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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设集合M={a|x∈R，x2+ax+1＞0}，集合N={a|x∈R，（a-3）x+1=0}，若命题p：a∈M，命题q：a∈N，那么命题p是命题q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，当时，，则
A. B.
C.1 D.
4．和函数是同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5．设集合，则（）
A. B.
C. D.
6．设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是( )
A. B.//
C. D.
7．若偶函数在区间上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
8．函数是
A.周期为的奇函数 B.周期为的奇函数
C.周期为的偶函数 D.周期为的偶函数
9．给出下列四种说法：
① 若平面，直线，则；
② 若直线，直线，直线，则；
③ 若平面，直线，则；
④ 若直线，，则. 其中正确说法的个数为 ( ）
A.个 B.个
C.个 D.个
10．已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______
12．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为_____________.
13．幂函数的图象经过点，则=____.
14．已知函数（且）只有一个零点，则实数的取值范围为______
15．奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围是_______
16．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:
①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，且为第二象限角
（1）求的值；
（2）求值.
18．已知圆，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.
19．计算求值：
（1）
（2）若，求的值.
20．某手机生产商计划在2022年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产（千部）手机，需另投人成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.5万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（利润销售额成本）
（2）2022年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?
21．已知为锐角，
（1）求的值；
（2）求的值
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由题意，对于集合M，△=a2-4＜0，解得-2＜a＜2；
对于集合N，a≠3
若-2＜a＜2，则a≠3；反之，不成立.
命题p是命题q的充分不必要条件.
故选A
2、D
【解析】先由题意设所求直线为：，再由直线过点，即可求出结果.
【详解】因为所求直线与直线平行，因此，可设所求直线为：，
又所求直线过点，
所以，解得，
所求直线方程为：.
故选D
【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的常见形式即可，属于基础题型.
3、C
【解析】由题意，故选C
4、D
【解析】根据相同的函数定义域，对应法则，值域都相同可知ABC不符合要求，D满足.
【详解】的定义域为，值域为，
对于A，与的对应法则不同，故不是同一个函数；
对于B，的值域为，故不是同一个函数；
对于C，的定义域为，故不是同一个函数；
对于D, ，故与是同一个函数.
故选：D
5、C
【解析】利用集合并集的定义，即可求出.
【详解】 集合，
.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是集合的并集的运算，是基础题.
6、D
【解析】由得若,即,则向量共线且方向相反，
因此当向量共线且方向相反时,能使成立，
本题选择D选项.
7、D
【解析】
由偶函数定义可确定函数在上的单调性，由单调性可解不等式．
【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且，
所以，且函数在上单调递减.
由此画出函数图象，如图所示，
由图可知，的解集是.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
8、A
【解析】对于函数y＝sin，T＝4π，且sin(－)＝－sin．故选A
9、D
【解析】根据线面关系举反例否定命题，根据面面平行定义证命题正确性.
【详解】若平面，直线，则可异面；
若直线，直线，直线，则可相交，此时平行两平面交线；
若直线，，则可相交，此时平行两平面交线；
若平面，直线，则无交点，即；选D.
【点睛】本题考查线面平行关系，考查空间想象能力以及简单推理能力.
10、B
【解析】不妨设，的图像如图所示，
则，，
其中，
故，也就是，
则，
因，故.
故选：B.
【点睛】函数有四个不同零点可以转化为的图像与动直线有四个不同的交点，注意函数的图像有局部对称性，而且还是倒数关系.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.
【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，
又由函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，
因为函数在上单调递减，则，
可得实数的取值范围是.
故答案：.
12、
【解析】根据条件作出函数图象求解出的范围，利用和换元法将变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围.
【详解】由解析式得大致图象如下图所示：
由图可知：当时且，则令，解得：，
，又，，
，
令，则，
，即.
故答案为：
【点睛】思路点睛：根据分段函数函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.
13、2
【解析】根据幂函数过点，求出解析式，再有解析式求值即可.
【详解】设，
则，
所以，
故，
所以.
故答案为：
14、或或
【解析】∵函数（且）只有一个零点，
∴
∴
当时，方程有唯一根2，适合题意
当时，或
显然符合题意的零点
∴当时，
当时，，即
综上：实数的取值范围为或或
故答案为或或
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
15、
【解析】利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“”，可转化为具体不等式，注意函数定义域
【详解】解：由得，
又为奇函数，得，
，
又是定义在，上的减函数，
解得：
即
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，解决本题的关键是利用性质去掉符号“”
16、②③##③②
【解析】画出的图象，即可判断四个选项的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.
故答案为：②③
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）cos，
（2）
【解析】（1）通过三角恒等式先求，再求即可；
（2）先通过诱导公式进行化简，再将，的值代入即可得结果.
【小问1详解】
因为sin＝，所以，且是第二象限角，
所以cos＝，
从而
【小问2详解】
原式＝
18、（1）或；（2）或.
【解析】（1）分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种讨论，根据直线l与圆M相切进行计算，可得直线的方程；
（2）设直线l的方程为，圆心到直线l的距离为d，可得的长，由的面积最大，可得，可得k的值，可得直线的方程.
【详解】解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l与圆M相切，所以符合题意 ,
当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，
则直线l的方程为，
即 ,
因为直线l与圆M相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即,
解得，即直线l的方程为；
综上，直线l的方程为或,
（2）因为直线l与圆M交于P.Q两点，所以直线l斜率存在，
可设直线l的方程为，圆心到直线l的距离为d ,
则
从而的面积为·
当时，的面积最大 ,
因为，
所以，
解得或,
故直线l的方程为或.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，涉及直线与圆相切，直线与圆相交及三角形面积的计算与点到直线的距离公式，需灵活运用各知识求解.
19、（1）
（2）
【解析】（1）利用指数和对数运算法则直接计算可得结果；
（2）分子分母同除即可求得结果.
【小问1详解】
原式.
小问2详解】
，.
20、（1）
（2）2022年产量为千部时，该生产商所获利润最大，最大利润是3800万元
【解析】（1）根据题意，建立分段函数模型得；
（2）结合（1）的函数模型，分类讨论求解最值即可得答案.
【小问1详解】
解：销售千部手机获得的销售额为：
当时，；
当时，
故，
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，
所以当 (千部)时，所获利润最大，最大利润为：3800万元.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据题中条件，求出，，再由两角差的余弦公式，求出，根据二倍角公式，即可求出结果；
（2）由（1）求出，，再由两角差的正切公式，即可求出结果.
【详解】（1），为锐角，且，，则，
，，
，；
（2）由（1），所以，则，
又，，；
.
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