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个人收集整理 勿做商业用途初中二年级上学期数学笔记 全等三角形一、 概念 、什么叫全等形？ 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 、全等三角形； 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 、全等用符号“”来表示,读做“全等于”。 、两个三角形全等时的写法，一般是把表示对应顶点的字 母写在对应顶的位置上。如下图； A 、D点是对应点。ABCDBC 二、全等三角形的基本性质 1、对应边相等； 2、对应边相等；如下图中；1=2 3=4 5=6 AB=BE FB=CB EF=AC 三、三角形全等的判定(定理） 1、两个三角形 ，三边对应相等；三个对应角相等。 (边边边、角角角） 2、两个三角形 ，两条对应边和它们的夹角相等。 (边角边） 3、两个三角形 ,两角和它们的夹边对应相等.(角边角） 4、两个角和其中一个角的对边对应相等.(角角边） 5斜边和一条直角边对应的两个直角三角形。（斜边,直角边） 四、三角形全等的画法 1、画直线 BC =BC 2、 以直线B点为中心AB之长为半径画圆；3、 以直线B点为中心BC之长为半径画圆；4、 连接B与交点A画直线；5、 连接C与交点A画直线；那么， ABCABC五、三角形相拟题解； 例1 如图:(定理题)己知：ABC中，AB=AD AD是连接点BC的中点，即BD=DC求证：ABDACD解：D是BC的中点 BD=DC在ABD和ACD中AB=AC AD=AD BD=CDABDACD (SSS 三角形三条边相等）全等三角形定理图解一、两个三角形的对应边相等，对应角相等；， 三条对应边相等； AB=AB BC=BC AC=AC三个对应角相等； 1=1 2=2 3=3上述条件六个都具备是全等三角形.即：ABCABC二、满足六个条件中的一部份情况，全等。1、三边对应相等的两个三角形全等： 简写 : 边边边 SSS 2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； BC=AC AB=AC CAB=CAB简写：边角边 SAS3、两角和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；1=2 AC=CD CE=CB简写：边角边 SAS 4、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等； AB=A B CABC=A B C CBA=C B A 简写： 角边角 ASA6、 两个角和其中一个的对边对应相等的两个三角形全等； A=A B=B BC=BC简写：角角边 AAS(用三角形三内角和等于1800证明C=C）6、 直角三角形(Rt)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；简写:斜边 直角边 HL 习题：1、 如图:AB=AD ,CB=CD， ABC与ADC全等吗？为什么?解:己知:AB=AD CB=CD 求证:AC=AC证明：AC是ABC和ADC公共边AC=ACABC与ADC的三条对应边相等。（SSS）ABCADC2、 如图：C是AB的中点，AD=CE CD=BE 求证：ACDCBE 解：己知：AD=CE CD=BE C是AB的中点。AC=CBACD与CBE的三条对应边相等.(SSS)ACDCBE3、 如图： 己知： AB=AC AD=AE 求证: B= C 解：己知AB=AC ，AD=AE A是ABE和ADC的公共角 在ABE和ADC中 ，AB=AC AD=AE A=A ABEADC (SAS) B= C 4、如图把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工作内糟宽的工具（卡钳）在图中要测量工作内糟宽,只要测量什么？为什么？解:己知：AO=OA BO=OBO是ABO和AOB的对顶角。O=O 根据SAS ABOAOBAB=AB答：只要量出AB长度，便知内糟的宽。5、如图 己知： 1=2 3=4 求证：AC=AD证明:ABD中的ABD ABD是18003 , ABC中的ABC是18004 ，而3=4 ABD = ABC （等量相减）又AB是ABC和ABD的公共边，而1=2 ,ABD ABC （ASA)AC=AD6、如图， 从地看A、B两地的视角C是锐角，从C地到A，B两地的距离相等，A到路段BC的距离AD与B到路段AC离BE相等吗？为什么?己知：AB=BC C是锐角。 求证：AD=BE证明：C是ACD和BCE的公同角,ACD的边AC和BCE的边BC相等。即AC=BC ADCBCE (SAS）答：AD=BE7、 如图, 在ABC中,AB=AC AD是髙。 求证： BD=DC BAD=CAD己知：AB=AC AD丄BC 求证： BD=CD BAD=ACD证明：AB=AC AD=AD (公用线）ADC=ADB （直角） ABDADC （SAS）BD=DC8、如图： 己知： AC丄CB DB丄CB求证：BAD=ACD证明:AC丄CB DB丄CB ACB是直角，DBC是直角。CB是RtABC和RtDBC的共同斜边（共边相等）RtABCRtDBC （HL） BAD=ACD9、如图：点B、E、C、F在一条线上，AB=DE AC=DF BE=CF求证：A=D证明：线段上EC段是ABC和DEF同一边上的共同段而BF线上BE和CF分别都是两个三角形中分别相加的等量加等量，两条边相等。BC=EF ABCDEF A=D.10、如图；AC和BD相交于O点，OA=OC OB=OD 求证：DCAB证明：OA=OC OB=ODO是DOC和BOA的项角共点，那么DOC=AOB（对项角相等）ABOBOC 而DC和AB是两个三角形的对应边DCAB11、如图，点B、F、C、E在一条直线上：FB=CE ABED ACFD 求证，AB=DE AC=DF己知：FB=CE ABED AC=FD求证：AB=DE AC=DF证明：ABED ACFD BAC和FDE都是直角。ABCFDE AB=DE AC=DF （直角 斜边) 12、如图:D是AB是的一点DF交AC于E点，DE=FE FCAB AE和CE有什么关系？证明你的结论。己知：D是AB是的一点DF交AC于E点，DE=FE FCAB。求证：AE=CE证明：FCAB DE=FE AED与FED的FEC和AED是直角又是对顶角,FEC=AED RtAEDRtFEC AE=CE13、如图：在ABC中,AB=AC,点D是BC的中点，点E在AD上找出图中的全等三角形并说明它们为什么全等?己知：ABC中，AB=AC D点是BC的中点，E点在AD上。求证：全等三角形有几个。证明：AD是ADB和ADC的共边，并垂直BC。ADBADC 又AB=AC AE是AEC和AFB共边,E点是CE和BE的交点， AEBAEC 在图中ABC中有三对三角形全等。角的平分线的性质1、 什么叫角的平分线? 把一个角用一条直线分成两相等的角这条直线叫角的平分线。2、 角的平分线的性质； 角的平分线上的点到两边的距离相等.在OC上的点E到G、H线距GE=EH在OC上的点D到B、F线距DF=DB 角线内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。证明结论的作法；如：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。如图：AOC=BOC 点P在OC上，POOA PEOB,垂足分别为点D、E.求证:PO=PE证明：POOA PEOB PDO=PEO=900 在PDO和PEO中PDO=PEO AOC=COB OP=OP PDOPEO (AAS）PD=PE全等三角形一章应牢记一、全等三角形判定;1、对应边相等；2、对应角相等；3、边边边相等；4、角角边相等；5、边角边相等；6、角边角相等；7、斜边 直角边相等.二、角的平分线； 1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等;2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 三、证明几何命题时，要按下列步骤进行; 1、明确命题中的己知和求证； 2、根据题意，画出图形并用数学符号表示己知和求证； 3、经过分析,找出由己知推出求证的途径,写出证明过程。例题：如图：ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到三边AB、BC、CA的距离相等.解：根据题意作图作法：1、画一个任意三角形ABC 2、作一条ABC的平分线交于与AC交接于M点； 3、作一条ACB的平分线交于与AB交接于N点； 己知：BM、CN是ABC中，ABC和ACB的两条角平分线,交于P点。 求证：P点到三边AB、BC、CA的距离相等。 证明:过点作PD、PE、PF分别垂直于AB、AC、CA垂足为D、E、F(显出要求证的线段)BM是ABC的角平分线,点P在BM上，PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）同理，PE=PF PD=PE=PF即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。等腰三角形一、 等腰三角形的性质; 1、等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角） 2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的髙相互重合。二、根据等腰三角形性质题解；例一、如图，在ABC中，AB=AC ，点D在AB上，且BD=BC=AD 求，ABC各角的度数. 解：AB=AC BD=BC=AD ABC=C=BDC A=ABO (等边对等角）设 A=x， 则 BDC=A+ABD=2x从而，ABC=C=BDC=2x于是在ABC中有 A+ABC+C=x+2x+2x=1800解得;x=360在ABO中，A=360 ABC=720 C=360三、 等腰三角形的判定； 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对应边也相等；（等角对等边）例二、求证，如果三角形一个外角的平分线平行于三角形一边，那么这个三角形是等腰三角形。 己知：DAE是ABC的外角,1=2,ADBC 求证:AB=AC证明：ADBC 1=3 （与平行线组成的两个角相等)2=C （互为平行组成的角相等）而己知1=2B=C AB=AB 习题：如图：A=360 DBC=360 C=720 求：1，2的度数。并说明图中有哪些等腰三角形。 解：己知：A=360 DBC=360 C=720 求证 ：1,2的度数。证明:A=360 DBC=36 0 C=720 根据ABC三内角之和等于1800 那么， 1800A360C720DBC360=ABD=360ABC=ABD360+DBC360=720B=C ABC是等腰三角形(两角相等两边相等）（等角等边）DBC中BDC=1800C720-DBC360=1 720BDC=DCB BD=AC DBC是等腰三角形。整式的乘法1、 同底数幂的乘法:底数不变,指数相加。aman=am+n (m，n都是正整数） 例 x2X3=x2+3=x5 aa 6=a1 +6=a7 22422=21+4+2=27=256 xX3m=Xm3m+1=x4m+12、 幂的乘方；底数不变,指数相乘. （am）n=am。n（m，n都是正整数） 例 (103）5=1035=1015 (a4）4= a16 （am）2=am2=a2m （x4）3=x43=x123、 积的乘方；等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 (ab）n=anbn （m为正整数）例 (2a）3=23a3=8a3 （5b)3=（5）3d3=125b3 （xy2)2=x2（y2)2=x2y4 （2x3）4=（2）4（x3）4=16x12整式的乘法1、 单项式与单项式相乘，把它们的系数相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 例1、（5a2b）（3a） 2、(2x）3(5xy2） =（5）(3）(a2a）b =8x3（5xy2） =15a2b =8（5）（x3x) =40x4y2 2、 单项式与多项式相乘；就是用单项式去乘以多项式的各项，再把所得的积相加。 例1、（4x2）（3x1) =(4x2）（3x)(4x2）1 =（43）（x2x）（4x2） =12x2 4x2 2、（ab22ab） =ab2（2ab）ab =2b3a2b2 3、多项式与多项式相乘；先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得积相加。 例1、（3x1)(x2） =(3x）x(3x）21x12 =3x26xx2 =3x27x2 2、（x8y）（xy） =x2xy8xy8xy2 =x29xy8y23、（xy）（x2xyy2） =x3x2yxy2x2yxy2y3 =x3y3乘法公式一、 平方差公式； 两个的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (ab）（ab）=a2b2 这个公式叫做平方差公式。 例1、利用平方差公式计算:、(3x2）(3x2）我们可以把3x看成是a，2看成是b。即：(3x2)（3x2）=(3x)222（ab）(ab）=a2b2解:（3x2）（3x2） =（3x）2（2）2 =9x24、(b2a)（2ab) =（2ad)（2ab) （加法交换律） =（2a)2b2 =4a2b2、(x2y）（x2y） =（x）2（2y）2 （乘法交换律) =x24y2说明:只有符合公式的乘法，才能运用公式简化运算,其余运算仍按乘法法则进行。二、 完全平方公式 完全平方公式即两数和（或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们积的2倍。（ab）2=a22abb2 （ab）2=a22abb2这个公式叫做完全平方公式。计算：（ab）2(ab)2 、（ab)2=（ab）（ab)=a2ababd2=a22abb2 、（ab）2=（ab）（ab）=a2ababb2=a22abb2例：利用完全平方公式计算; 、(4mn）2=（4m）22（4m)nn2=16m28mnn2 、（y）2=y22y（）2 =y22y =y2y（注：2、y、=）=y）去括号法则 去括号时，括号前边的号是“”（正）号,去括时,括号内的数的号不变；如果前边的号是“”(负）号，则去括时括号内数的号要变。 如：a（bc）=abc a（bc）=abc 添括号法则 添括号时，括号前边的号是“”（正）号,添到括号里的各项数都不变号；如果前边的号是“”（负）号，添到括号里的各项数都变号。 如:abc=a(bc） abc=abc运用乘法公式计算： 例、(x2y3）（x2y3） 变成乘法公式(ab)（ab）=x（2y3）x（2y3）(通过添括号变型为平方差 =x2（2y3）2 公式a2b2）=x222y3(3）2 变成完全平方公式（a22ab=x212y9 b2）、（abc）2 =（ab)c 添括号变为(ab）2型 =（ab）22（ab）cc2=a22abb22ac2bcc2=a2b2c22ab2bc2ac (按字母顺序排列） 整式除法一、 同底数幂的除法；底数不变，指数相减。 ambn=amn (a0 m、n是正整数 并且mn） 注意：任何不等于0的数的0次幂都等于1。 a0=1 （a0） 二、整式除法； 1、单项式相除,把系数与同底数幂分别作为商的因式,对于只在被除数里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。例：计算；12a3b2x33ab2= 4a2bx3 (123）=4 a3a=a31=a2 b2b2=b22=b x3=x3 4a2bx3、28x4y27x3y=4xy、5a5b3c15a4b=（5）15a54b31c10=ab2c2、多项式除以单项式;先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。例：计算;、（12a36a23a）3a =12a33a6a23a3a3a =4a22a1、(21x4y335x3y272y2）(7x2y） =3x2y25xyxy =3x2y25xyxy 因式分解因式分解，把一个多项式写成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解. 因式分解X21 （x1）(x1） 整式乘法因式分解的方法：1、 提取公因式法：一个多项式里，它的各项都有一个公共的因式我们把这个公共的因式叫做多项式各项的公因式。如：mambmc把一个多项式里公共的公因式提出来分解成两个因式乘积的形式，这种方法叫提取公因式法。如：mambmc=m（abc）例题：、把8a3b212ab3c分解因式；解：提取系数8、12的最大公约数4，字母都有a、b.指数最低a是1，b是2，选定4ab2为公共因式。 8a3b212ab3c=4ab22a24ab23bc=4ab2(2a3bc） 、把2a（bc）3(bc)分解因式； 解：（bc）(2a3)2、 公式法:“ 两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，利用平方差公式来分解因式叫公式法. 整式乘法平方差公式： （a+b）（ab）=a2b2 把它反过来得： a2-b2=（a+b）（a-b）即：两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积。例:分解因式；、4x29解：4x29=(2x）232=（2x+3)(2x-3) 4x2=(2x)2 9=32、（x+p)2(x+q）2 =（x+p）+（x+ q）（x+p)（x+q）=（2x+p+q）（p-q）提示:把（x+p）和(x+ q）各看成一个整体设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2、分解因式；、x4y4 ； 分析：x4y4可以写成（x2）2（y2)2这样就可以利用平方差公式进行因式分解。解：x4y4 =（x2+y2)(x2-y2）=(x2+y2）（x+y）（x-y)、a2b ab； 分析：a2b ab有公因式ab，应先提出公因式,再进一步分解。解：a2b ab=ab（a-1)=ab（a+1）(a-1），提示：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 完全平方差公式：（a+b)2=a2+2ab+b2(a-b）2=a22ab+b2 反过来,就得到；a2+2ab+b2=（a+b）2a22ab+b2=（a-b）2即，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 例1、16x2+24x+9分析：在16x2+24x+9中，16x2=（4x）2 9=32 24x=24x3，所以，16x2+24x+9是一个完全平方式，即； 16x2+24x+9=（4x)2+24x3+32 a2 + 2ab+b2解：16x2+24x+9=(4x）2+24x3+32=（4x+3）2例2、3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2提示：将a+b看作一个整体，设a+b=m则原式化为完全平方式,m212m+36