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选修2-2 第三章 3.2 3.2.2
一、选择题
1．(2014·郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] ∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．(2014·新课标Ⅱ理，2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
[答案] B
[解析] 本题考查复数的乘法，复数的几何意义．
∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，
∴z1z2＝－1－4＝－5，故选B.
3．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
[答案] A
[解析] 由定义得＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，
∴z＝＝3－i.
故应选A.
4．(2014·洛阳市高二期中)已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是( )
A．z－为纯虚数 B．任何数的偶数次幂均为非负数
C．i＋1的共轭复数为i－1 D．2＋3i的虚部为3
[答案] D
[解析] 当z为实数时A错；由i2＝－1知B错；由共轭复数的定义知1＋i的共轭复数为1－i，C错，故选D.
5．(2014·河北衡水中学二调)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ＝＝＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．
6．(2014·长安一中质检)设z＝＋i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝( )
A．6z B．6z2
C．6 D．－6z
[答案] C
[解析] z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6.
二、填空题
7．(2012·湖南理)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
[答案] 10
[解析] ∵z＝8＋6i，∴|z|＝＝10.
8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.
[答案] 2＋i
[解析] (1＋2i)·＝4＋3i，
＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.
9．(2013·华池一中高二期中)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为________．
[答案] 2
[解析] ∵＝
＝为纯虚数，∴∴a＝2.
三、解答题
10．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
[解析] 设z＝x＋yi (x、y∈R)，
z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由题意得x＝4.∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知解得2<a<6，
∴实数a的取值范围是(2,6)．
一、选择题
11．(2014·开滦三中期中)若复数是纯虚数，则实数a的值为( )
A．2 B．－
C. D．－
[答案] A
[解析] ∵＝＝是纯虚数，∴a＝2.
12．(2014·洛阳市期末)i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
[答案] A
[解析] ∵z＝＝＝＝i，
∴＝－i，∴z＝1.
13．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( )
A．0 B．1
C. D．2
[答案] C
[解析] ∵＝i，
∴z＝，∴z＋1＝＋1＝＝1－i，
∴|z＋1|＝.
14．(2014·石家庄质检)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
[答案] C
[解析] ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
二、填空题
15．设x、y为实数，且＋＝，则x＋y＝__________________.
[答案] 4
[解析] ＋＝可化为，
＋＝，
即＋i＝＋i，
由复数相等的充要条件知
∴∴x＋y＝4.
16．若复数z满足z＋i＝，则|z|＝__________________.
[答案]
[解析] ∵z＝－i＝－3i＋1－i＝1－4i，
∴|z|＝.
三、解答题
17．(2013·华池一中高二期中)把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
18．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等的定义得，
由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x<0，y>0，∴－3≤x<0，∴－6≤a＜0.
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