Riesz模范畴的完备性和余完备性.pdf

Riesz模范畴的完备性和余完备性李丹阳1，汤建钢1，2（1.伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁 835000；2.伊犁师范大学 应用数学研究所，新疆 伊宁 835000）摘要：范畴论是现代数学的基础，从Riesz模范畴出发，研究Riesz模的内部特征是研究Riesz模的重要方法。范畴的极限是范畴论的重要概念之一，范畴中乘积、等值子概念均可以看作是范畴的某种特殊的极限，余积、余等值子是特殊的余极限。范畴中极限的存在性决定了该范畴的完备性，余极限的存在性决定了余完备性。通过对以Riesz模为对象，Riesz模同态为态射的Riesz模范畴极限的研究，给出了Riesz模范畴中的乘积与余积、等值子与余等值子的具体表示形式，进而证明了Riesz模范畴具有完备性和余完备性。关键词：Riesz模；范畴；等值子；余等值子；完备性；余完备性中图分类号：O153.1；O153.3文献标识码：A文章编号：1008-9659（2024）01-0013-09Vol.43，No.1Mar.2024第43卷 第1期2024年3月新疆师范大学学报（自然科学版）Journal of Xinjiang Normal University（Natural Sciences Edition）收稿日期 2023-07-03 修回日期 2023-08-18 基金项目 伊犁师范大学提升学科综合实力专项项目（22XKZZ20）。作者简介 李丹阳（1999-），女，河南滑县人，硕士研究生，主要从事范畴论及其应用方面研究。自Birkhoff提出格序群1概念以来，序代数理论得到迅猛发展，Birkhoff等人研究了格序群的一般结构和分解理论，并将格序结构引入到环上，提出了格序环的相关概念2。Riesz将格序结构引入到向量空间，形成了Riesz空间的一些基础理论3。模作为域上线性空间概念的推广，已经成为当代重要的代数结构之一。崔晓宇等人在戴天佑研究的基础上将Riesz空间推广到左R-模上，定义了Riesz模的概念，讨论了左R-模上Riesz空间的相关性质，为左R-模上Riesz空间理论的研究奠定了基础4-5。孙锐娟等人在格序群、格序环以及格序结构Riesz空间概念的基础上，研究了左R-模上Riesz空间的同态与同构的相关性质6。刘晓芳等人在Riesz模范畴概念的基础上，研究了Riesz模簇的直积与直和，并对其相关性质进行了证明7。范畴论是以抽象的方式处理数学结构并研究不同结构之间的联系而成为一个重要的现代数学基础理论。范畴的完备性和余完备性是两个重要的性质，张娟娟等人证明了-左R-模范畴是完备的10，耿俊等人证明了-Cat范畴是完备的11，徐晓泉证明了完全分配格范畴具有完备性和余完备性13。基于以上研究背景，文章讨论了Riesz模范畴中的乘积和余积、等值子和余等值子，进而证明了Riesz模范畴具有完备性和余完备性。预备知识定义19 设L为一个偏序集，如果对任意的a,b L，sup a,b与inf a,b均存在且都在L中，则称偏序集L是一个格，分别用a b与a b表示sup a,b与inf a,b，并且用四元序(L,)表示格，简记为(L,).定义25 设(G,+)是一个Abel群，如果(G,+,)是一个格，且满足相容性条件，即对任意的a,b,c G，a b a+c b+c，则称(G,+,)是一个Abel格序群，简称Abel l群。定义35 设(R,+,)是一个具有单位元的环，如果(R,+,)是一个格，且满足下列相容性条件，即对任意的r,s,t R：（1）r s t+r t+s；13新疆师范大学学报（自然科学版）2024年（2）0 r,0 s 0 rs；则称(R,+,)是一个格序环，简称l环。定义46 设M是左R-模，如果(R,+,)是具有单位元的l环，(M,+,)是Abel l群，且满足下列相容性条件，即对任意的m,n,p M，r R：（1）m n p+m p+n；（2）0 r,0 m 0 rm；则称(M,+,)是一个格序左R-模，简称Riesz模。定义 56 设(M,+,)是Riesz模，N是M的子集，并且(N,+)是(M,+)的子模，(N,)是(M,)的子格，并且R+N+N+，则称(N,+,)是(M,+,)的一个子Riesz模。定义67 设M，M都是左R-模，f:M M是映射，若对任意的r R，m,n M有f(m+n)=f(m)+f(n)，f(rm)=rf(m)成立，则称f是R模同态，简称R同态。定义79 设P、Q都是格，f:P Q是映射，若对任意的x,y P有f(x y)=f(x)f(y)，f(x y)=f(x)f(y)成立，则称f是格同态。定义85 设(M,+,)、(N,+,)均为Riesz模，f:M N是映射，若f既是R模同态，又是格同态，则称f是Riesz模同态，记作f：(M,+,)(N,+,).定义97 Riesz模构成的范畴RielR定义为：（1）对象类ob(RielR)为全体Riesz模；（2）对任意的(M,+,),(N,+,)ob(RielR)，Hom(M,+,),(N,+,)=f|f:(M,+,)到(N,+,)的一个Riesz模同态；（3）若(M,+,),(N,+,),(P,+,)ob(RielR)，f Hom(M,+,),(N,+,)，g Hom(N,+,)，(P,+,)，态射的复合gf Hom(M,+,),(P,+,)为同态的复合；（4）对 任 意 的(M,+,)ob(RielR)，单 位 态 射 为1M Hom(M,+,),(M,+,)，并 且 对 任 意 的f Hom(M,+,),(N,+,)，g Hom(P,+,),(M,+,)，有f1M=f，1Mg=g.定义1014 设C是一个范畴，Mi|i I 是C中的一簇对象，C中的对象M叫作 Mi|i I 的乘积，如果：（1）对任意的i I，存在态射pi:M Mi；（2）对任意对象N C，若存在态射qi:N Mi,i I，则存在唯一的态射:N M使得图1可交换。NMqipiMi图1 乘积的定义示意图定义1114 设C是一个范畴，Mi|i I 是C中的一簇对象，C中的对象L叫作 Mi|i I 的余积，如果：（1）对任意的i I，存在态射qi:Mi L；（2）对任意对象N C，若存在态射pi:Mi N,i I，则存在唯一的态射:L N使得图2可交换。MiqipiNL图2 余积的定义示意图定理1 如果(M,pii I)和(M,pii I)都是范畴C的对象簇 Mi|i I 的乘积，则M和M是同构的。证明 由于M和M都是范畴C中 Mi|i I 的乘积，那么对任意的i I，存在态射pi:M Mi及pi:M Mi，又因为M和M都是乘积，所以存在态射f:M M及g:M M使得图3可交换，故对任意的i I14李丹阳，等：Riesz模范畴的完备性和余完备性有pigf=pi，由i的任意性可知gf=1M，同理可知fg=1M，所以M和M是同构的。MifgMMpipipiM图3 乘积同构示意图定理2 如果(L,qii I)和(L,qii I)都是范畴C的对象簇 Mi|i I 的余积，则L和L是同构的。注：定理1和定理2说明范畴的乘积或者余积如果存在，则在同构意义下均是唯一的。定义1214 设f，g:M N是一对平行态射，如果态射e:E M满足：（1）fe=ge；（2）对任意的态射e:E M满足fe=ge，存在唯一的态射h:E E使得e=eh成立（图 4），则称e:E M是f,g:M N的等值子。EeMNfgEhe图4 等值子的定义示意图定义1314 设f,g:M N是一对平行态射，如果态射q:N L满足：（1）qf=qg；（2）对任意的态射q:N L满足qf=qg，存在唯一的态射:L L使得q=q成立（图 5），则称q:N L是f,g:M N的余等值子。MiLfgqNLq图5 余等值子的定义示意图引理114 设C是一个任意范畴，则C是完备的当且仅当存在乘积和等值子。引理214 设C是一个任意范畴，则C是余完备的当且仅当存在余积和余等值子。2 主要结果下面讨论Riesz模范畴RielR中的乘积与余积。引理 3 设(Mi,+,)|i I 是范畴RielR中的一簇Riesz模，这里的指标集I是任意的，记(M,+,)=(Mi,+,)是Riesz模簇的笛卡尔积，其中(M,+,)中的元素表示为 mi|mi Mii I，在该集合中规定：对任意的mi，mi (M,+,)，r (R,+,)有 mi+mi=mi+mi，r mi=rmi mi mi=mi mi，mi mi=mi mi则（1）(M,+,)是一个Riesz模；（2）投影pj:(M,+,)(Mj,+,)，pj(mi)=mj是Riesz模满同态。证明（1）由模论可知，(M,+,)是一个左R-模。又由于 mi mi=mi mi以及 mi mi=mi mi，故(M,+,)可以构成一个格。并且对任意的 ni (M,+,)，若 mi mi，r 0，那么有 mi+ni=mi+ni mi+ni=mi+ni，r mi 0 故相容关系成立，由此可得(M,+,)是一个Riesz模。15新疆师范大学学报（自然科学版）2024年（2）投影pj:(M,+,)(Mj,+,)，pj(mi)=mj，显然pj是满射，对任意的mi，mi (M,+,)，r (R,+,)有pj(mi+mi)=pj(mi+mi)=mj+mj=pj(mi)+pj(mi)pj(rmi)=pj(r mi)=r mj=rpj(mi)成立，又由于pj(mi mi)=pj(mi mi)=mj mj=pj(mi)pi(mi)pj(mi mi)=pj(mi mi)=mj mj=pj(mi)pj(mi)由此可得，投影pj:(M,+,)(Mj,+,)是Riesz模满同态。定理 3 设(Mi,+,)i I是范畴RielR中的一簇Riesz模，作(Mi,+,)i I的笛卡尔积(M,+,)=(Mi,+,)，则 pj:(M,+,)(Mj,+,)|j I 是对象簇(Mi,+,)的乘积。证明 设对任意的Riesz模(N,+,)ob(RielR)，且存在Riesz模同态qj:(N,+,)(Mj,+,)，定义:(N,+,)(M,+,)，其中n (N,+,)，(n)=qi(n)i I.易知是一个映射，以下证明是Riesz模同态：对任意的x,y (N,+,)，r (R,+,)有(x+y)=qi(x+y)=qi(x)+qi(y)=qi(x)+qi(y)=(x)+(y)(rx)=qi(rx)=rqi(x)=r qi(x)=r(x)又由于(x y)=qi(x y)=qi(x)qi(y)=qi(x)qi(y)=(x)(y)(x y)=qi(x y)=qi(x)qi(y)=qi(x)qi(y)=(x)(y)故是Riesz模同态。并且对任意的n (N,+,)，pj(n)=pj qi(n)=qj(n)，故由n的任意性可得pj=qj成立。又由于乘积在同构意义下是唯一的，所以 pj:(M,+,)(Mj,+,)|j I 是对象簇(Mi,+,)i I的乘积。qjpj（N，+，）（M，+，）（Mj，+，）图6 Riesz模范畴中乘积示意图引理 4 设(Mi,+,)|i I 是范畴中的一簇Riesz模，这里的指标集I是任意的，记(L,+,)=(Mi,+,)=mi (Mi,+,)|mi中 只 有 有 限 个mi 0，在 该 集 合 中 规 定：对 任 意 的mi，mi (L,+,)，r (R,+,)有 mi=mi当且仅当mi=mi，i I mi+mi=mi+mi，r mi=rmi mi mi=mi mi，mi mi=mi mi则（1）(L,+,)是一个Riesz模；（2）嵌入qj:(Mj,+,)(L,+,)，qj(mj)=mjij是Riesz模单同态，其中ij=1,i=j0,i j证明（1）由模论可知，(L,+,)是一个左R-模。又由于 mi mi=mi mi以及 mi mi=mi mi，故(L,+,)可以构成一个格，并且对任意的 ni (L,+,)，若 mi mi，r 0，那么有 mi+ni=mi+ni mi+ni=mi+ni，r mi 0 故相容关系成立，由此可得(L,+,)是一个Riesz模。（2）嵌 入qj:(Mj,+,)(L,+,)，qj(mj)=mjij，显 然qj是 单 射，对 任 意 的mj,mj(Mj,+,)，r (R,+,)有qj(mj+mj)=(mj+mj)ij=mjij+mjij=mjij+mjij=qj(mj)+qj(mj)16李丹阳，等：Riesz模范畴的完备性和余完备性qj(rmj)=rmjij=r mjij=rqj(mjij)成立，又由于qj(mj mj)=(mj mj)ij=mjij mjij=mjij mjij=qj(mj)qj(mj)qj(mj mj)=(mj mj)ij=mjij mjij=mjij mjij=qj(mj)qj(mj)由此可得，嵌入qj:(Mj,+,)(L,+,)是Riesz模单同态。定理4 设(Mi,+,)i I是范畴RielR中的一簇Riesz模，作(Mi,+,)i I的直和(L,+,)=(Mi,+,)，则 qj:(Mj,+,)(L,+,)|i I 是对象簇(Mi,+,)i I的余积。证明 设对任意的Riesz模(N,+,)ob(RielR)，且存在Riesz模同态pj:(Mj,+,)(N,+,)，定义:(L,+,)(N,+,)，其中 mi (L,+,)，(mi)=pi(mi).因为mi中只有有限个mi 0，所以pi(mi)有 意 义，故是(L,+,)到(N,+,)的 一 个 映 射。下 证是Riesz模 同 态：对 任 意 的 mi,mi (L,+,)，r (R,+,)有 (mi+mi)=(mi+mi)=pi(mi+mi)=pi(mi)+pi(mi)=pi(mi)+pi(mi)=(mi)+(mi)(r mi)=(rmi)=pi(rmi)=rpi(mi)=rpi(mi)=r(mi)又由于 (mi mi)=(mi mi)=pi(mi mi)=pi(mi)pi(mi)=pi(mi)pi(mi)=(mi)(mi)(mi mi)=(mi mi)=pi(mi mi)=pi(mi)pi(mi)=pi(mi)pi(mi)=(mi)(mi)故是Riesz模同态。并且对任意的mj(Mj,+,)，qj(mj)=(mjij)=pj(mj)，故由mj的任意性有qj=pj成立。又由于余积在同构意义下是唯一的，所以 qj:(Mj,+,)(L,+,)|j I 是对象簇(Mi,+,)i I的余积。（Mj，+，）（L，+，）（N，+，）qjpj图7 Riesz模范畴中余积示意图下面讨论Riesz模范畴RielR中的等值子和余等值子。引理5 设f,g:(M,+,)(N,+,)Mor(RielR)，令E=m M|f(m)=g(m)，则（1）(E,+,)是(M,+,)的子Riesz模；（2）嵌入映射e:(E,+,)(M,+,)是Riesz模同态。证明（1）对于0 (M,+,)有f(0)=g(0)，所以0 (E,+,)，显然 E M，即E是M的非空子集；因为f,g Mor(RielR)，故对任意的m1,m2(E,+,)，r (R,+,)有f(m1+m2)=f(m1)+f(m2)=g(m1)+g(m2)=g(m1+m2)f(rm1)=rf(m1)=rg(m1)=g(rm1)成立，故m1+m2(E,+,)，rm1(E,+,)，所以(E,+,)是(M,+,)的子模。又由于f(m1 m2)=f(m1)f(m2)=g(m1)g(m2)=g(m1 m2)f(m1 m2)=f(m1)f(m2)=g(m1)g(m2)=g(m1 m2)成立，故m1 m2，m1 m2(E,+,)，所以(E,+,)是(M,+,)的子格。又对任意的p (E,+,)，若m1 m2，r 0，那么p+m1 p+m2且rm1 0成立，故相容关系成立，由此可得，(E,+,)是(M,+,)的子Riesz模。（2）因为(E,+,)是(M,+,)的子Riesz模，所以在Riesz模范畴RielR中，嵌入映射e:(E,+,)(M,+,)17新疆师范大学学报（自然科学版）2024年是Riesz模同态。定理 5 设f，g:(M,+,)(N,+,)是Riesz模范畴RielR中的一对平行态射，令E=m M|f(m)=g(m)是(M,+,)的子Riesz模，则包含态射e:(E,+,)(M,+,)是平行态射的等值子。证明（1）fe=ge显然成立；（2）存在性：设(E,+,)是一个Riesz模，且存在Riesz模同态e:(E,+,)(M,+,)满足fe=ge.定义函数h:(E,+,)(E,+,)，其中对任意的x (E,+,)，h(x)=e(x).因为fe(x)=ge(x)，所以e(x)(E,+,)，那么有e(h(x)=e(e(x)=e(x)成立。由于态射e是Riesz模同态，即e既是R模同态又是格同态，故对任意的x,y (E,+,)，r (R,+,)：h(x+y)=e(x+y)=e(x)+e(y)=h(x)+h(y)h(rx)=e(rx)=re(x)=rh(x)以及h(x y)=e(x y)=e(x)e(y)=h(x)h(y)h(x y)=e(x y)=e(x)e(y)=h(x)h(y)所以，h是Riesz模同态。g（N，+，）（M，+，）（E，+，）（E，+，）efeh图8 Riesz模范畴中等值子示意图唯一性：设h:(E,+,)(E,+,)也是Riesz模同态，且eh=e，那么对任意的x (E,+,)，由于e(h(x)=e(e(x)=e(x)，故有e(h(x)=h(x)成立，又由eh=e有e(h(x)=e(x)，所以h(x)=e(h(x)=e(x)=h(x)，x (E,+,)故由x的任意性可知h=h，所以e:(E,+,)(M,+,)是平行态射f与g的等值子。定义14 设是Riesz模(M,+,)上的一个等价关系，若(M,+,)中的元素m与n具有关系，则记作m n(mod).如果对任意的m,n,p,q (M,+,)，r (R,+,)，当m p(mod)，n q(mod)成立时，有m+n (p+q)(mod)，rm rp(mod)m n (p q)(mod)，m n (p q)(mod)则称是Riesz模(M,+,)上的同余关系，称(M/,+,)=(m)|m M 为(M,+,)关于同余关系的商集。若定义映射q:(M,+,)(M/,+,)满足q(m)=(m)，即把(M,+,)中的元素m映射到m的等价类(m)，这样的映射称为自然映射。引理6 Riesz模(M,+,)上的任意多个同余关系的交仍为同余关系。证明 设i|i I 为Riesz模(M,+,)上的一簇同余关系，这里的指标集I是任意的。由i是Riesz模(M,+,)上的等价关系可以验证i为等价关系。事实上，自反性：对任意的m (M,+,)有(m,m)i(i I)，故(m,m)i.对称性：对任意的m,n (M,+,)，若(m,n)i，则对任意的i(i I)有(m,n)i，从而(n,m)i，所以(n,m)i.传递性：对任意的m,n,p (M,+,)，若(m,n)i，(n,p)i，则对任意的i(i I)有(m,n)i，(n,p)i，从而(m,p)i，所以(m,p)i.以下证明i是Riesz模(M,+,)上的同余关系：对任意的m,n,p,q (M,+,)，r (R,+,)，若(m,p)i，(n,q)i，则对任意的i(i I)均有(m,p)i，(n,q)i，所以有(m+n,p+q)i，(rm,rp)i，(m n,p q)i，(m n,p q)i从而(m+n,p+q)i，(rm,rp)i，(m n,p q)i，(m n,p q)i所以i是Riesz模(M,+,)上的同余关系。引理 6 设是Riesz模(N,+,)中 的Riesz模 同 余 关 系，在Riesz模(N,+,)关 于的 商18李丹阳，等：Riesz模范畴的完备性和余完备性N/=(n)|n N 中规定：对任意的n1,n2(N,+,)，r (R,+,)有(n1)+(n2)=(n1+n2)，r(n1)=(rn1)(n1)(n2)=(n1 n2)，(n1)(n2)=(n1 n2)则（1）N/,+,)是一个Riesz模；（2）自然映射q:(N,+,)(N/,+,)是Riesz模同态。证明（1）首先证明“运算与代表元的选取无关”。对任意的n1,n2(N,+,)满足n1n1，n2n2，即(n1)=(n1)，(n2)=(n2)，那么由(n1)+(n2)=(n1+n2)=(n1+n2)=(n1)+(n2)r(n1)=(rn1)=(rn1)=r(n1)(n1)(n2)=(n1 n2)=(n1 n2)=(n1)(n2)(n1)(n2)=(n1 n2)=(n1 n2)=(n1)(n2)可知，该运算与代表元的选取无关。其次证明(N/,+,)是一个Abel l群：结合律：对(n1),(n2),(n3)(N/,+,)，满足(n1)+(n2)+(n3)=(n1)+(n2+n3)=(n1+(n2+n3)=(n1+n2)+n3)=(n1)+(n2)+(n3)单位元：对(n)(N/,+,)，存在(0)(N/,+,)使得(n)+(0)=(n+0)=(n)，故单位元存在。逆元：对(n)(N/,+,)，存在(-n)(N/,+,)使得(n)+(-n)=(n-n)=(0)，故逆元存在。交换律：对(n1),(n2)(N,+,)，满足(n1)+(n2)=(n1+n2)=(n2+n1)=(n2)+(n1).相容性：对(n1),(n2),(p)(N,+,)，(n1)(n2)有(p)+(n1)=(p+n1)(p+n2)=(p)+(n2)，故满足相容性条件。以下证明(N/,+,)是一个Riesz模。由模论可知(N,+,)是一个左R-模。事实上，N/=(n)|n N 是一个Abel群，且满足以下性质：r (R,+,)，(n)(N/,+,)有：r(n)=(rn)(N,+,)；r1,r2,r (R,+,)，(n1),(n2),(n)(N,+,)有(r1+r2)(n)=(r1+r2)n)=(r1n+r2n)=(r1n)+(r2n)=r1(n)+r2(n)r(n1)+(n2)=r(n1+n2)=(r(n1+n2)=(rn1+rn2)=(rn1)+(rn2)=r(n1)+r(n2)r1,r2(R,+,)，(n)(N/,+,)有r1(r2(n)=r1(r2n)=(r1(r2n)=(r1r2)n)=r1r2(n)又由于对任意的(n1),(n2),(n3)(N/,+,)满足：幂等律：(n1)(n1)=(n1 n1)=(n1)，(n1)(n1)=(n1 n1)=(n1)交换律：(n1)(n2)=(n1 n2)=(n2 n1)=(n2)(n1)(n1)(n2)=(n1 n2)=(n2 n1)=(n2)(n1)结合律：(n1)(n2)(n3)=(n1)(n2 n3)=(n1(n2 n3)=(n1 n2)n3)=(n1 n2)(n3)=(n1)(n2)(n3)(n1)(n2)(n3)=(n1)(n2 n3)=(n1(n2 n3)=(n1 n2)n3)=(n1 n2)(n3)19新疆师范大学学报（自然科学版）2024年 =(n1)(n2)(n3)吸收律：(n1)(n1)(n2)=(n1)(n1 n2)=(n1(n1 n2)=(n1)(n1)(n1)(n2)=(n1)(n1 n2)=(n1(n1 n2)=(n1)所以(N/,+,)是一个格。又对任意的(p)(N/,+,)，若(n1)(n2)，r 0，那么有(p)+(n1)=(p+n1)(p+n2)=(p)+(n2)，r(n1)r(n2)故相容关系成立，由此可得(N/,+,)是一个Riesz模。（2）自然映射q:(N,+,)(N/,+,)，q(n)=(n)，n (N,+,).对任意的n1,n2(N,+,)，r (R,+,)有q(n1+n2)=(n1+n2)=(n1)+(n2)=q(n1)+q(n2)q(rn1)=(rn1)=r(n1)=rq(n1)成立，且q(n1 n2)=(n1 n2)=(n1)(n2)=q(n1)q(n2)q(n1 n2)=(n1 n2)=(n1)(n2)=q(n1)q(n2)成立，由此可得，q是Riesz模同态。定义15 设(M,+,)是一个Riesz模，R M M是M上的一个二元关系，令R=|R ，是M上的同余关系，根据引理6，R是(M,+,)上的同余关系，称为由R生成的最小同余关系。定理6 设f,g:(M,+,)(N,+,)是Riesz模范畴RielR中的一对平行态射，是Riesz模(N,+,)上包含(f(m),g(m)|m M 的最小同余关系，则自然商同态q:(N,+,)(N/,+,)是平行态射的余等值子且q(n)=(n).证明（1）根据引理6，因为(N/,+,)是Riesz商模(N/,+,)=(n)|n N，其中(n)是n的同余类，所以对任意的m (M,+,)，有q(f(m)=(f(m)，q(g(m)=(g(m)，又由于(f(m),g(m)，所以(f(m)=(g(m)，故q(f(m)=q(g(m)，则由m的任意性可知qf=qg成立。（2）存在性：设(L,+,)是Riesz模，并且存在Riesz模同态q:(N,+,)(L,+,)使得qf=qg.定义:(N/,+,)(L,+,)，其中n (N,+,)，(n)=q(n)，那么(q(n)=(n)=q(n).因为对任意的n，n(N,+,)，若n=n，则有q(n)=q(n)成立，那么对任意的(n)，(n)(N/,+,)，若(n)=(n)，则(n)=q(n)=q(n)=(n)，所以是映射。以下证明是Riesz模同态。首先对任意的x,y (N,+,)，r (R,+,)：有(x)+(y)=(q(x)+q(y)=(q(x+y)=q(x+y)=q(x)+q(y)=(x)+(y)(r(x)=(rx)=q(rx)=rq(x)=r(x)其次，又由于(x)(y)=(q(x)q(y)=(q(x)q(y)=(q(x y)=q(x y)=q(x)q(y)=(x)(y)(x)(y)=(q(x)q(y)=(q(x)q(y)=(q(x y)=q(x y)=q(x)q(y)=(x)(y)故是Riesz模同态。fgq（M，+，）（N，+，）（N/，+，）（L，+，）q图9 Riesz模范畴中余等值子示意图唯一性：假设存在:(N/,+,)(L,+,)使得q=q，由于对n (N,+,)有q(n)=(n)且(n)=q(n)，则有(q(n)=(n)=q(n).因此(q(n)=(n)=q(n)=(n)=(q(n)20李丹阳，等：Riesz模范畴的完备性和余完备性即(q(n)=(q(n)，由n的任意性可知，=.综上可知，存在唯一的态射:(N/,+,)(L,+,)使得q=q成立，所以q:(N,+,)(N/,+,)是平行态射的余等值子。定理7 Riesz模范畴RielR是完备范畴。证明 由定理3和定理5可知，Riesz模范畴RielR存在乘积和等值子，故由引理1可知，Riesz模范畴RielR是完备范畴。定理8 Riesz模范畴RielR是余完备范畴。证明 由定理4和定理6可知，Riesz模范畴RielR存在余积和余等值子，故由引理2可知，Riesz模范畴RielR是余完备范畴。参考文献：1 BIRKHOFF G.Lattice-ordered Groups J.Providence：Mathematics Department，Princeton University，1942，43（02）：298-331.2 BIRKHOFF G，PIERCE R S.Lattice-ordered Rings J.Anais Da Academia Brasileira De Cincias，1956，（28）：41-69.3 RIESZ F.Sur Quelques Notions Fondamentales Dans La Theorie Generale Des Operations LineairesJ.Princeton：Annals of Mathematics，1940，41（01）：174-206.4 戴天佑.序理论的基础 M.纽约：纽约约克学院，2008.5 崔晓宇，周璞铉，汤建钢，等.左R-模上Riesz空间的相关性质研究 J.伊犁师范大学学报（自然科学版），2022，16（04）：1-7.6 孙锐娟，汤建钢.左R-模上Riesz空间的同态和同构性质研究 J.伊犁师范大学学报（自然科学版），2023，17（02）：1-8.7 刘晓芳，汤建钢.Riesz模范畴中直积与直和的性质研究 J.伊犁师范大学学报（自然科学版），2023,17（03）：1-12.8 李桃生.范畴与同调代数基础 M.北京：华东师范大学出版社，1986.9 BIRKHOFF G.Lattice Theory M.Providence：American Mathematical Society Colloquium，1967.10 张娟娟，汤建钢.-左R-模范畴的完备性 J.数学的实践与认识，2013，43（23）：268-274.11 耿俊，汤建钢，聂晓艳.范畴-Cat的完备性 J.模糊系统与数学，2012，26（02）：147-151.12 AWODEY S.Category Theory M.Oxford：Clarendon Press，2006.13 徐晓泉.完全分配格范畴的完备性与余完备性（英文）J.四川大学学报（自然科学版），1992，（03）：345-347.14 贺伟.范畴论 M.北京：科学出版社，2006.15 魏武.L-半格范畴 D.长沙：湖南大学，2010.16 曾志宣，罗从文.L-半格的性质 J.三峡大学学报（自然科学版），2009，31（02）：103-109.Completeness and Cocompleteness of the Category of Riesz ModulesLI Dan-yang1，TANG Jian-gang1，2（1.College of Mathematics and Statistics，Yili Normal University，Yining，Xinjiang，835000，China；2.Institute of Applied Mathematics，Yili Normal University，Yining，Xinjiang，835000，China）Abstract：Category theory is the foundation of modern mathematics.Starting from the category of Riesz modules，the study of the internal characteristics of Riesz modules is an important method for studying Riesz modules.The limit of a category is one of the key concepts of category theory.The concepts of product and equalizer in the category can all be seen as some kind of special limit of the category，and the coproduct and coequalizer are special colimits.The existence of a limit in the category determines the completeness of the category，and the existence of a colimit determines cocompleteness.Specific representations of product and coproduct，equalizer and coequalizer in the category of Riesz modules are given by studying the limits of the category of Riesz modules with Riesz modules as objects and Riesz modules homomorphisms as morphisms，which in turn prove that the category of Riesz modules has completeness and cocompleteness.Keywords：Riesz modules；Category；Equalizer；Coequalizer；Completeness；Cocompleteness21