：小华的父亲用定期储蓄的实得利息为小华买电子记事本；已知量是定期储蓄的期数2年,年利率2。43％，利息税率20％，以及实得利息就是电子记事本的价值486元：未知量是存款数即本金.
其次，探求已知量和未知量的关系，建立相等关系，并根据相等
关系列方程，这是解题的关键环节。
实得利息=本金×利率×期数一利息税,而利息税=本金×利率×期数×20％.所以，相等关系就是：实得利息=本金×利率×期数一本金×利率×期数×20％,或实得利息=本金×利率×期数×(1-20％）.
如此,整个问题的分析过程已经相当清晰,再设出恰当未知数,将相等关系中的有关量用含未知数的代数式表示出来即可得方程.
解：小华的父亲前年存了x元钱，据题意，得
2。43％×2×(1—20%)=486
解方程，得x=12500
答：小华的父亲前年存了12500元钱。
从上面的例子，我们能进一步体会到该模型的实际意义。事实上，
在日常生活中，我们所遇到的很多问题就属于这种模型.比如：
行程问题： 路程=速度×时间；
工程问题： 工作量=工作效率×工作时间；
溶液浓度问题: 溶质=溶液×浓度;
增长率问题: 实际数：基数×(1+平均增长率)；
简单的经济类问题（如利息、利润、打折等等)
实得利息=本金×利率×期数×（1—20％)；
利润=进价×利润率，售价=标价×折数，等等。不再一一枚举。
在了解掌握这种常见模型的基础上，利用该模型构建方程可帮助学生轻松快捷地解决有关问题。当然我们在利用该模型解决实际问题时，也要讲求策略：当问题中的数量关系比较简单时,分析题意用分析法即可.若问题比较复杂时,可结合其他方法(列表法，线段图示法，框图演示法等)进行分析,这样分析理解更显简明，数量与数量之间的关系更显清晰.
例2 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐’'牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“六·一"国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增大盈利，减少库存.经市场 调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利l200元，那么每件童装应降价多少元?
分析：问题的关系较简单，但绝不能掉以轻心。
如果设每件童装应降价X元.则降价销售后，每件盈利：(40-x)元；
每天售出的件数：（20+·8）元 即:(20+2x)元；总盈利数:l200元.
其相等关系是：每件盈利数×售出件数=总盈利数。
于是可得方程:(40—x)（40—2x)=1200。
解：设每件童装应降价x元，据题意，得
（40一x)(40+2x)=1200。
整理，

题意要求尽快减少库存，所以应取x=20。
答：每件童装应降价20元。
“S=Sl+S2”型方程模型
模型释义:S,Sl，S2分别表示一概念下的3个不同量，其中S是S1,S2的和。该模型也可以拓展到多个量之和的情形.
例3 甲、乙两站间的路程为467km，一列慢车从甲站开出，时速为60km，一列快车从乙站开出，时速为85km,且快车先开出25min，两车相向而行，慢车行驶了多少h后两车相遇?
读完问题，如果你能产生一种通过作图来演示运动过程的冲动，那么你实际上就找到了一种分析题意，建立相等关系的好方法。
下面作线段图示来进行分析：

显然可得相等关系:
两站间的路程
快车行驶
的路程
慢车行驶的路程

+ =

如果设慢车行驶了xh后两车相遇，则：
慢车行驶的路程: 60xkm
快车行驶的路程： 84(x+)km
两站间的路程: 467km
于是可行列方程
解略.
该例是行程问题中的相遇问题，其相等关系是：
慢车行驶的路程+快车行驶的路程=两站间的路程。
这是“S=S1+S2”型方程模型的典型例子。
同样地，在生活中还有很多可用这种模型来分析解决的例子：
行程中的追及问题：相距路程+被追及者行驶的路程=追及者行驶的路程：
合作工程问题:甲的工作量+乙的工作量=合工作量；
同溶质液混合问题：甲溶液溶质+乙溶液的溶质=混合溶液的溶质。
等等
运用这种方程模型解决问题也要讲究策略，主要是综合利用各种方式对题意进行分析和理解，力求弄清运动变化的过程。对于大多数的行程问题，都可像例3那样通过作线段图示来揭示其运动规律，从而顺利地理清题目的数量关系,找到解决问题的突破口，迅速找到相等关系并建立起方程模型。
例4 A市和B市分别存有某种机器12台和6台，现决定Z支援C市l0台，D市8台，己知从A市调运一台机器到C市和D市的费用分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C市和D市的费用分别是300元和500元。其中有一种支援方案的总费用是9000元，问这种支援方案中，从B市运往C市的机器是多少台?
乍一看题，问题的关系较复杂，怎样分析题意，理清数量关系呢?还是用作图法(框图演示法），如果设从B市运往C市的机器是x台,请看:

由图所示容易知道其相等关系是

解：设从8市运来C市的机器是X台，据题意,得
400（10一x）+300x+800[12一(10—x)］+500(6—x）=9000,
解方程，可得:x=2。
答：从B市运往C市的机器是2台。
实际上,分析问题的量和量之间的关系也可用列表法,如例
4可以列表为:

机器的台数
运到C市的费用
运到+D市的费用
存量
运到C市
运到D市
A市
12
1 0—x
12-(10—x)
400(10-x)
800[12—(10-x）］
B市
6
x （设)
6—x
300x
500（6-x）

由上表可以看出:利用列表法分析，各对应量的关系非常清楚明
晰.其实，对于同一问题中出现多个对象或多种关系时，常用列表法
对问题的数量关系进行分析。
“Sl=S2”型方程模型
模型释义：S1·S2表示同一量的不同表现方式。
例5一条轮船在两个码头间航行，顺水航行需要6h，逆水航行需要8h，其水流速度是每时2。5km。船在静水中的速度是多少?
这是一个顺水(风）逆水（风）航行问题.
首先，注意两个关系：
1、顺水速度=静水速度+水流速度；
2、逆水速度=静水速度一水流速度。
另外由于轮船在两个码头间往返，于是可得相等关系:
顺水航程=逆水航程
如果设轮船在静水中的速度是xkm/h,可列表：

速度
时间
路程
顺水航行
x +2.5
6
6（x +2.5）
逆水航行
x -2.5
8
8（x —2.5）
解：设轮船在静水中的速度是xkm／h，据题意，
得6（x+2。5) =8(x-2。5）
解方程，得：x =17.5
答：轮船在静水中的速度是l7．5km／h.
像例5 这样的问题也是我们常常遇到的：
顺水（风）行程=逆水(风)行程;
溶液浓度变化前溶质（溶剂）的质量=溶液浓度变化后溶质(溶
剂)的质量.
前面介绍了3种方程模型,以及运用模型进行了解答的示例。其
实，解决应用问题的流程可表述为：

其中从实际问题中抽象出数学本质并建立方程模型是解决问题
的关键：
（1)读懂题意,分清已知量和未知量.
（2)综合运用各种分析方法探求已知量和未知量之间的关系，建立相等关系（方程模型)。
（3)设恰当未知数，将相等关系中的有关量用含未知数的代数式
表示出来，从而得到方程(组）。
总之，宇宙世界,充斥着等量关系。我们知道哪里有等量哪里就有方程。列方程、解方程、和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。因此我们要引导学生加强用方程模型策略解决问题的意识.