上海市松江一中2022-2023学年数学高一上期末综合测试试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．函数在一个周期内的图像如图所示，此函数的解析式可以是（）

A. B.
C. D.
2．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A. B.
C.1 D.
3．设函数的部分图象如图，则　　

A.
B.
C.
D.
4．已知直线与圆交于A，两点，则（）
A.1 B.
C. D.
5．已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式恒成立，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
6．若，，，则有
A. B.
C. D.
7．已知点在第三象限，则角的终边位置在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
9．函数的零点个数为（）
A.0 B.1
C.2 D.3
10．设向量,,,则
A. B.
C. D.
11．已知函数，则，（）
A.4 B.3
C. D.
12．设是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则的值为（）
A.﹣6 B.﹣4
C.4 D.6
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数值是____________
14．若命题“”为真命题，则的取值范围是______
15．A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.
16．已知角的终边过点，则______
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数

（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）填上面表格并用“五点法”画出在一个周期内的图象
18．设全集，已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B.
（1）求；
（2）若且,求实数a的取值范围.
19．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
20．若集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
21．已知函数为奇函数
（1）求实数的值，判断函数的单调性并用定义证明；
（2）求关于的不等式的解集
22．已知圆，直线
（1）直线l一定经过哪一点；
（2）若直线l平分圆C，求k的值；
（3）若直线l与圆C相交于A，B，求弦长的最小值及此时直线的方程

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、A
【解析】根据图象，先确定以及周期，进而得出，再由求出，即可得到函数解析式.
【详解】显然，
因为，所以，所以，
由得，
所以，即，，
因为，所以，
所以.
故选：A
2、A
【解析】根据圆的方程得出圆心坐标（1，0），直接依据点到直线的距离公式可以得出答案.
【详解】圆的圆心坐标为（1，0），
∴圆心到直线的距离为.
故选：A.
【点睛】本题考查点到直线距离公式，属于基础题型.
3、A
【解析】根据函数的图象，求出A，和的值，得到函数的解析式，即可得到结论
【详解】由图象知，，则，所以，
即，
由五点对应法，得，即，
即，
故选A
【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中根据条件求出A，和的值是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4、C
【解析】用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，进而利用垂径定理求出弦长.
【详解】圆的圆心到直线距离，所以.
故选：C
5、C
【解析】由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解.
【详解】∵函数是定义在R上的偶函数，
∴，
∴不等式可化为
∵对于任意不等实数，，不等式恒成立，
∴函数在上为减函数，又，
∴，
∴，
∴不等式的解集为
故选：C.
6、C
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性分别将与作比较，从而得到结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性比较大小的问题，常用方法是采用临界值的方式，通过与临界值的大小关系得到所求的大小关系.
7、B
【解析】由所在的象限有，即可判断所在的象限.
【详解】因为点在第三象限，
所以，
由，可得角的终边在第二、四象限，
由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，
所以角终边位置在第二象限，
故选：B.
8、C
【解析】如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为，
易得，因此，故选C

平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围
9、B
【解析】作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】解：根据题意，，故，
故函数与的图像如图，

由于函数与的图像只有一个交点，
所以方程有且只有一个实数根，
所以函数的零点个数为1个.
故选：B
10、A
【解析】，由此可推出
【详解】解：∵，，，
∴，，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查平面向量的模，属于基础题
11、D
【解析】根据分段函数解析式代入计算可得；
【详解】解：因为，，所以，
所以
故选：D
12、B
【解析】根据函数是奇函数，可得，求得，结合函数的解析式即可得出答案.
【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，当时，，
，解得
所以.
故选：B.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、1或-1
【解析】令x=0，得y=k；令y=0，得x=−2k.
∴三角形面积S=|xy|=k2.
又S=1，即k2=1，值是1或-1.
14、
【解析】依题意可得恒成立，则，得到一元二次不等式，解得即可；
【详解】解：依题意可得，命题等价于恒成立，
故只需要解得，即
故答案为：
15、
【解析】如图，过点B作与，连，则有平面，从而得，所以即为二面角的平面角

在中，，
所以,
所以锐角
即二面角的平面角的大小为
答案：
点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，然后通过解三角形的方法求得角，解题时要注意所求角的范围
16、
【解析】根据三角函数的定义求出r即可．
【详解】角的终边过点，
，
则，
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义是解决本题的关键．三角函数的定义将角的终边上的点的坐标和角的三角函数值联系到一起，.知道终边上的点的坐标即可求出角的三角函数值，反之也能求点的坐标.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1），它的对称中心为，
（2）答案见解析.
【解析】（1）：根据二倍角与辅助角公式化简函数为一名一角即可求解；
（2）：根据五点法定义列表作图即可
【小问1详解】

∴函数的最小正周期；
令，，解得，，可得它的对称中心为，
【小问2详解】
x

0

0
1
0

0

18、（1）{1}；（2）
【解析】（1）求出函数的定义域为集合，函数的值域为集合，即可求得答案；
（2）根据集合的包含关系，列出相应的不等式，求得答案.
【详解】（1）由题意知,,则，
∴
（2）若则；
若则，
综上，.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据指数运算法则化简求值；
（2）根据指数、对数的运算法则化简求值.
【小问1详解】

【小问2详解】

20、（1）；（2）.
【解析】（1）解不等式求出集合，再进行交集运算即可求解；
（2）解不等式求集合，根据并集的结果列不等式即可求解.
【详解】（1），，
；
（2），或
，，.
即实数的取值范围为.
21、（1），函数为R上的增函数，证明见解析
（2）
【解析】(1)f(x)是R上奇函数，则f(0)＝0，即可求出a；设R，且，作差化简判断大小关系，根据单调性的定义即可判断单调性；
(2)，根据(1)中单调性可去掉“f”，将问题转化为解三角不等式.
【小问1详解】
∵的定义域是R且是奇函数，
∴，即.
为R上的增函数，证明如下：
任取R，且，
则，
∴为增函数，，∴
∴，
∴，即，
∴在R上是增函数
【小问2详解】
∵，，
又在R上是增函数，，即，
，
∴原不等式的解集为.
22、（1）（2）（3）弦长的最小值为,此时直线的方程为
【解析】（1）由可求出结果；
（2）转化为圆心在直线上可求出结果；
（3）当时，弦长最小，根据垂直关系求出直线斜率，根据点斜式求出直线的方程，利用勾股定理可求出最小弦长.
【详解】（1）由得得，
所以直线l一定经过点.
（2）因为直线l平分圆C，所以圆心在直线上，
所以，解得.
（3）依题意可知当时，弦长最小，
此时，所以，
所以，即，
圆心到直线的距离，
所以.
所以弦长的最小值为，此时直线的方程为.
【点睛】关键点点睛：（3）中，将弦长最小转化为是解题关键.