数学下《元次方程》复习教学案.doc

一元二次方程 复习课
【复习导航】
1、一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程.
2、要判断一个方程是否为一元二次方程，应以上面这三个特点来横量.
3、一元二次方程的一般形式

4、解应用题的一般思路
①审（审题）；
②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）；
③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）；
④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；
⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）；⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.
【知识点汇总】
知识点一：直接开平方法
    利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.一般地，对于形如x=a（a≧0）的方程，根据平平方根的定义，可解的x=，x=-.
知识点二：用因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法的意义：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，如对于方程x-4=0，左边分解因式可得（x+2）（x-2）=0，则必有x+2=0或x-2=0，所以x=-2，x=2，这种解法叫做因式分解法，即利用因式分解法的方法解方程称为因式分解法.

2.因式分解法一元二次方程的一般步骤：

① 将方程的右边化为0
② 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积
③ 令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程
④ 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
知识点三：配方法
把一个一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
知识点四：公式法
1.一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），如果b-4ab≥0，那么方程的两个根为x=-b±/2a.
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做求根公式法.
2.一元二次方程的求根公式的推导过程
一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的过程.
解：a≠0，方程两边都除以a，得x+bx/a+c/a=0
移项，得x+bx/a=- c/a，
配方，得x+2*x*b/2a+（b/2a）=（b/2a）- c/a
即（x+ b/2a）=b-4ac/4a
∵a≠0，∴4a＞0，当b-4ac≥0时，直接开平方，得
x+ b/2a=±/2a
   ∴x=- b/2a±/2a，
    即x=-b±/2a
友情提醒：
⑴一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的.
⑵由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤，减小了计算量，使我们能快速、准确地求出方程的解.公式法是解一元二次方程的通用法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化.
知识点五：灵活运用一元二次方程的四种基本解法解一元二次方程
解一元二次方程，常用的方法有四种：直接开平方法，因式分解法，配方法，求根公式法.这四种方法各有长处，直接开平方法和因式分解法虽然简单易行，但是并非所有的一元二次方程都能用这两种方法来解决；配方法适用于任何一个一元二次方程，但配方法比较麻烦；公式法也适用于任何一个一元二次方程，是解一元二次方程的主要方法，且公式法比配方法简单的多，它直接是用配方法导出的公式.但公式法不如直接开平方法和因式分解法快捷.因此，在解具体方程要根据方程的特征，因题而异，灵活运用适当的解法.
知识点六：一元二次方程根的判别式
    我们知道，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）用配方法可将其变形为（x+ b/2a）=b-4ac/4a，因为a≠0，所以4a＞0，我们可以看出：
⑴b-4ac＞0时，方程右边是一个正数，因此有x=-b+/2a，x=-b-/2a，这样两个不相等的实数根；
⑵当b-4ac=0时，方程右边是0，因此方程有x= x=-这样两个相等的实数根；
⑶当b-4ac＜0时，方程右边是一个负数，而方程的左边（x+）不可能是一个负数，因此方程没有实数根.
由此可知，一元二次方程ax+bx+c=0的根的情况可由b-4ac来判定，这样我们不解方程就可以判断方程根的情况.
知识点七：列一元二次方程解决实际问题
一元二次方程在生活和生产中有着广泛的应用.
在应用一元二次方程解决实际问题时，关键是注意数量关系的分析后找出相等关系.再设适当的未知数列出方程.得到方程的解后，还必须检验是否符合题意.
【知识延伸】
例1 把3x2-7xy-6y2-10x+8y+8分解因式.
解析 原式=3x2-(7y+10)x-(6y2-8y2-8),
令 3x2-(7y+10)x-(6y2-8y-8)=0,
则△=[-(7y+10)]2-4×3×[-(6y2-8y-8)]
=121y2+44y+4
=(11y+2)2≥0.
于是方程两根x1,2=
即x1=3y+2,x2=-
∴原式=3(x-3y-2)(x+)
=(x-3y-2)(3x+2y-4).
点评
二元二次多项式可整理成关于x(或y)的二次三项式进行因式分解,二次三项式又可以通过求关于x(或y)的一元二次方程的根来分解.
例2 已知凸4n+2边形A1A2…A4n+2(n N)各内角都是30°的整数倍,已知关于x的方程
①
②③

均有实根,求这凸4n+2边形各内角的度数.
解析 ∵各内角只能是30°,60°,90°,120°,150°,
∴正弦值只能取,,1.
若sinA1=,∵sinA2≥,sinA3≥,
∴ 方程①的判别式△1=4(sin2A1-sinA2)≤4(-)<0.
方程①无实根,与已知矛盾,
故sinA1≠.
同理sinA2≠,sinA3≠;
若sinA1=,则sinA2≥,sinA3≥,
∴方程①的判别式△1=4(sin2A1-sinA2)=4·(-)<0,方程①无实根,与已知矛盾.
∴sinA1≠,同理sinA2≠,sinA3≠.
综上,sinA1=1,A1=90°.
这样,其余4n-1个内角之和为 4n×180°-3×90°=720°·n-270°,这些角均不大于150°,
∴720°·n-270°≤(4n-1)·150°,故n≤1.
又n为正整数,∴n=1.即多边形为凸六边形,且A4+A5+A6=4×180°-3×90°=450°.
∵A4,A5,A6≤150°,
∴A4=A5=A6=150°.
点评
由于各内角都是30°的整数倍,故只能是30°,60°,90°,120°,150°,根据方程①②③有实根的条件,确定A1,A2,A3的值,再利用多边形内角和定理与每一内角不大于150°,确定多边形的边数,即n的值,以此可得其余各内角的度数,本题应充分考虑方程有实根的条件.
【好题妙解】
例 已知如图,在四边形ABCD中,AD=DC=1,∠DAB=∠DCB=90°,BC、AD的延长线交于点P,求AB.S△PAB的最小值.
解析 设DP=x,则PC=.
∵△PCD∽△PAB,
∴CD:AB=PC:PA.
∴AB=.
设y=AB.S△PAB,则
y=AB2·PA=·(x+1).
x2+2(1-y)x+(1+2y)=0,
∵x是实数,∴方程有实数根.
△=4(1-y)2-4(1+2y)=4y(y-4)≥0,
由于y>0,∴y≥4,
即AB·S△PAB≥4,其最小值为4.
点评
本题是利用判别式解几何题,关键是据已知条件和图形的数量特征,建立一个一元二次方程,然后,由实根存在的条件,使问题得到解决.
【复习小结】
① 一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（+c=0），应选用直接开平方法；若常数项为0（ +bx=0），应选用因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0 (+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
③方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.
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