资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能
2．如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连结BE，若S△DEB＝1，则S△BCE的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．朗读者是中央电视台推出的大型文化情感类节目，节目旨在实现文化感染人、鼓舞人、教育人的引导作用为此，某校举办演讲比赛，李华根据演讲比赛时九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
对9位评委所给的分数，去掉一个最高分和一个最低分后，表格中数据一定不发生变化的是
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B． C． D．
7．﹣的绝对值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．1
8．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．对于二次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．其图象的对称轴为过且平行于轴的直线.
B．其最小值为1.
C．其图象与轴没有交点.
D．当时，随的增大而增大.
10．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，设平均每次提价的百分率都是x．根据题意，可列出方程___________________.
12．若分别是方程的两实根，则的值是__________.
13．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____．
14．计算：= ．
15．从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为 ________．
16．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为______
17．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的概率约为30%，估计袋中白球有 个．
18．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）有红、黄两个盒子，红盒子中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，黄盒子中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同．现甲从红盒子中取出一张卡片，乙从黄盒子中取出一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
(1)请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．
(2)现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得二次函数y=ax2+bx+1的图像与x轴有两个不同的交点，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗?请你用概率知识解释．
20．（6分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1．5米的测角仪测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；
（2）求教学楼CG的高．
21．（6分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）求证：△PBD∽△DCA．
22．（8分）（7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组
频数
频率
50≤x＜60
8
0.16
60≤x＜70
12
a
70≤x＜80
■
0.5
80≤x＜90
3
0.06
90≤x≤100
b
c
合计
■
1
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
23．（8分）一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
24．（8分）如图，在平行四边形中，
(1)求与的周长之比；
(2)若求．
25．（10分）如图，已知，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点从A点开始以1个单位/秒的速度沿轴向右移动，点从点开始以2个单位/秒的速度沿轴向上移动，如果两点同时出发，经过几秒钟，能使的面积为8个平方单位．
26．（10分）（1）解方程：.
（2）如图，四点都在上，为直径，四边形是平行四边形，求的度数.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【详解】解：如图，
在中，令x=0，则y=－；令y=0，则x=，
∴A（0，－），B（，0）．
∴OA=OB=．
∴△AOB是等腰直角三角形．
∴AB=2，
过点O作OD⊥AB，
则OD=BD=AB=×2=1．
又∵⊙O的半径为1，
∴圆心到直线的距离等于半径．
∴直线y=x- 2 与⊙O相切．
故选B．
2、C
【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用一角相等且夹边对应成比例两个三角形相似，根据各个选项条件筛选即可．
【详解】解：根据勾股定理，AC=，BC=，AB=
所以，,,,则+=
所以，利用勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形
所以,=
A.不存在直角，所以不与△ABC相似；
B.两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=≠2，所以不与△ABC相似；
C.选项中图形是直角三角形，且两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=2，故C中图形与所给图形的三角形相似．
D. 不存在直角，所以不与△ABC相似.
故选：C．
【点睛】
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，及判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
3、B
【解析】根据三角形中位线定理和三角形的面积即可得到结论．
【详解】∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴CE＝AE．
∴DE＝BC，
∵S△DEB＝1，
∴S△BCE＝2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握并运用三角形中位线定理是解题的关键．
4、C
【解析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得是1个大正方形，大正方形左上角有个小正方形．
故答案选：C．
【点睛】
本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，难度适中.
5、B
【分析】根据方差、平均数、众数和中位数的定义进行判断．
【详解】解：对9位评委所给的分数，去掉一个最高分和一个最低分后，中位数一定不发生变化．
故选B．
【点睛】
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了平均数、众数和中位数．
6、C
【解析】先计算出四边形PBCQ的面积，得到y与x的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可.
【详解】由题意得： (0≤x≤4)，
可知，抛物线开口向下，关于y轴对称，顶点为（0，8），
故选：C.
【点睛】
此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键.
7、C
【解析】分析：根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
详解：
﹣的绝对值为|-|=-(﹣)= .
点睛：主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；1的绝对值是1．
8、A
【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．
【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
9、D
【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A、B、D三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C项，进而可得答案.
【详解】解：，所以抛物线的对称轴是直线：x=3，顶点坐标是（3，1）；
A、其图象的对称轴为过且平行于轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；
B、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；
C、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；
D、当时，随的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
10、C
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC是解此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、100（1+x）2=1．
【详解】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为1元，列出关于x的方程100（1+x）2=1．
考点：一元二次方程的应用．
12、3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案.
【详解】∵分别是方程的两实根，
∴=3，
故答案为：3
【点睛】
此题考查根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-，x1x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键.
13、1．
【解析】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
由平均数的公式得：（1+1+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）1+（1﹣3）1+（3﹣3）1+（4﹣3）1+（5﹣3）1]÷5=1．
考点：方差．
14、1．
【解析】试题分析：原式==9﹣1=1，故答案为1．
考点：二次根式的混合运算．
15、
【分析】采用列举法求概率．
【详解】解：随机抽取的所有可能情况为：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁六种情况，则符合条件的只有一种情况，则P（抽取的2名学生是甲和乙）=1÷6=．
故答案为：
【点睛】
本题考查概率的计算，题目比较简单．
16、m=-1
【解析】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，
而m-1≠0，
所以m的值为-1．
故答案是：-1．
【点睛】
考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
17、1
【分析】根据摸到白球的概率公式=40%，列出方程求解即可．
【详解】解：不透明的布袋中的小球除颜色不同外，其余均相同，共有10个小球，其中白色小球x个，
根据古典型概率公式知：P（白色小球）==10%，
解得：x=1．
故答案为1．
考点：已知概率求数量．
18、
【分析】根据题意画出草图，可得OG=2，，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.
【详解】
解：如图，连接、，作于；
则，
∵六边形正六边形，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．
【详解】解：（1）画树状图得：
的可能结果有，、，、，、，、，、，、、及，
取值结果共有9种；
（2）当，时，△，此时无实数根，
当，时，△，此时有两个不相等的实数根，
当，时，△，此时有两个不相等的实数根，
当，时，△，此时有两个相等的实数根，
当，时，△，此时有两个不相等的实数根，
当，时，△，此时有两个不相等的实数根，
当，时，△，此时无实数根，
当，时，△，此时有两个不相等的实数根，
当，时，△，此时有两个相等的实数根，
（甲获胜）△（乙获胜），
这样的游戏规则对甲有利，不公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
20、（1）8.5米；（2）米
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）作HJ⊥CG于G．则△HJG是等腰直角三角形，四边形EFJH是矩形，设GJ=EF=HJ=x．构建方程即可解决问题；
【详解】（1）由题意：四边形ABED是矩形，可得DE=AB=7米，AD=BE=1.5米，
在Rt△DEH中，∵∠HDE=45°，
∴HE=DE=7米，
∴BH=EH+BE=8.5米，
所以古树BH的高为8.5米；
（2）作HJ⊥CG于J．易证△HJG是等腰直角三角形，四边形EFJH是矩形，
∴JF=HE =7米，
设HJ =x．则GJ=EF=HJ=x，
在Rt△EFG中，tan60°=，
即，
∴，
∴，
∴（米）；
所以教学楼CG的高为米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
【详解】证明：（1）∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径，
∴PD是圆O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠P=∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PBD=∠ACD，
∴△PBD∽△DCA．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握判定性质是解题关键
22、（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）人.
【分析】（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c的值；
（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数；
（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率.
【详解】解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名）
a=12÷50=0.24，
70≤x＜80的人数为：50×0.5=25（名）
b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）
c=2÷50=0.04
所以a=0.24，b=2，c=0.04；
（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有：
1000×0.6=600（人）
∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；
（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A，B
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况：
抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8种情况，
∴抽取的2名同学来自同一组的概率P==
【点睛】
本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．
23、4cm
【解析】试题分析：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm，则围成的长方体纸盒的底面长是（32-2x）cm, 宽是（32-2x）cm,根据底面积等于1 cm2列方程求解.
解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．
由题意，得 (32-2x)(22-2x)=1．
整理，得 x2 -25x + 84=2．
解方程，得，（不符合题意，舍去）．
答：剪掉的正方形的边长为4cm．
24、 (1)与周长的比等于相似比等于；(2)．
【分析】（1）根据平行四边形对边平行，得到两个三角形相似，根据两个三角形相似，得到△AEF与△CDF的周长比等于对应边长之比，做出两个三角形的边长之比，可得△AEF与△CDF的周长比；
（2）利用两个三角形的面积之比等于边长之比的平方，利用两个三角形的边长之比，根据△AEF的面积等于6cm2，得到要求的三角形的面积．
【详解】解:由得,
又是平行四边形，
由得
所以与周长的比等于相似比等于.
由由
解得.
【点睛】
本题考查三角形相似的性质，两个三角形相似，对应的高线，中线和角平分线之比等于边长之比，两个三角形的面积之比等于边长比的平方，这种性质用的比较多．
25、2秒，4秒或秒
【分析】首先求得直线与两坐标轴的交点坐标，然后表示出三角形的两边利用三角形的面积计算公式列出方程计算即可．
【详解】解：直线AC与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点C（0，1），
所以，OA=6，OC=1．
设经过x秒钟，则OQ为2x．
当时，点P在线段OA上，底OP=，
可列方程，
解得．
当时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP=，
可列方程，
解得，
而不合题意舍去．
综上所述，经过2秒，4秒或秒能使△PQO的面积为1个平方单位．
【点睛】
本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据直线的解析式确定直线与两坐标轴的交点，从而求得有关的线段的长，注意分类讨论，难度不大．
26、（1）；（2）
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可；
（2）根据圆内接四边形求角度，再根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆周角的一半解答即可.
【详解】（1）解：，
，
即，
即，
解得.
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，即是等边三角形，
∴，
∴.
【点睛】
本题主要考察了解一元二次方程以及圆的相关性质，熟练掌握圆周角定理和圆的内接四边形的性质是解题的关键.
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