2023届黑龙江齐齐哈尔市高一数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B.平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行
C.，，则
D.，，，则
2．已知M，N都是实数，则“”是“”的（）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
3．函数f(x)=|x|+ (aR)的图象不可能是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数，下列区间中包含零点的区间是 （ ）
A. B.
C. D.
5．若，则它是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
6．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（）
A. B.
C. D.
7．若函数是偶函数，函数是奇函数，则（）
A.函数是奇函数 B.函数是偶函数
C.函数是偶函数 D.函数是奇函数
8．如果直线l，m与平面满足和，那么必有（）
A.且 B.且
C.且 D.且
9．已知集合，，全集，则（）
A. B.
C. D.I
10．已知命题：，总有，则命题的否定为（）
A.，使得 B.，使得
C.，总有 D.，总有
11．设向量不共线，向量与共线，则实数（　　）
A. B.
C.1 D.2
12．在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座．已知为锐角的内角，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．在三棱锥中，，，两两垂直，，，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.
14．已知，是方程的两根，则__________
15．若，则___________
16．已知函数在一个周期内的图象如图所示，图中，，则___________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（1）已知，求最大值
（2）已知且，求的最小值
18．已知圆的圆心在直线上，且经过圆与圆的交点.
（1）求圆的方程；
（2）求圆的圆心到公共弦所在直线的距离.
19．如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点.

（1）求证：DE平面ABC；
（2）求证：B1C⊥平面BDE.
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，已知AD=2，，AB=2CD=4

（1）求证：平面PBD⊥平面PAD；
（2）若M为PC的中点，求四棱锥M-ABCD的体积
21．已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)单调递增区间
22．指数函数（且）和对数函数（且）互为反函数，已知函数，其反函数为
（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，？若存在，求出实数及的取值范围；若不存在，请说明理由

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、D
【解析】根据线面关系，逐一判断每个选项即可.
【详解】解：对于A选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故错误；
对于B选项，如图，，，，分别为正方体中所在棱的中点，平面设为平面，易知正方体的三个顶点，，到平面的距离相等，但所在平面与相交，故错误；
对于选项C，可能在平面内，故错误；
对于选项D，正确.

故选：D.
2、B
【解析】用定义法进行判断.
【详解】充分性：取，满足.但是无意义，所以充分性不满足；
必要性：当成立时，则有,所以.所以必要性满足.
故选：B
3、C
【解析】对分类讨论，将函数写成分段形式，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图象即可.
【详解】，
① 当时，，图象如A选项；
②当时，时，，
在递减，在递增；
时，，由，单调递减，
所以在上单调递减，故图象为B；
③当时，时，，可得，，在递增，
即在递增，图象为D；
故选：C.
4、C
【解析】根据函数零点的存在性定理，求得，即可得到答案.
【详解】由题意，函数，易得函数为单调递减函数，
又由，所以，
根据零点的存在定理，可得零点的区间是.
故选：C.
5、C
【解析】根据象限角的定义判断
【详解】因为，所以是第三象限角
故选：C
6、D
【解析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案.
【详解】是奇函数，不满足题意；
的定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意；
是非奇非偶函数，不满足题意；
是偶函数，且在区间上单调递增，满足题意；
故选：D
7、C
【解析】根据奇偶性的定义判断即可；
【详解】解：因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，
对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；
对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；
对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；
对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；
故选：C
8、A
【解析】根据题设线面关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置关系.
【详解】由，则；由，则；由上条件，m与可能平行、相交，与有可能平行、相交.
综上，A正确；B，C错误，m与有可能相交；D错误，与有可能相交
故选：A
9、B
【解析】根据并集、补集的概念，计算即可得答案.
【详解】由题意得，所以
故选：B
10、B
【解析】根据全称命题的否定性质进行判断即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题的否定为，使得，
故选：B
11、A
【解析】由向量共线定理求解
【详解】因为向量与共线，所以存在实数，使得，
又向量不共线，所以，解得
故选：A
12、C
【解析】设设，则在单调递增，再利用零点存在定理即可判断函数的零点所在的区间，也即是方程的根所在的区间.
【详解】因为为锐角的内角，满足，
设，则在单调递增，
，
在取，得，
，
因为，所以的零点位于区间，
即满足的角，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令，根据零点存在定理判断函数的零点所在的区间.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】根据侧面积计算得到，再计算半径为，代入表面积公式得到答案.
【详解】三棱锥的侧面积为，所以
故该三棱锥外接球的半径为：，球的表面积为.
故答案为：
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
14、##
【解析】将所求式利用两角和的正弦与两角差的余弦公式展开，然后根据商数关系弦化切，最后结合韦达定理即可求解.
【详解】解：因为，是方程的两根，
所以，
所以，
故答案为：.
15、
【解析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论
【详解】解：
，
即，

故答案为：
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题
16、
【解析】根据图象和已知信息求出的解析式，代值计算可得的值.
【详解】由已知可得，在处附近单调递增，且，故，
又因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，
所以，，可得，故，
因此，.
故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）1；（2）2
【解析】（1）由基本不等式求出最小值后可得所求最大值
（2）凑出积为定值后由基本不等式求得最小值
【详解】（1），则，
，
当且仅当，即时等号成立．所以的最大值为1
（2）因为且，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．所以所求最小值为2
18、（1）；（2）.
【解析】（1）求出的坐标，然后求出的中垂线方程，然后求出圆心和半径即可；
（2）两圆相减可得方程，然后利用点到直线的距离公式求出答案即可.
【详解】（1）设圆与圆交点为，由方程组
，得或
不妨令，，因此的中垂线方程为，
由，得，所求圆的圆心，，
所以圆的方程为，即
（2）圆与圆的方程相减
得公共弦方程，
由圆的圆心，半径，
且圆心到公共弦：的距离
19、（1）证明过程见解析；
（2）证明过程见解析.
【解析】（1）根据面面平行的判定定理，结合线面平行的判定定理、面面平行的性质进行证明即可；
（2）根据正三棱柱的几何性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、面面平行的性质定理进行证明即可.
【小问1详解】
设G是CC1的中点，连接，
因为E为B1C的中点，所以，而，所以，
因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，
同理可证平面ABC，因为平面，且，
所以面平面ABC，而平面，所以DE 平面ABC；
【小问2详解】
设是的中点，连接，
因为E为B1C的中点，所以，而，所以，
由（1）可知：面平面ABC，平面平面，平面平面，因此，
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面平面ABC，而平面平面ABC，
因为ABC是正三角形，是的中点，所以，因此平面，
而平面，因此，而，所以，
因为正三棱柱ABC－A1B1C1中棱长都相等，所以，而E分别为B1C的中点，
所以，而平面BDE，，所以B1C⊥平面BDE.

20、（1）证明过程详见解析（2）
【解析】(1)先证明BD⊥平面PAD，即证平面PBD⊥平面PAD.(2) 取AD中点为O，则PO是四棱锥的高,再利用公式法求四棱锥M-ABCD的体积
【详解】（1）在三角形ABD中由勾股定理得AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BD⊥平面PAD，则平面PBD⊥平面PAD.
（2）取AD中点为O，则PO是四棱锥的高，，底面ABCD的面积是三角形ABD面积的，即，所以四棱锥P-ABCD的体积为.
【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.
21、（1）最小正周期为T＝π，最大值为（2），k∈Z
【解析】（Ⅰ）

函数的最小正周期为 ，
函数的最大值为
（II）由
得
函数的 单调递增区间为
22、（1）；
（2）存在，，.
【解析】（1）利用复合函数的单调性及函数的定义域可得，即得；
（2）由题可得，令，则可得时，方程有两个不等的实数根，当时方程有且仅有一个根在区间内或1，进而可得对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，再利用二次函数的性质可得，即得.
【小问1详解】
∵函数，其反函数为，
∴，
∴，又函数在区间上单调递减，
又∵在定义域上单调递增，
∴函数在区间上单调递减，
∴，解得；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
令，则时，方程有两个不等的实数根，不妨设为，
则，即，
∴，即方程有两个不等的实数根，且两根积为1，
当时方程有且仅有一个根在区间内或1，
由，可得，
令，则原题目等价于对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，
则必有，
∴，解得，
此时，则其根在区间内，
所以，
综上，存在，使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是把问题转化为对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，进而利用二次函数性质可求.