资源描述
人教版中学七年级下册数学期末解答题压轴题(含答案)
一、解答题
1.如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,正方形的顶点都在网格的格点上.
(1)求正方形的面积和边长;
(2)建立适当的平面直角坐标系,写出正方形四个顶点的坐标.
2.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的,已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米,求正方形纸板的边长.
3.动手试一试,如图1,纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸.我们可以按图2的虚线将它剪开后,重新拼成一个大正方形.
(1)基础巩固:拼成的大正方形的面积为______,边长为______;
(2)知识运用:如图3所示,将图2水平放置在数轴上,使得顶点B与数轴上的重合.以点B为圆心,边为半径画圆弧,交数轴于点E,则点E表示的数是______;
(3)变式拓展:
①如图4,给定的方格纸(每个小正方形边长为1),你能从中剪出一个面积为13的正方形吗?若能,请在图中画出示意图;
②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数.
4.如图,用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形.
(1)则大正方形的边长是___________;
(2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形,能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5:4,且面积为?
5.如图,8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,
(1)每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)
(2)小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布,沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布,用来盖住这块长方形木桌,你帮小明算一算,他能剪出符合要求的桌布吗?
二、解答题
6.如图,直线HDGE,点A在直线HD上,点C在直线GE上,点B在直线HD、GE之间,∠DAB=120°.
(1)如图1,若∠BCG=40°,求∠ABC的度数;
(2)如图2,AF平分∠HAB,BC平分∠FCG,∠BCG=20°,比较∠B,∠F的大小;
(3)如图3,点P是线段AB上一点,PN平分∠APC,CN平分∠PCE,探究∠HAP和∠N的数量关系,并说明理由.
7.已知,,.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,作的平分线交于点,点为上一点,连接,若的平分线交线段于点,连接,若,过点作交的延长线于点,且,求的度数.
8.如图①,将一张长方形纸片沿对折,使落在的位置;
(1)若的度数为,试求的度数(用含的代数式表示);
(2)如图②,再将纸片沿对折,使得落在的位置.
①若,的度数为,试求的度数(用含的代数式表示);
②若,的度数比的度数大,试计算的度数.
9.已知:直线AB∥CD,M,N分别在直线AB,CD上,H为平面内一点,连HM,HN.
(1)如图1,延长HN至G,∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E.求证:2∠MEN﹣∠MHN=180°;
(2)如图2,∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E.
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系: ;
②作MP平分∠AMH,NQ∥MP交ME的延长线于点Q,若∠H=140°,求∠ENQ的度数.(可直接运用①中的结论)
10.已知,点为平面内一点,于.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,过点作的延长线于点,求证:;
(3)如图3,在(2)问的条件下,点、在上,连接、、,且平分,平分,若,,求的度数.
三、解答题
11.已知,点为平面内一点,于.
(1)如图1,点在两条平行线外,则与之间的数量关系为______;
(2)点在两条平行线之间,过点作于点.
①如图2,说明成立的理由;
②如图3,平分交于点平分交于点.若,求的度数.
12.如图1,点O在上,,射线交于点C,已知m,n满足:.
(1)试说明//的理由;
(2)如图2,平分,平分,直线、交于点E,则______;
(3)若将绕点O逆时针旋转,其余条件都不变,在旋转过程中,的度数是否发生变化?请说明你的结论.
13.如图,已知是直线间的一点,于点交于点.
(1)求的度数;
(2)如图2,射线从出发,以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转,当垂直时,立刻按原速返回至后停止运动:射线从出发,以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动,若射线,射线同时开始运动,设运动间为t秒.
①当时,求的度数;
②当时,求t的值.
14.如图1,在平面直角坐标系中,,且满足,过作轴于
(1)求三角形的面积.
(2)发过作交轴于,且分别平分,如图2,若,求的度数.
(3)在轴上是否存在点,使得三角形和三角形的面积相等?若存在,求出点坐标;若不存在;请说明理由.
15.如图1,D是△ABC延长线上的一点,CEAB.
(1)求证:∠ACD=∠A+∠B;
(2)如图2,过点A作BC的平行线交CE于点H,CF平分∠ECD,FA平分∠HAD,若∠BAD=70°,求∠F的度数.
(3)如图3,AHBD,G为CD上一点,Q为AC上一点,GR平分∠QGD交AH于R,QN平分∠AQG交AH于N,QMGR,猜想∠MQN与∠ACB的关系,说明理由.
四、解答题
16.如图,在中,是高,是角平分线,,.
()求、和的度数.
()若图形发生了变化,已知的两个角度数改为:当,,则__________.
当,时,则__________.
当,时,则__________.
当,时,则__________.
()若和的度数改为用字母和来表示,你能找到与和之间的关系吗?请直接写出你发现的结论.
17.如图所示,已知射线.点E、F在射线CB上,且满足,OE平分
(1)求的度数;
(2)若平行移动AB,那么的值是否随之发生变化?如果变化,找出变化规律.若不变,求出这个比值;
(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使?若存在,求出其度数.若不存在,请说明理由.
18.在中,,,点在直线上运动(不与点、重合),点在射线上运动,且,设.
(1)如图①,当点在边上,且时,则__________,__________;
(2)如图②,当点运动到点的左侧时,其他条件不变,请猜想和的数量关系,并说明理由;
(3)当点运动到点的右侧时,其他条件不变,和还满足(2)中的数量关系吗?请在图③中画出图形,并给予证明.(画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑)
19.互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究.
小亮:已知,如图三角形,点是三角形内一点,连接,,试探究与,,之间的关系.
小明:可以用三角形内角和定理去解决.
小丽:用外角的相关结论也能解决.
(1)请你在横线上补全小明的探究过程:
∵,(______)
∴,(等式性质)
∵,
∴,
∴.(______)
(2)请你按照小丽的思路完成探究过程;
(3)利用探究的结果,解决下列问题:
①如图①,在凹四边形中,,,求______;
②如图②,在凹四边形中,与的角平分线交于点,,,则______;
③如图③,,的十等分线相交于点、、、…、,若,,则的度数为______;
④如图④,,的角平分线交于点,则,与之间的数量关系是______;
⑤如图⑤,,的角平分线交于点,,,求的度数.
20.已知ABCD,点E是平面内一点,∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线交于点F.
(1)若点E的位置如图1所示.
①若∠ABE=60°,∠CDE=80°,则∠F= °;
②探究∠F与∠BED的数量关系并证明你的结论;
(2)若点E的位置如图2所示,∠F与∠BED满足的数量关系式是 .
(3)若点E的位置如图3所示,∠CDE 为锐角,且,设∠F=α,则α的取值范围为 .
【参考答案】
一、解答题
1.(1)面积为29,边长为;(2),,,,图见解析.
【分析】
(1)面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积,再利用算术平方根定义求得边长即可;
(2)建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标
解析:(1)面积为29,边长为;(2),,,,图见解析.
【分析】
(1)面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积,再利用算术平方根定义求得边长即可;
(2)建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标即可.
【详解】
解:(1)正方形的面积,
正方形边长为;
(2)建立如图平面直角坐标系,
则,,,.
【点睛】
本题考查了算术平方根及坐标与图形的性质及割补法求面积,从图形中整理出直角三角形是进一步解题的关键.
2.正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答.
【详解】
解:设小长方形的宽为x厘米,则小长方形的长为厘米,即得正方形纸板的边长是厘米,根据题意得:
,
∴,
取正值,可得,
解析:正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答.
【详解】
解:设小长方形的宽为x厘米,则小长方形的长为厘米,即得正方形纸板的边长是厘米,根据题意得:
,
∴,
取正值,可得,
∴答:正方形纸板的边长是18厘米.
【点评】
本题考查了算术平方根的实际应用,解题的关键是熟悉正方形的面积公式.
3.(1)10,;(2);(3)见解析;(4)见解析
【分析】
(1)易得10个小正方形的面积的和,那么就得到了大正方形的面积,求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长;
(2)根据大正方形的边长结合实
解析:(1)10,;(2);(3)见解析;(4)见解析
【分析】
(1)易得10个小正方形的面积的和,那么就得到了大正方形的面积,求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长;
(2)根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果;
(3)以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形;
(4)得到①中正方形的边长,再利用实数与数轴的关系可画出图形.
【详解】
解:(1)∵图1中有10个小正方形,
∴面积为10,边长AD为;
(2)∵BC=,点B表示的数为-1,
∴BE=,
∴点E表示的数为;
(3)①如图所示:
②∵正方形面积为13,
∴边长为,
如图,点E表示面积为13的正方形边长.
【点睛】
本题考查了图形的剪拼,正方形的面积,算术平方根,实数与数轴,巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.
4.(1);(2)不能剪出长宽之比为5:4,且面积为的大长方形,理由详见解析
【分析】
(1)根据已知得到大正方形的面积为400,求出算术平方根即为大正方形的边长;
(2)设长方形纸片的长为,宽为,根据
解析:(1);(2)不能剪出长宽之比为5:4,且面积为的大长方形,理由详见解析
【分析】
(1)根据已知得到大正方形的面积为400,求出算术平方根即为大正方形的边长;
(2)设长方形纸片的长为,宽为,根据面积列得,求出,得到,由此判断不能裁出符合条件的大正方形.
【详解】
(1)∵用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形,
∴大正方形的面积为400,
∴大正方形的边长为
故答案为:20cm;
(2)设长方形纸片的长为,宽为,
,
解得:,
,
答:不能剪出长宽之比为5:4,且面积为的大长方形.
【点睛】
此题考查利用算术平方根解决实际问题,利用平方根解方程,正确理解题意是解题的关键.
5.(1) 长是1.5m,宽是0.5m.;(2)不能.
【解析】
【分析】
(1)设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可;
(2)把正方形的边长与大长方形的长比较即可.
【详解】
解:
解析:(1) 长是1.5m,宽是0.5m.;(2)不能.
【解析】
【分析】
(1)设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可;
(2)把正方形的边长与大长方形的长比较即可.
【详解】
解:(1)设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,由题意得:
,
解得:,
∴长是1.5m,宽是0.5m.
(2)∵正方形的面积为7平方米,
∴正方形的边长是米,
∵<3,
∴他不能剪出符合要求的桌布.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用,算术平方根的应用,找出等量关系列出方程组是解(1)的关键,求出正方形的边长是解(2)的关键.
二、解答题
6.(1)∠ABC=100°;(2)∠ABC>∠AFC;(3)∠N=90°﹣∠HAP;理由见解析.
【分析】
(1)过点B作BMHD,则HDGEBM,根据平行线的性质求得∠ABM与∠CBM,便可求得最后
解析:(1)∠ABC=100°;(2)∠ABC>∠AFC;(3)∠N=90°﹣∠HAP;理由见解析.
【分析】
(1)过点B作BMHD,则HDGEBM,根据平行线的性质求得∠ABM与∠CBM,便可求得最后结果;
(2)过B作BPHDGE,过F作FQHDGE,由平行线的性质得,∠ABC=∠HAB+∠BCG,∠AFC=∠HAF+∠FCG,由角平分线的性质和已知角的度数分别求得∠HAF,∠FCG,最后便可求得结果;
(3)过P作PKHDGE,先由平行线的性质证明∠ABC=∠HAB+∠BCG,∠AFC=∠HAF+∠FCG,再根据角平分线求得∠NPC与∠PCN,由后由三角形内角和定理便可求得结果.
【详解】
解:(1)过点B作BMHD,则HDGEBM,如图1,
∴∠ABM=180°﹣∠DAB,∠CBM=∠BCG,
∵∠DAB=120°,∠BCG=40°,
∴∠ABM=60°,∠CBM=40°,
∴∠ABC=∠ABM+∠CBM=100°;
(2)过B作BPHDGE,过F作FQHDGE,如图2,
∴∠ABP=∠HAB,∠CBP=∠BCG,∠AFQ=∠HAF,∠CFQ=∠FCG,
∴∠ABC=∠HAB+∠BCG,∠AFC=∠HAF+∠FCG,
∵∠DAB=120°,
∴∠HAB=180°﹣∠DAB=60°,
∵AF平分∠HAB,BC平分∠FCG,∠BCG=20°,
∴∠HAF=30°,∠FCG=40°,
∴∠ABC=60°+20°=80°,∠AFC=30°+40°=70°,
∴∠ABC>∠AFC;
(3)过P作PKHDGE,如图3,
∴∠APK=∠HAP,∠CPK=∠PCG,
∴∠APC=∠HAP+∠PCG,
∵PN平分∠APC,
∴∠NPC=∠HAP+∠PCG,
∵∠PCE=180°﹣∠PCG,CN平分∠PCE,
∴∠PCN=90°﹣∠PCG,
∵∠N+∠NPC+∠PCN=180°,
∴∠N=180°﹣∠HAP﹣∠PCG﹣90°+∠PCG=90°﹣∠HAP,
即:∠N=90°﹣∠HAP.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义,平行线性质和判定:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用,理清各角度之间的关系是解题的关键,也是本题的难点.
7.(1)见解析;(2)
【分析】
(1)根据平行线的性质得出,再根据等量代换可得,最后根据平行线的判定即可得证;
(2)过点E作,延长DC至Q,过点M作,根据平行线的性质及等量代换可得出,再根据平角的
解析:(1)见解析;(2)
【分析】
(1)根据平行线的性质得出,再根据等量代换可得,最后根据平行线的判定即可得证;
(2)过点E作,延长DC至Q,过点M作,根据平行线的性质及等量代换可得出,再根据平角的含义得出,然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出;设,根据角的和差可得出,结合已知条件可求得,最后根据垂线的含义及平行线的性质,即可得出答案.
【详解】
(1)证明:
;
(2)过点E作,延长DC至Q,过点M作
,,,
AF平分
FH平分
设
,
.
【点睛】
本题考查了平行线的判定及性质,角平分线的定义,能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键.
8.(1) ;(2)① ;②
【分析】
(1)由平行线的性质得到,由折叠的性质可知,∠2=∠BFE,再根据平角的定义求解即可;
(2) ①由(1)知,,根据平行线的性质得到 ,再由折叠的性质及平角的定义
解析:(1) ;(2)① ;②
【分析】
(1)由平行线的性质得到,由折叠的性质可知,∠2=∠BFE,再根据平角的定义求解即可;
(2) ①由(1)知,,根据平行线的性质得到 ,再由折叠的性质及平角的定义求解即可;
②由(1)知,∠BFE = ,由可知:,再根据条件和折叠的性质得到,即可求解.
【详解】
解:(1)如图,由题意可知,
∴,
∵,
∴,
,
由折叠可知.
(2)①由题(1)可知 ,
∵,
,
再由折叠可知:
,
;
②由可知:,
由(1)知,
,
又的度数比的度数大,
,
,
,
.
【点睛】
此题考查了平行线的性质,属于综合题,有一定难度,熟记“两直线平行,同位角相等”、“两直线平行,内错角相等”及折叠的性质是解题的关键.
9.(1)见解析;(2)①2∠MEN+∠MHN=360°;②20°
【分析】
(1)过点E作EP∥AB交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°,角与角之间的基本运算、等量代换等即
解析:(1)见解析;(2)①2∠MEN+∠MHN=360°;②20°
【分析】
(1)过点E作EP∥AB交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°,角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证.
(2)①过点H作GI∥AB,利用(1)中结论2∠MEN﹣∠MHN=180°,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°,角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH+∠HNC=360°﹣(∠BMH+∠HND),进而用等量代换得出2∠MEN+∠MHN=360°.
②过点H作HT∥MP,由①的结论得2∠MEN+∠MHN=360°,∠H=140°,∠MEN=110°.利用平行线性质得∠ENQ+∠ENH+∠NHT=180°,由角平分线性质及邻补角可得∠ENQ+∠ENH+140°﹣(180°﹣∠BMH)=180°.继续使用等量代换可得∠ENQ度数.
【详解】
解:(1)证明:过点E作EP∥AB交MH于点Q.如答图1
∵EP∥AB且ME平分∠BMH,
∴∠MEQ=∠BME=∠BMH.
∵EP∥AB,AB∥CD,
∴EP∥CD,又NE平分∠GND,
∴∠QEN=∠DNE=∠GND.(两直线平行,内错角相等)
∴∠MEN=∠MEQ+∠QEN=∠BMH+∠GND=(∠BMH+∠GND).
∴2∠MEN=∠BMH+∠GND.
∵∠GND+∠DNH=180°,∠DNH+∠MHN=∠MON=∠BMH.
∴∠DHN=∠BMH﹣∠MHN.
∴∠GND+∠BMH﹣∠MHN=180°,
即2∠MEN﹣∠MHN=180°.
(2)①:过点H作GI∥AB.如答图2
由(1)可得∠MEN=(∠BMH+∠HND),
由图可知∠MHN=∠MHI+∠NHI,
∵GI∥AB,
∴∠AMH=∠MHI=180°﹣∠BMH,
∵GI∥AB,AB∥CD,
∴GI∥CD.
∴∠HNC=∠NHI=180°﹣∠HND.
∴∠AMH+∠HNC=180°﹣∠BMH+180°﹣∠HND=360°﹣(∠BMH+∠HND).
又∵∠AMH+∠HNC=∠MHI+∠NHI=∠MHN,
∴∠BMH+∠HND=360°﹣∠MHN.
即2∠MEN+∠MHN=360°.
故答案为:2∠MEN+∠MHN=360°.
②:由①的结论得2∠MEN+∠MHN=360°,
∵∠H=∠MHN=140°,
∴2∠MEN=360°﹣140°=220°.
∴∠MEN=110°.
过点H作HT∥MP.如答图2
∵MP∥NQ,
∴HT∥NQ.
∴∠ENQ+∠ENH+∠NHT=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵MP平分∠AMH,
∴∠PMH=∠AMH=(180°﹣∠BMH).
∵∠NHT=∠MHN﹣∠MHT=140°﹣∠PMH.
∴∠ENQ+∠ENH+140°﹣(180°﹣∠BMH)=180°.
∵∠ENH=∠HND.
∴∠ENQ+∠HND+140°﹣90°+∠BMH=180°.
∴∠ENQ+(HND+∠BMH)=130°.
∴∠ENQ+∠MEN=130°.
∴∠ENQ=130°﹣110°=20°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质,角平分线的性质,邻补角,等量代换,角之间的数量关系运算,辅助线的作法,正确作出辅助线是解题的关键,本题综合性较强.
10.(1)见解析;(2)见解析;(3).
【分析】
(1)先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明;
(2)过作,先说明,然后再说明得到,最后运用等量代换解答即可;
(3)设∠DBE=a,则∠BFC=3
解析:(1)见解析;(2)见解析;(3).
【分析】
(1)先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明;
(2)过作,先说明,然后再说明得到,最后运用等量代换解答即可;
(3)设∠DBE=a,则∠BFC=3a,根据角平分线的定义可得∠ABD=∠C=2a,∠FBC=∠DBC=a+45°,根据三角形内角和可得∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°,可得∠AFC=∠BCF的度数表达式,再根据平行的性质可得∠AFC+∠NCF=180°,代入即可算出a的度数,进而完成解答.
【详解】
(1)证明:∵,
∴,
∵于,
∴,
∴,
∴;
(2)证明:过作,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
(3)设∠DBE=a,则∠BFC=3a,
∵BE平分∠ABD,
∴∠ABD=∠C=2a,
又∵AB⊥BC,BF平分∠DBC,
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90,即:∠FBC=∠DBC=a+45°
又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°,即:3a+a+45°+∠BCF=180°
∴∠BCF=135°-4a,
∴∠AFC=∠BCF=135°-4a,
又∵AM//CN,
∴∠AFC+∠ NCF=180°,即:∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°,
∴135°-4a+135°-4a+2a=180,解得a=15°,
∴∠ABE=15°,
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算,熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键.
三、解答题
11.(1)∠A+∠C=90°;(2)①见解析;②105°
【分析】
(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可;
(2)①过点B作BG∥DM,根据平行线找角的联系即可求解;②先过点B作BG∥
解析:(1)∠A+∠C=90°;(2)①见解析;②105°
【分析】
(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可;
(2)①过点B作BG∥DM,根据平行线找角的联系即可求解;②先过点B作BG∥DM,根据角平分线的定义,得出∠ABF=∠GBF,再设∠DBE=α,∠ABF=β,根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得2α+β+3α+3α+β=180°,根据AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程组即可得到∠ABE=15°,进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
【详解】
解:(1)如图1,AM与BC的交点记作点O,
∵AM∥CN,
∴∠C=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠A+∠AOB=90°,
∴∠A+∠C=90°;
(2)①如图2,过点B作BG∥DM,
∵BD⊥AM,
∴DB⊥BG,
∴∠DBG=90°,
∴∠ABD+∠ABG=90°,
∵AB⊥BC,
∴∠CBG+∠ABG=90°,
∴∠ABD=∠CBG,
∵AM∥CN,BG∥DM,
∴∠C=∠CBG,
∠ABD=∠C;
②如图3,过点B作BG∥DM,
∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,
∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,
由(2)知∠ABD=∠CBG,
∴∠ABF=∠GBF,
设∠DBE=α,∠ABF=β,
则∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,
∠GBF=∠AFB=β,
∠BFC=3∠DBE=3α,
∴∠AFC=3α+β,
∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,
∴∠FCB=∠AFC=3α+β,
△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得:
2α+β+3α+3α+β=180°,
∵AB⊥BC,
∴β+β+2α=90°,
∴α=15°,
∴∠ABE=15°,
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用,解决问题的关键是作平行线构造内错角,运用等角的余角(补角)相等进行推导.余角和补角计算的应用,常常与等式的性质、等量代换相关联.解题时注意方程思想的运用.
12.(1)见解析;(2)45;(3)不变,见解析;
【分析】
(1)由可求得m及n,从而可求得∠MOC=∠OCQ,则可得结论;
(2)易得∠AON的度数,由两条角平分线,可得∠DON,∠OCF的度数,也
解析:(1)见解析;(2)45;(3)不变,见解析;
【分析】
(1)由可求得m及n,从而可求得∠MOC=∠OCQ,则可得结论;
(2)易得∠AON的度数,由两条角平分线,可得∠DON,∠OCF的度数,也易得∠COE的度数,由三角形外角的性质即可求得∠OEF的度数;
(3)不变,分三种情况讨论即可.
【详解】
(1)∵,,且
∴,
∴m=20,n=70
∴∠MOC=90゜-∠AOM=70゜
∴∠MOC=∠OCQ=70゜
∴MN∥PQ
(2)∵∠AON=180゜-∠AOM=160゜
又∵平分,平分
∴,
∵
∴
∴∠OEF=∠OCF+∠COE=35゜+10゜=45゜
故答案为:45.
(3)不变,理由如下:
如图,当0゜<α<20゜时,
∵CF平分∠OCQ
∴∠OCF=∠QCF
设∠OCF=∠QCF=x
则∠OCQ=2x
∵MN∥PQ
∴∠MOC=∠OCQ=2x
∵∠AON=360゜-90゜—(180゜-2x)=90゜+2x,OD平分∠AON
∴∠DON=45゜+x
∵∠MOE=∠DON=45゜+x
∴∠COE=∠MOE-∠MOC=45゜+x-2x=45゜-x
∴∠OEF=∠COE+∠OCF=45゜-x+x=45゜
当α=20゜时,OD与OB共线,则∠OCQ=90゜,由CF平分∠OCQ知,∠OEF=45゜
当20゜<α<90゜时,如图
∵CF平分∠OCQ
∴∠OCF=∠QCF
设∠OCF=∠QCF=x
则∠OCQ=2x
∵MN∥PQ
∴∠NOC=180゜-∠OCQ=180゜-2x
∵∠AON=90゜+(180゜-2x)=270゜-2x,OD平分∠AON
∴∠AOE=135゜-x
∴∠COE=90゜-∠AOE=90゜-(135゜-x)=x-45゜
∴∠OEF=∠OCF-∠COE=x-(x-45゜)=45゜
综上所述,∠EOF的度数不变.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义,平行线的判定与性质,角的和差关系,注意分类讨论,引入适当的量便于运算简便.
13.(1);(2)①或;②秒或或秒
【分析】
(1)通过延长作辅助线,根据平行线的性质,得到,再根据外角的性质可计算得到结果;
(2)①当时,分两种情况,Ⅰ当在和之间,Ⅱ当在和之间,由,计算出的运动时间
解析:(1);(2)①或;②秒或或秒
【分析】
(1)通过延长作辅助线,根据平行线的性质,得到,再根据外角的性质可计算得到结果;
(2)①当时,分两种情况,Ⅰ当在和之间,Ⅱ当在和之间,由,计算出的运动时间,根据运动时间可计算出,由已知可计算出的度数;
②根据题意可知,当时,分三种情况,
Ⅰ射线由逆时针转动,,根据题意可知,,再平行线的性质可得,再根据三角形外角和定理可列等量关系,求解即可得出结论;
Ⅱ射线垂直时,再顺时针向运动时,,根据题意可知,,,,可计算射线的转动度数,再根据转动可列等量关系,即可求出答案;
Ⅲ射线垂直时,再顺时针向运动时,,根据题意可知,,,根据(1)中结论,,,可计算出与代数式,再根据平行线的性质,可列等量关系,求解可得出结论.
【详解】
解:(1)延长与相交于点,
如图1,
,
,
,
;
(2)①Ⅰ如图2,
,,
,
射线运动的时间(秒,
射线旋转的角度,
又,
;
Ⅱ如图3所示,
,,
,
射线运动的时间(秒,
射线旋转的角度,
又,
;
的度数为或;
②Ⅰ当由运动如图4时,
与相交于点,
根据题意可知,经过秒,
,,
,
,
又,
,
解得(秒;
Ⅱ当运动到,再由运动到如图5时,
与相交于点,
根据题意可知,经过秒,
,
,
,,
运动的度数可得,,
解得;
Ⅲ当由运动如图6时,,
根据题意可知,经过秒,
,,
,,
,,
又,
,
,
解得(秒),
当的值为秒或或秒时,.
【点睛】
本题主要考查平行线性质,合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键.
14.(1)4;(2)45°;(3)P(0,-1)或(0,3)
【分析】
(1)根据非负数的性质得到a=−b,a−b+4=0,解得a=−2,b=2,则A(−2,0),B(2,0),C(2,2),即可计算出
解析:(1)4;(2)45°;(3)P(0,-1)或(0,3)
【分析】
(1)根据非负数的性质得到a=−b,a−b+4=0,解得a=−2,b=2,则A(−2,0),B(2,0),C(2,2),即可计算出三角形ABC的面积=4;
(2)由于CB∥y轴,BD∥AC,则∠CAB=∠ABD,即∠3+∠4+∠5+∠6=90°,过E作EF∥AC,则BD∥AC∥EF,然后利用角平分线的定义可得到∠3=∠4=∠1,∠5=∠6=∠2,所以∠AED=∠1+∠2=×90°=45°;
(3)先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y=x+1,则G点坐标为(0,1),然后利用S△PAC=S△APG+S△CPG进行计算.
【详解】
解:(1)由题意知:a=−b,a−b+4=0,
解得:a=−2,b=2,
∴ A(−2,0),B(2,0),C(2,2),
∴S△ABC=;
(2)∵CB∥y轴,BD∥AC,
∴∠CAB=∠ABD,
∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°,
过E作EF∥AC,
∵BD∥AC,
∴BD∥AC∥EF,
∵AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB,
∴∠3=∠4=∠1,∠5=∠6=∠2,
∴∠AED=∠1+∠2=×90°=45°;
(3)存在.理由如下:
设P点坐标为(0,t),直线AC的解析式为y=kx+b,
把A(−2,0)、C(2,2)代入得:
,解得,
∴直线AC的解析式为y=x+1,
∴G点坐标为(0,1),
∴S△PAC=S△APG+S△CPG=|t−1|•2+|t−1|•2=4,解得t=3或−1,
∴P点坐标为(0,3)或(0,−1).
【点睛】
本题考查了绝对值、平方的非负性,平行线的判定与性质:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等.
15.(1)证明见解析;(2)∠F=55°;(3)∠MQN=∠ACB;理由见解析.
【分析】
(1)首先根据平行线的性质得出∠ACE=∠A,∠ECD=∠B,然后通过等量代换即可得出答案;
(2)首先根据角
解析:(1)证明见解析;(2)∠F=55°;(3)∠MQN=∠ACB;理由见解析.
【分析】
(1)首先根据平行线的性质得出∠ACE=∠A,∠ECD=∠B,然后通过等量代换即可得出答案;
(2)首先根据角平分线的定义得出∠FCD=∠ECD,∠HAF=∠HAD,进而得出∠F=(∠HAD+∠ECD),然后根据平行线的性质得出∠HAD+∠ECD的度数,进而可得出答案;
(3)根据平行线的性质及角平分线的定义得出,, ,再通过等量代换即可得出∠MQN=∠ACB.
【详解】
解:(1)∵CEAB,
∴∠ACE=∠A,∠ECD=∠B,
∵∠ACD=∠ACE+∠ECD,
∴∠ACD=∠A+∠B;
(2)∵CF平分∠ECD,FA平分∠HAD,
∴∠FCD=∠ECD,∠HAF=∠HAD,
∴∠F=∠HAD+∠ECD=(∠HAD+∠ECD),
∵CHAB,
∴∠ECD=∠B,
∵AHBC,
∴∠B+∠HAB=180°,
∵∠BAD=70°,
,
∴∠F=(∠B+∠HAD)=55°;
(3)∠MQN=∠ACB,理由如下:
平分,
.
平分,
.
,
.
∴∠MQN=∠MQG﹣∠NQG
=180°﹣∠QGR﹣∠NQG
=180°﹣(∠AQG+∠QGD)
=180°﹣(180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC)
=(∠CQG+∠QGC)
=∠ACB.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义,掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键.
四、解答题
16.(1)30°,70°,20°;(2)15°,5°,0°,5°;(3)当时,;当时,.
【分析】
(1)先利用三角形内角和定理求出的度数,再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数,进而可求和的度数;
解析:(1)30°,70°,20°;(2)15°,5°,0°,5°;(3)当时,;当时,.
【分析】
(1)先利用三角形内角和定理求出的度数,再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数,进而可求和的度数;
(2)先利用三角形内角和定理求出的度数,再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数,则前三问利用即可得出答案,第4问利用即可得出答案;
(3)按照(2)的方法,将相应的数换成字母即可得出答案.
【详解】
(1)∵,,
∴ .
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
,
.
(2)当,时,
∵,,
∴.
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
;
当,时,
∵,,
∴ .
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
;
当,时,
∵,,
∴.
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
;
当,时,
∵,,
∴.
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
.
(3)当 时,即时,
∵,,
∴ .
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
;
当 时,即时,
∵,,
∴ .
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
;
综上所述,当时,;当时,.
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线,高,掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键.
17.(1)40°;(2)的值不变,比值为;(3)∠OEC=∠OBA=60°.
【分析】
(1)根据OB平分∠AOF,OE平分∠COF,即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA,从而得出答案;
(2
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