资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．sin（）=（ ）
A. B.
C. D.
2．若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h（单位：）与时间t（单位：）满足关系式（取，为上抛物体的初始速度）.一同学在体育课上练习排球垫球，某次垫球，排球离开手臂竖直上抛的瞬时速度，则在不计空气阻力的情况下，排球在垫出点2m以上的位置大约停留（）
A.1 B.1.5
C.1.8 D.2.2
3．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（）
A. B.
C. D.
4．已知函数的图象的对称轴为直线，则（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．下列函数在定义域内单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
7．在中，已知，则角（）
A. B.
C. D.或
8．学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为约米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（）
A. B.
C. D.
9．化简 =
A.sin2+cos2 B.sin2-cos2
C.cos2-sin2 D.± (cos2-sin2)
10．将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
11．函数的减区间为（）
A. B.
C. D.
12．已知点．若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为
A.4 B.3
C.2 D.1
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象限角
14．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为_______
15．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为_____cm2
16．在△ABC中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，，则的最小值为___________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）求x为多少时，y有最小值，并求出y的最小值
18．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若关于的方程在上有 2 个不等的实数解，求实数的取值范围
19．已知函数在区间上有最大值5和最小值2，求、的值
20．已知函数的图象如图
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围
21．如图，在三棱柱中，侧棱⊥底面，，分别为棱的中点
（1）求证：；
（2）若求三棱锥的体积
22．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：
具体过程如下：如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角．它们的终边与单位圆的交点分别为
则，由向量数量积的坐标表示，有
设的夹角为，则，另一方面，由图（1）可知，；
由图（2）可知，于是
所以，也有；
所以，对于任意角有：
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了
阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中是的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：
（1）判断是否正确？（不需要证明）
（2）证明：
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】直接利用诱导公式计算得到答案.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的应用.
2、D
【解析】将，代入，得出时间t，再求间隔时间即可.
【详解】解：将，代入，
得，解得，
所以排球在垫出点2m以上的位置大约停留.
故选：D
3、C
【解析】根据斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图，然后可解.
【详解】由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面积为.
故选：C
4、A
【解析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为，可得，且函数在上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解.
【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为，
且函数在上递增，
根据二次函数的对称性可知，
又，所以，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的单调性以及对称性比较函数值的大小，属于基础题.
5、B
【解析】根据给定条件求出函数的值域，由在此值域内解不等式即可作答.
【详解】因函数的值域是，于是得函数的值域是，
因存在实数，使得，则，
因此，，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
6、D
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案
详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B，，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；
对于D，，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；
故选：D
7、C
【解析】利用正弦定理求出角的正弦值，再求出角的度数.
【详解】因为，
所以，
解得：，，
因为，
所以.
故选：C.
8、A
【解析】直接由弧长半径圆心角的公式求解即可.
【详解】根据条件得：扇形半径为10，弧长为6，
所以圆心角为：.
故选：A.
9、A
【解析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简
【详解】根据诱导公式，化简得
又因为
所以选A
【点睛】本题考查了三角函数式的化简，关键注意符号，属于中档题
10、A
【解析】由题意利用函数的图象变换法则，即可得出结论
【详解】将函数的图象向右平移个的单位长度，可得的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为，故选
【点睛】本题主要考查函数的图象变换法则，注意对的影响
11、D
【解析】先气的函数的定义域为，结合二次函数性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，
即，解得，即函数的定义域为，
令，可得其开口向下，对称轴的方程为，
所以函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
根据复合函数的单调性，可得函数在上单调递减，
即的减区间为.
故选：D.
12、A
【解析】直线方程为即．设点，点到直线的距离为，
因为，由面积为可得
即，解得或或．所以点的个数有4个．故A正确
考点：1直线方程；2点到线的距离
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、第三象限角
【解析】当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，
可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，
则α是第三象限角
考点：三角函数值的象限符号.
14、
【解析】由已知结合分段函数的性质及一次函数的性质，列出关于a的不等式，解不等式组即可得解.
【详解】因为函数是R上的减函数
所以需满足，解得，即
所以实数a的取值范围为
故答案为：
15、1
【解析】设该扇形的半径为，根据题意，因为扇形的圆心角为弧度，周长为，则有，，故答案为.
16、3
【解析】先利用条件找到，然后对减元，化为，利用基本不等式求最小值.
【详解】，
，，三点共线，.
则
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：3.
【点睛】（1）在向量运算中:①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算；
（2）基本不等式求最值要注意应用条件：“一正二定三相等”.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）
（2）当时，y有最小值为3.
【解析】（1）根据y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和即可建立函数模型；
（2）利用均值不等式即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，y关于x的函数表达式为；
【小问2详解】
解：因为，当且仅当，即时等号成立.
所以当时，y有最小值为3.
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角恒等变换化简，由周期公式求解即可；
（2）先求出的解析式，再把所求转化为方程在上有2个不等的实数解，令，根据图象即可求得结论
【小问1详解】
解：
，即，
所以函数的最小正周期为
【小问2详解】
解：由已知可得，
方程在上有2个不等的实数解，
即方程在上有2个不等的实数解
令，
因为，，，，，
令，则，，
作出函数图象如下图所示：
要使方程在上有2个不等的实数解，
则
19、，.
【解析】利用对称轴x=1，[1，3]是f（x）的递增区间及最大值5和最小值2可以找出关于a、b的表达式，求出a、b的值
试题解析：
依题意，的对称轴为，函数在上随着的增大而增大，
故当时，该函数取得最大值，即，
当时，该函数取得最小值，即，即，
∴联立方程得，解得，.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由函数图象先求出，，进而求出，代入一个特殊点求出的值；（2）先求出图象变换后的解析式，再求出在的取值范围，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
由图象最高点函数值为1，最低点函数值为，且，可知，函数最小正周期，所以，因为，所以，故，将点代入，可得：，因为，所以，所以.
【小问2详解】
由图象变换得：，当时，，，关于的方程有解，则.
21、（1）见解析；（2）.
【解析】（1）可证平面，从而得到.
（2）取的中点为，连接，可证平面，故可求三棱锥的体积
【详解】（1）因为侧棱⊥底面，平面，所以，
因为为中点，，故，而，
故平面，而平面，故.
（2）取的中点为，连接.
因为，故，故，
因为，故，且，故，
因为三棱柱中，侧棱⊥底面，
故三棱柱为直棱柱，故⊥底面，
因为底面，故，而，
故平面，
而，
故.
【点睛】思路点睛：线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.
22、（1）正确；（2）证明见解析
【解析】（1）根据单位向量的定义可得出结论；
（2）根据向量相等及坐标运算，化简计算即可证明结论.
【详解】（1）因为对于非零向量是方向上的单位向量，又且与共线，
所以正确；
（2）因为为的中点，则，
从而在中，，
又
又M是AB的中点
，
所以，化简得，
结论得证.
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