吉林省长春市长春外国语学校2022年数学高一上期末统考模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知，，，下列不等式正确个数有（）
①，②，③，④.
A.1 B.2
C.3 D.4
2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3．已知二次函数在区间(2，3)内是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A.或 B.
C.或 D.
4．若sinα=-，且α为第三象限的角，则cosα的值等于（　　）
A. B.
C. D.
5．已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
6．已知，则的大小关系为（）
A B.
C. D.
7．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中

A.最长的是AB，最短的是AC
B.最长的是AC，最短的是AB
C.最长的是AB，最短的是AD
D.最长的是AD，最短的是AC
8．已知函数在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
10．已知,且在区间有最大值,无最小值,则＝(　　)
A B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知角的终边过点，则___________.
12．已知样本，，…，的平均数为5，方差为3，则样本，，…，的平均数与方差的和是_____
13．在中，，BC边上的高等于,则______________
14．若，，则等于_________.
15．某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是_______.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数
（1）写出函数单调递减区间和其图象的对称轴方程；
（2）用五点法作图，填表并作出在图象.

x

y

17．（1）利用函数单调性定义证明：函数是减函数；
（2）已知当时，函数的图象恒在轴的上方，求实数的取值范围.
18．过圆内一点P（3，1）作弦AB，当|AB|最短时,求弦长|AB|.
19．已知，，，请在①②，③中任选一个条件，补充在横线上
（1）求的值；
（2）求的值
20．设函数
（1）若是偶函数，求k的值
（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围；
（3）设函数若在有零点，求实数的取值范围
21．已知函数最小正周期为.
（1）求的值：
（2）将函数的图象先向左平移个单位，然后向上平移1个单位，得到函数，若在上至少含有4个零点，求b的最小值.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】由于，得，根据基本不等式对选项一一判断即可
【详解】因，，，
所以，得，当且仅当时取等号，②对；
由，当且仅当时取等号，①对；
由得，所以，当且仅当时取等号，③对；
由，当且仅当时取等号，④对
故选：D
2、A
【解析】根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案.
【详解】解：对于A，两个函数的定义域都是，
，对应关系完全一致，
所以两函数是相同函数，故A符合题意；
对于B，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故B不符题意；
对于C，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故C不符题意；
对于D，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故D不符题意.
故选：A.
3、A
【解析】根据开口方向和对称轴及二次函数f（x）=x2-2ax+1的单调区间求参数的取值范围即可.
【详解】根据题意二次函数f（x）=x2-2ax+1开口向上，单调递增区间为，单调减区间，因此当二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调增函数时a≤2，
当二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调减函数时a≥3，
综上可得a≤2或a≥3.
故选：A.
4、B
【解析】先根据为第三象限角，可知，再根据平方关系，利用，可求的值
【详解】解：由题意，为第三象限角

，

故选．
【点睛】本题以三角函数为载体，考查同角三角函数的平方关系，解题时应注意判断三角函数的符号,属于基础题．
5、D
【解析】由任意角三角函数的定义可得结果.
【详解】依题意得.
故选：D.
6、B
【解析】观察题中，不妨先构造函数比较大小，再利用中间量“1”比较与大小即可得出答案.
【详解】由题意得，，
由函数在上是增函数可得，
由对数性质可知，，
所以，
故选:B
7、C
【解析】由斜二测画法得到原三角形，结合其几何特征易得答案.
【详解】由题意得到原△ABC的平面图为：

其中，AD⊥BC，BD＞DC，
∴AB＞AC＞AD，
∴△ABC的AB、AD、AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD
故选C
【点睛】本题考查了斜二测画法，考查三角形中三条线段长的大小的比较，属于基础题
8、C
【解析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.
【详解】由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
在上单调递减，且，
所以且，解得：.
故的取值范围是
故选：C.
9、B
【解析】直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案.
【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.
故选：B
10、C
【解析】结合题中所给函数的解析式可得：
直线为的一条对称轴，
∴，
∴，又，
∴当k=1时,.
本题选择C选项.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】根据角终边所过的点,求得三角函数,即可求解.
【详解】因为角的终边过点
则

所以
故答案为:
【点睛】本题考查了已知终边所过的点,求三角函数的方法,属于基础题.
12、23
【解析】利用期望、方差的性质，根据已知数据的期望和方差求新数据的期望和方差.
【详解】由题设，，，
所以，.
故平均数与方差的和是23.
故答案为：23.
13、.
【解析】设边上的高为，则，求出，．再利用余弦定理求出.
【详解】设边上的高为，则，
所以，
由余弦定理，知
故答案为
【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
14、
【解析】由同角三角函数基本关系求出的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以，
故答案为：.
15、①②③
【解析】由奇偶性判断①，结合①对，，三种情况讨论求值域，判断②，由单调性判断③，由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，进而判断④，从而得出答案
【详解】①，即，故正确；
②当时，，由①可知当时，，当时，，所以函数的值域是，正确；
③当时，，由反比例函数的单调性可知，在上是增函数，由①可知在上也是增函数，所以若，则一定有，正确；
④由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，故错误
综上正确结论的序号是①②③
【点睛】本题考查函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，值域等，属于一般题

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）递减区间，对称轴方程：；（2）见解析
【解析】(1)由正弦型函数的单调性与对称性即可求得的单调区间与对称轴；(2)根据五点作图法规则补充表格，然后在所给坐标中描出所取五点，以光滑曲线连接即可.
【详解】(1) 令，解得，
令，解得，
所以函数的递减区间为，对称轴方程：；
(2)

0

x

y
1
3
1
-1
1

【点睛】本题考查正弦型函数的单调性与对称性，五点法作正(余)弦型函数的图像，属于基础题.
17、（1）略；（2）
【解析】（1）根据单调性的定义进行证明即可得到结论；（2）将问题转化为在上恒成立求解，即在上恒成立，然后利用换元法求出函数的最小值即可得到所求范围
【详解】（1）证明：设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴函数是减函数
（2）由题意可得在上恒成立，
∴在上恒成立
令，因为，所以，
∴在上恒成立
令,,
则由（1）可得上单调递减，
∴，
∴
∴实数的取值范围为
【点睛】（1）用定义证明函数单调性的步骤为：取值、作差、变形、定号、结论，其中变形是解题的关键
（2）解决恒成立问题时，分离参数法是常用的方法，通过分离参数，转化为求具体函数的最值的问题处理
18、.
【解析】考虑直线AB的斜率不存在时，求出A,B坐标，得到，当直线AB的斜率存在时，圆的圆心（4,2），半径r=3，圆心（4,2）到直线AB的距离为：，利用勾股定理基本不不等式即可求出圆的最短的弦长
【详解】(1)当直线AB的斜率不存在时，
，所以
（2）当直线AB的斜率存在时，
圆心（4,2）到直线AB的距离为：
，即，
当时取得最小值7， 弦长的最小值为.
综上弦长的最小值为.
【点睛】本题考查圆的最短弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据所选的条件求得，，再由差角正弦公式求的值；
（2）由题设可得，进而可得，结合及差角余弦公式，即可求值.
【小问1详解】
由，则：
若选①，由，，得，，
若选②，由得：，所以，
若选③，由得，，，，
所以.
【小问2详解】
∵，
∴，又，
∴
∴.
20、（1），（2），（3）
【解析】（1）由偶函数的定义可得，，列方程可求出的值；
（2）由，可得 ，分离出 ，换元后利用二次函数的性质求解即可；
（3）结合已知条件，代入可求，然后结合在有零点，利用换元法，结二次函数的性质求解.
【详解】解：（1）因为是偶函数，所以，
即，
，解得；
（2）由，可得，
则，
即存在，使成立，
令，则，
因为，所以，
令，则对称轴为直线，
所以在单调递增，
所以时，取得最大值，即，
所以，即实数m的取值范围为；
（3），则，
所以，
设，当时，函数为增函数，则，
若在上有零点，
即在上有解，
即，，
因为函数在为增函数，
所以，
所以取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查二次函数性质的应用，解题的关键是将转化为，然后利用换元法结合二次函数的性质求解即可，考查数学转化思想，属于中档题
21、（1）1 （2）
【解析】（1）利用平方关系、二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，然后根据周期公式即可求解；
（2）利用三角函数的图象变换求出的解析式，然后借助三角函数的图象即可求解.
【小问1详解】
解：
，
因为函数的最小正周期为，即，
所以；
【小问2详解】
解：由（1）知，
由题意，函数，
令，即，
因为在上至少含有4个零点，
所以，即，
所以的最小值为.