BBM-Burgers方程的非协调有限元方法的超收敛分析.pdf

D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 3-0 9 7 2.2 0 2 4.0 2.0 0 8 文章编号:1 0 0 3-0 9 7 2(2 0 2 4)0 2-0 1 8 2-0 8B BM-B u r g e r s方程的非协调有限元方法的超收敛分析石东洋*,周 钱(郑州大学 数学与统计学院,河南 郑州 4 5 0 0 0 1)摘 要:研究B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y-B u r g e r s(B BM-B u r g e r s)方程的非协调E Qr o t1元的线性化B D F格式下的超收敛性质。通过使用数学归纳法来处理非线性项,并利用该单元已有的高精度结果及插值后处理技术,得到了在对空间剖分尺度和时间步长无网格比约束的前提下,关于离散H1-模意义下具有O(h2+2)阶的超逼近和超收敛结果。最后,通过给出数值算例验证了理论分析的正确性。关键词:B BM-B u r g e r s方程;非协调E Qr o t1元;线性化B D F全离散格式;超逼近;超收敛中图分类号:O 2 4 2.2 1 文献标识码:A开放科学(资源服务)标识码(O S I D):S u p e r c o n v e r g e n c e A n a l y s i s o f N o n c o n f o r m i n g F i n i t e E l e m e n t M e t h o d f o r B BM-B u r g e r s E q u a t i o nS H I D o n g y a n g*,Z H O U Q i a n(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,Z h e n g z h o u U n i v e r s i t y,Z h e n g z h o u 4 5 0 0 0 1,C h i n a)A b s t r a c t:T h e s u p e r c o n v e r g e n c e b e h a v i o r o f t h e l i n e a r i z e d B D F f o r m a t w i t h t h e n o n c o n f o r m i n g E Qr o t1 e l e m e n t f o r t h e B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y-B u r g e r s(B BM-B u r g e r s)e q u a t i o n w a s s t u d i e d.B y u s i n g m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n t o d e a l w i t h t h e n o n l i n e a r t e r m,t o g e t h e r w i t h t h e h i g h a c c u r a c y a n a l y s i s o f t h i s e l e m e n t a n d i n t e r p o l a t i o n p o s t-p r o c e s s i n g t e c h n i q u e,t h e n t h e s u p e r c l o s e a n d s u p e r c o n v e r g e n c e r e s u l t s o f o r d e r O(h2+2)w e r e d e r i v e d i n t h e b r o k e n H1-n o r m w i t h o u t a n y r e s t r i c t i o n b e t w e e n t h e m e s h s i z e a n d t i m e s t e p.F i n a l l y,t h e c o r r e c t n e s s o f t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s w a s v e r i f i e d b y a n u m e r i c a l e x a m p l e.K e y w o r d s:B BM-B u r g e r s e q u a t i o n;n o n c o n f o r m i n g EQr o t1e l e m e n t;l i n e a r i z e d B D F f u l l y d i s c r e t e s c h e m e;s u p e r c l o s e n e s s;s u p e r c o n v e r g e n c e0 引言考虑如下的B BM-B u r g e r s方程1:ut-ut-u=?f(u),(X,t)(0,T,u(X,t)=0,(X,t)(0,T,u(X,0)=u0(X),X,(1)式中:是R2中的有界凸区域,并且具有连续的L i p s c h i t z边界;函数f(u)=(-(12u2+u),-(12u2+u);u0(X)是一个已知的光滑函数。方程(1)通常用于描述非线性色散系统中小振幅长波的传播,在这种情况下需要考虑耗散机制,例如,在黏度不可以忽视时的小振幅水波在水面中的传播。该方程的相关物理背景和数学模型的更多信息,可参见文献1-4。如果去掉二阶耗散项u,那么方程(1)则退化为著名的B BM方程2,此方程是通过对K d V方程进行修正来描述正则化长波在非线性效应和色散效应之间取得平衡的过程。若非线性项为f(u)=(-12u2,-12u2),则方程(1)为带B u r g e r s项的非线性S o b o l e v方程5,该方程刻画了纵向非平稳的地下液体在多孔介质中的流动现象。收稿日期:2 0 2 3-0 2-2 7;修回日期:2 0 2 3-0 4-1 6;*.通信联系人,E-m a i l:s h i_d y z z u.e d u.c n 基金项目:国家自然科学基金项目(1 1 6 7 1 3 6 9,1 2 0 7 1 4 4 3)作者简介:石东洋(1 9 6 1),男,河南鲁山人,河南省特聘教授,博士生导师,主要从事有限元方法及其应用研究。引用格式:石东洋,周钱.B B M-B u r g e r s方程的非协调有限元方法的超收敛分析J.信阳师范学院学报(自然科学版),2 0 2 4,3 7(2):1 8 2-1 8 9.S H I D o n g y a n g,Z HOU Q i a n.S u p e r c o n v e r g e n c e A n a l y s i s o f N o n c o n f o r m i n g F i n i t e E l e m e n t M e t h o d f o r B BM-B u r g e r s E q u a t i o nJ.J o u r n a l o f X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 2 4,3 7(2):1 8 2-1 8 9.281信阳师范学院学报(自然科学版)J o u r n a l o f X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y第3 7卷 第2期 2 0 2 4年4月 N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n V o l.3 7 N o.2 A p r.2 0 2 4 关于方程(1)已经有很多相关的理论分析和数值研究。例如,文献6-9 着重讨论了全局解的存在性和收敛性。由于此时方程中有非线性项的存在,这使得其精确解往往难以求得,因此有关其数值解的研究就成为学者们关注的热点之一。对于一维情况,文献1 0 研究了F a e d o-G a l e r k i n方法,证明了其真解的存在唯一性,随后并给出了协调有限元方法在非线性全离散格式下数值解的适定性,得到了L?范数下的误差收敛结果。文献1 1 提出了一种三次样条配置法用来近似原方程的解,获得了关于时间方向上有二阶精度的数值解,并给出了L2-范数和L?-范数意义下的误差估计。对于二维情况,文献1 2 讨论了一种带有守恒格式的C r a n k-N i c o l s o n有限差分方法,并用离散能量法证明了数值解的稳定性和唯一性,同时给出相应的收敛性分析。文献1 3 讨论了e l e m e n t-f r e e的G a l e r k i n方法,得到了L2-范数下的误差估计。之后文献1 4 引入了一种自适应移动网格有限元方法,得到了L2和L?-范数下的最优误差估计。最近文献1 5 使用双线性元构造了一个关于时间方向上有二阶精度的C r a n k-N i c o l s o n全离 散格式,并得到了H1模意义下的超收敛结果。但是以上很多工作都是基于协调有限元的,尚未涉及非协调有限元。对于非协调单元1 6-1 9来说,有其自身独特的优势,这类单元的自由度通常是定义在单元的边上或单元本身上,而多数协调元的自由度则是定义在单元顶点上。相比较而言,非协调单元之间的信息更便于传递,由于每个自由度一般只与两个相邻单元有关,更有利于进行并行计算2 0。对于E Qr o t1非协调元,文献2 1-2 2 已经证明了还有特殊的性质:一是其插值算子等价于R i t z投影算子;二是当精确解u属于H3()时,其相容误差在能量模意义下能够达到O(h2)阶,正好比插值误差高1阶。到目前为止,该单元已被广泛地应用于各种方程。例如,K l e i n-G o r d o n-S c h r d i n g e r方 程2 3、S i g n o r i n i问题2 4、非线性抛物方程2 5和非线性S c h r d i n g e r方程2 6等。然而,目前对于问题(1)的非协调元方法的研究很少有详细报道。本文的主要目的是利用非协调单元EQr o t1对B BM-B u r g e r s方程建立一个关于时间上有二阶精度的线性化全离散格式,并证明在离散H1模意义下有O(h2+2)阶的超逼近结果。进一步地借助于插值后处理技术,导出相应的超收敛结果。该格式是一种多步法并且无条件稳定2 7-2 8。另一方面,与以往的R u n g e-K u t t a格式相比,这种格式不仅可以达到时间方向的高阶精度,而且不会显著增加计算量2 9。另外,使用数学归纳法,避免了以往由于事先假设有限元解在无穷范数下的有界性所带来网格比的限制3 0,并且证明了有限元解在能量模意义下的稳定性。最后,通过数值算例验证了理论的正确性和算法的有效性。1 E Qr o t1非协调有限元及其性质为了方便起见,将区域作均匀的矩形剖分Th,其中h=KThm a xd i a m K。对于给定的KTh,记其4个顶点和4条边分别为ai和li=aiai+1(i=1,2,3,4 m o d(4),E Qr o t1非协调元有限元空间定义如下1 6-1 7:Vh=vh:vh|K s p a n1,x,y,x2,y2,Fvhds=0,FK,KTh,式中:vh 是指跨过单元边界vh的跳跃度,所以当F时,vh=vh。有限元空间Vh上的插值算子Ih定义如下:li(Ihu-u)ds=0,(i=1,2,3,4),K(Ihu-u)dX=0。文献3 1 中已经证明了下面的结论:引理1 若uH3()H10(),对于任意的vhVh,则有如下结果:(?h(u-Ihu),?hvh)=0,(2)|KKunvhds|=O(h2)|u|3vhh。(3)此处的?h表示分片梯度,(u,v)h=KKuvdX,h=(K|21,K)12。用Wm,p()表示通常的S o b o l e v空间,其半范数和范数分别记为|m,p和m,p,特别地,当p=2时,Wm,p()简记为Hm(),相应的半范数和范数简记为|m和m。定义Vh上的离散的H1-模如下:1,h=(20+2h)12。简记H10()=uH1(),u=0 o n 。此外,函数空间Lp(J;X)装配上范数:381石东洋,周钱.B BM-B u r g e r s方程的非协调有限元方法的超收敛分析fLp(J;X)=(Jf(,t)pXdt)1p,并且若p=?,则记fL?(J;Hs()=s u ptXfHs()为f在上的本性上界。文中出现的C均表示与剖分尺寸无关的常数,在不同的地方取值可以不同。2 线性化的B D F全离散格式方程(1)的变分形式为:求u:J=(0,TH1(),使得(ut,v)+(?ut,?v)+(?u,?v)=(?f(u),v),vH10(),u(X,0)=u0(X)。(4)令tn|tn=n,0nN 是0,T 上的一个时间步长为=T/N的等距剖分,式中tn=n,u(X,tn)=un。nNn=0是一列函数,记-n=12(n+n-1),n=1(n-n-1),1nN,Dn=1(32n-2n-1+12n-2),n=2n-1-n-2,2nN。除此之外,为了方便起见,简记(n,n)=12(n20-n-120+n-n-120),(Dn,n)=14(F(n)-F(n-1)+G(n),式中:F(n)=n20+2n-n-120,G(n)=n-2n-1+n-220。在此基础上,现在给出方程(1)的线性化的全离散格式:求unhVh对于任意的n2满足(Dunh,vh)+(D?hunh,?hvh)+(?hunh,?hvh)+(f(unh),?hvh)=0,vhVh,u0h=Ihu0。(5)为了保证时间方向上的二阶精度,采用预估校正的方法来计算u1h,(u1h,vh)+(?hu1h,?hvh)+(?hu-1h,?hvh)+(f(u1,0h+u0h2),?hvh)=0,vhVh,(6)式中:u1,0h是由下式给出,(u1,0h-u0h,vh)+(?hu1,0h-?hu0h,?hvh)+(?hu1,0h+?hu0h2,?hvh)+(f(u0h),?hvh)=0。(7)由于式(5)式(7)采用的是线性化的格式,类似文献3 2 中的方法可知,该问题的解存在且唯一。3 全离散格式下的超逼近和超收敛分析为了方便起见,将误差分解为un-unh=un-Ihun+Ihun-unh=n+n,(8)u1-u1,0h=u1-Ihu1+Ihu1-u1,0h=1+1.0。(9)定理1 设un和unh分别是方程(1)和(4)的解,且u,utL?(J;H3(),ut tL?(J;H2(),ut t tL?(J;L2(),则有下面的超逼近结果:unh-IhunhO(h2+2)。(1 0)证明 将式(4)和式(6)相减,可以得到下面的误差方程:(Dn,vh)+(D?hn,?hvh)h+(?hn,?hvh)h=-(Dn,vh)-(D?hn,?hvh)h-(?hn,?hvh)h-(f(un)-f(unh),?hvh)h+(Dun-unt,vh)+(D?hun-?hunt,?hvh)h+KK(?un+?unt+f(un)vhnds。(1 1)取vh=n,则式(1 1)改写为14(F(n)-F(n-1)+G(n)+14(F(?hn)-F(?hn-1)+G(?hn)+?hn20=-(Dn,n)-(D?hn,?hn)h-(?hn,?hn)h-(f(un)-f(unh),?hn)h+(Dun-unt,n)+(D?hun-?hunt,?hn)h+KK(?un+?unt+f(un)nnds=7i=1Ai。(1 2)下面给出误差方程(1 2)的右端项的逐项估计。首先,由泰勒展开公式和柯西不等式,可以得到Dun-unt0C 2ut t tL?(J;L2(),(1 3)481第3 7卷 第2期信阳师范学院学报(自然科学版)h t t p:/j o u r n a l.x y n u.e d u.c n2 0 2 4年4月D?hun-?hunt0C 2ut t tL?(J;H1(),(1 4)un-2un-1+un-20,4C 2ut tL?(J;H1()。(1 5)由插值定理和Y o u n g不等式,可得A1|(Dn,n)|123n-4n-1+n-20n0 12(3n-3n-10+n-1-n-20)n0 C h4-1(tntn-1ut22dt+tn-1tn-2ut22dt)+Cn0。其次,根据引理1中的式(2),可得A2=-(D?hn,?hn)h=0,A3=-(?hn,?hn)h=0。对于A4,重新改写为A4=-(f(un)-f(unh),?hn)h-(f(un)-f(un),?hn)h-(f(un)-f(unh),?hn)h=A4 1+A4 2。(1 6)由式(1 5)以及嵌入关系H1()L4()可得A4 1=-(f(un)-f(un),?hn)h f(un)-f(unh)0?hn0 (un-un)(un+un+1)0?hn0 (un-un)0,4(un+un+1)0,4?hn0 C 4ut t2L?(J;H1()+C?hn20。(1 7)为了估计A4 2,采用文献2 6,3 3 中的方法来证明下列结论:unhhC*,(n=0,1,N),(1 8)这里C*=m a x0mNum2+1。事实上,当n=0时,有u0hh=Ihu(0)h Ihu(0)-u(0)h+u(0)h C hu0(X)2+u0(X)hC*。(1 9)假设对于任意的1nJ-1,J2有式(1 8)成立。由文献1 7 中已证明的结果:vh0,2mvhh,mZ,vhVh,(2 0)有A4 2=-(f(un)-f(unh),?hn)h f(un)-f(unh)0?hn0 C(un-unh)(un+unh+1)0?hn0 C h2(un2,4+nh)?hn0 C h4(un-122,4+un-222,4)+C(n2h+n-12h+n-22h)。(2 1)结合式(1 3)和式(1 4),可得A5+A6=(Dun-unt,n)+(D?hun-?hunt,?hn)h C 4ut t t2L?(J;H1()+Cn20+C?hn20。(2 2)另一方面,由引理1中的式(3)可知,A7C h2(D?hun2+?un2+f(un)2)nh C h4-1tntn-1?un22dt+Cn2h。(2 3)将上述估计项代入误差方程(1 2),有14(n20-n-120+2n-n-120-2n-1-n-220)+?hn20+14(?hn20-?hn-120+2?hn-?hn-120-2?hn-1-?hn-220)C h4-1(tntn-1ut22+?un22dt+tn-1tn-2ut22dt)+C h4(un-122,4+un-222,4+?un22)+C 4(ut tL?(J;H40()+ut t tL?(J;H1()+Cn20+C(n2h+n-12h+n-22h)。(2 4)将式(2 4)两端同时乘以4,然后从2到n求和可得?hn20C(h4+4)+C12h+C(ni=1i20+i2h)。(2 5)接下来,为了估计1h,将式(4)和式(6)在t=t12时刻相减,得到误差方程(1,vh)+(?h1,?hvh)h+(?h-1,?hvh)h=-(1,vh)-(?h1,?hvh)h-(?-1,?hvh)h-(f(u12)-f(u-1,0h),?hvh)h+(?u-1-u12),?hvh)h+(u1-u12t,vh)+(?u1-?u12t,?hvh)h+581石东洋,周钱.B BM-B u r g e r s方程的非协调有限元方法的超收敛分析 KK(?u12t+?u12+f(u12)nvh。(2 6)在式(2 6)中取vh=1有(1,1)+(?h1,?h1)h+(?h-1,?h1)h=-(1,1)-(?h1,?h1)h-(?-1,?h1)h-(f(u12)-f(u1,0h+u0h2),?h1)h+(?u-1-u12),?h1)h+(u1-u12t,1)+(?u1-?u12t,?h1)h+KK(?u12t+?u12+f(u12)n1=8i=1Bi。(2 7)显然,由引理1中的式(2),可知B2=B3=0。(2 8)根据插值定理,B1可以估计为B1C h4-1t1t0ut22dt+C120。(2 9)对于B4,将其拆成两项进行估计:B4=(f(u12)-f(u-1),?h1)h+(f(u-1)-f(u1,0h+u0h2),?h1)h=B4 1+B4 2。(3 0)类似于A4 1,B4 1可估计为B4 1C 4ut t2L?(J;H1()+C?h120,(3 1)由插值定理和式(2 0),不难得到B4 2Cu-1-u-1,00,4?h10 C(u-1-Ihu-10,4+Ihu-1-u1,0h+u0h20,4)?h10 C h4u-12,4+C1,02h+C?h120。(3 2)再由泰勒展开公式和柯西不等式,可以得到B5+B6+B7C 4(ut tL?(J;H1()+ut t tL?(J;H1()+C120+C?h120。(3 3)同理由引理1中的式(3),可知B8=KK(?u12t+?u12+f(u12)n1 C h4+C12h。(3 4)将上述估计项代入误差方程(2 7)有12?h120C h4-1t1t0ut22dt+C(h4+4)+C1,02h。(3 5)最后,给出1,0h的估计。为此,将式(4)和式(7)相减,得到(1,0,vh)+(?h1,0,?hvh)h+(?h1,02,?hvh)h=-(1-0,vh)-(?h(1-0),?hvh)h-(?h(1+0)2,?hvh)h-(f(u12)-f(u0h),?hvh)h+(?h(u-1-u12),?hvh)h+(u1-u12t,vh)h+(?hu1-?hu12t,?hvh)h+KK(?u12+?u12t+f(u12)nvh。(3 6)取vh=1,0,代入式(3 6),有12?h1,020+1,020+?h1,020 -(1-0,1,0)-(?h(1-0),?h1,0)h-(?h(1+0)2,?h1,0)h-(f(u12)-f(u0h),?h1,0)h+(?h(u-1-u12),?h1,0)h+(u1-u12t,1,0)+(?hu1-?hu12t,?h1,0)h+KK(?u12+?u12t+f(u12)n1,0=8i=1Di。(3 7)类似于Bi(i=1,2,8)的估计,可知8i=1DiC h4-1t1t0ut22dt+C h4+C 2+C1,020+C?h1,020。(3 8)所以12?h1,020C(h4+2)+C h4-1utL?(J;H2(),即681第3 7卷 第2期信阳师范学院学报(自然科学版)h t t p:/j o u r n a l.x y n u.e d u.c n2 0 2 4年4月?h1,020C h4+C h4+C 3C h4+C 3。将此估计代入式(3 5),有?h120C h4+C h4+C 4C(h4+4)。(3 9)最后,结合式(2 5),可得?hn20C(h4+4)+C ni=1?hi20。(4 0)对式(4 0)使用离散的G r o n w a l l不等式有?hn0C(h2+2)。(4 1)这表明,当nJ-1,J2时,满足?hn0C(h2+2)。下面证明当n=J时unhhC*。事实上,由于uh(t)是tj-1,tj 上的连续函数,所以uh(t)在tj-1,tj 上关于t一致连续,即h0,0,当|tj-tj-1|,有|uJhh-uJ-1hh|h,此时当h和足够小、C(h2+2)+h1时uJhhuJ-1h-IhuJ-1h+IhuJ-1-uJ-1h+uJ-1h+h C(h2+2)+uJ-1h+hC*。证毕。在定理1的条件下,通过使用文献3 2 中构建的插值后处理算子I22h,容易证明下面的整体超收敛结果:un-I22hunhhC(h2+2)。(4 2)注1 不难验证本文的结果对双线性元、Qr o t1元2 2以及CNQr o t1元3 4都是成立的。另一方面,对于N e u m a n n边界条件,本文的结论一样可以成立,详细的分析参见文献1 6-1 7。4 数值算例考虑下面的问题:ut-ut-u-?f(u)=g,(X,t)(0,T,u(X,t)=0,(X,t)(0,T,u(X,0)=u0(X),X,(4 3)式中:=(0,1)(0,1),T=1.0,f(u)=(-(12u2+u),-(12u2+u),并且g,u0由真解u(x,y,t)=e-tx(1-x)y(1-y)计算得出。为了方便起见,将剖分成尺寸为h的mm的矩形网格。为了验证上述超逼近和超收敛性质,这里选择h=。在 表1和 表2中 分 别 列 出 了Ihun-unhh、un-I22hunhh和un-unhh在时刻t=0.5和t=1.0的误差结果。可以清楚地看出,所得的数值结果与理论分析是完全相吻合的。表1 当t=0.5时,全离散格式的误差结果T a b.1 T h e e r r o r s a t t=0.5 f o r t h e f u l l y d i s c r e t e s c h e m emmIhun-unhh收敛阶 un-I22hunhh收敛阶 un-unhh收敛阶 443.8 5 3 7 E-0 2-1.3 9 8 4 E-0 2-2.9 8 4 9 E-0 2-889.6 4 2 5 E-0 3 1.9 9 6 4 3.4 8 6 0 E-0 3 2.0 0 4 1 1.5 1 0 3 E-0 2 0.9 8 2 8 1 61 62.4 1 6 2 E-0 3 1.9 9 6 7 8.7 3 2 9 E-0 4 1.9 9 7 0 7.4 6 9 5 E-0 3 1.0 1 5 8 3 23 26.0 3 6 3 E-0 4 2.0 0 1 0 2.2 6 2 8 E-0 4 1.9 4 8 3 3.7 3 1 6 E-0 3 1.0 0 1 2 6 46 41.5 0 8 4 E-0 5 2.0 0 0 6 5.6 4 9 1 E-0 5 2.0 0 2 0 1.8 5 6 3 E-0 3 1.0 0 7 4 表2 当t=1.0时,全离散格式的误差结果T a b.2 T h e e r r o r s a t t=1.0 f o r t h e f u l l y d i s c r e t e s c h e m emmIhun-unhh收敛阶un-I22hunhh收敛阶un-unhh收敛阶 441.8 5 3 7 E-0 2-9.1 6 3 7 E-0 3-1.9 8 6 5 E-0 2-882.4 6 2 5 E-0 3 1.9 4 4 7 1.8 4 4 9 E-0 3 1.9 9 5 1 9.9 4 3 7 E-0 3 0.9 9 8 41 61 66.2 5 1 2 E-0 4 1.9 8 3 2 4.6 3 2 9 E-0 4 1.9 9 0 1 4.9 6 6 2 E-0 3 1.0 0 1 63 23 21.5 3 6 3 E-0 4 1.9 9 4 2 1.1 5 2 8 E-0 4 1.9 9 4 5 2.4 5 3 7 E-0 3 1.0 2 7 86 46 43.8 5 4 2 E-0 5 1.9 9 5 0 2.8 8 7 9 E-0 5 1.9 9 7 0 1.2 3 1 2 E-0 3 0.9 9 4 9781石东洋,周钱.B BM-B u r g e r s方程的非协调有限元方法的超收敛分析5 结束语B BM-B u r g e r s方程是研究流体动力学中一个具有重要物理背景的非线性偏微分方程,其解析解往往很难通过数学方法直接求得,故基于E Qr o t1非协调元,构造了该方程的一个关于时间有二阶精度的B D F全离散线性化格式来得到其数值解。最后借助于插值后处理技术得到了离散的H1模意义下具有O(h2+2)阶的超收敛结果。但是如何利用非协调有限元来构造非线性全离散格式,这是接下来重点关注的问题之一。除此之外,关于该方程的一些其他有限元方法(例如:混合元方法、H1-G a l e r k i n方法、间断有限元方法等),也将予以进一步的讨论。参考文献:1 B E N J AM I N T B,B ONA J L,MAHONY J J.M o d e l e q u a t i o n s f o r l o n g w a v e s i n n o n l i n e a r d i s p e r s i v e s y s t e m sJ.P h i l o s o p h i c a l T r a n s a c t i o n s o f t h e R o y a l S o c i e t y o f L o n d o n.S e r i e s A,M a t h e m a t i c a l a n d P h y s i c a l S c i e n c e s,1 9 7 2,2 7 2(1 2 2 0):4 7-7 8.2 B ONA J L,P R I T CHA R D W G,S C O T T L R.S o l i t a r y-w a v e i n t e r a c t i o nJ.T h e P h y s i c s o f F l u i d s,1 9 8 0,2 3(3):4 3 8-4 4 1.3 P E R E G R I N E D H.C a l c u l a t i o n s o f t h e d e v e l o p m e n t o f a n u n d u l a r b o r eJ.J o u r n a l o f F l u i d M e c h a n i c s,1 9 6 6,2 5(2):3 2 1-3 3 0.4 B ONA J.M o d e l e q u a t i o n s f o r w a v e s i n n o n l i n e a r d i s p e r s i v e s y s t e m sC/P r o c e e d i n g s o f t h e I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f M a t h e m a t i c i a n s,H e l s i n k i:U n i v e r s i t y o f C h i c a g o,1 9 7 8:8 8 7-8 9 4.5 Y A N G H u a i j u n.S u p e r c o n v e r g e n c e e r r o r e s t i m a t e o f G a l e r k i n m e t h o d f o r S o b o l e v e q u a t i o n w i t h B u r g e r s t y p e n o n l i n e a r i t yJ.A p p l i e d N u m e r i c a l M a t h e m a t i c s,2 0 2 1,1 6 8:1 3-2 2.6 Z HAO H u i j i a n g,XUAN B e n j i n.E x i s t e n c e a n d c o n v e r g e n c e o f s o l u t i o n s f o r t h e g e n e r a l i z e d B BM-B u r g e r s e q u a t i o n s w i t h d i s s i p a t i v e t e r mJ.N o n l i n e a r A n a l y s i s:T h e o r y,M e t h o d s&A p p l i c a t i o n s,1 9 9 7,2 8(1 1):1 8 3 5-1 8 4 9.7 KON D O C I,WE B L E R C M.H i g h e r-o r d e r f o r t h e m u l t i d i m e n s i o n a l g e n e r a l i z e d B BM-B u r g e r s e q u a t i o n:E x i s t e n c e a n d c o n v e r g e n c e r e s u l t sJ.A c t a A p p l i c a n d a e M a t h e m a t i c a e,2 0 1 0,1 1 1(1):4 5-6 4.8 HWANG S.K i n e t i c d e c o m p o s i t i o n f o r t h e g e n e r a l i z e d B BM-B u r g e r s e q u a t i o n s w i t h d i s s i p a t i v e t e r mJ.P r o c e e d i n g s o f t h e R o y a l S o c i e t y o f E d i n b u r g h S e c t i o n A:M a t h e m a t i c s,2 0 0 4,1 3 4(6):1 1 4 9-1 1 6 2.9 KON D O C I,WE B L E R C M.T h e g e n e r a l i z e d B BM-B u r g e r s e q u a t i o n s:C o n v e r g e n c e r e s u l t s f o r c o n s e r v a t i o n l a w w i t h d i s c o n t i n u o u s f l u x f u n c t i o nJ.A p p l i c a b l e A n a l y s i s,2 0 1 6,9 5(3):5 0 3-5 2 3.1 0 KA D R I T,KH I A R I N,A B I D I F,e t a l.M e t h o d s f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y-B u r g e r s e q u a t i o nJ.N u m e r i c a l M e t h o d s f o r P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 0 8,2 4(6):1 5 0 1-1 5 1 6.1 1 Z A R E B N I A M,P A R V A Z R.C u b i c B-s p l i n e c o l l o c a t i o n m e t h o d f o r n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y-B u r g e r s e q u a t i o nJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g,M a t h e m a t i c a l a n d P h y s i c a l S c i e n c e s,2 0 1 3,7(3):5 1 6-5