广西贺州市桂梧高中2023届高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．下列函数值为的是（ ）
A.sin390° B.cos750°
C.tan30° D.cos30°
2．函数定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A.或 B.
C. D.或3
4．已知为角终边上一点，则（）
A. B.1
C.2 D.3
5．设，，若，则ab的最小值是（）
A.5 B.9
C.16 D.25
6．函数y＝sin2x，xR的最小正周期是（ ）
A.3π B.π
C.2 D.1
7．已知函数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
8．函数的图象的一个对称中心是（）
A B.
C. D.
9．过点和，圆心在轴上的圆的方程为
A. B.
C D.
10．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．函数的最小值是___________.
12．在中，已知，则______.
13．如下图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为，则它的侧棱长为__________

14． “”是“ ”的______条件（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个填）
15．已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数，函数的最小正周期为.
（1）求函数的解析式，及当时，的值域；
（2）当时，总有，使得，求实数m的取值范围.
17．如图所示,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,.
(1)求证:；
(2)求三棱锥体积的最大值,并写出此时三棱锥外接球的表面积.

18．抛掷两颗骰子，计算：
（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率；
（2）事件“点数之和小于7”概率；
（3）事件“点数之和等于或大于11”的概率.
19．已知
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由
20．已知幂函数的图象过点.
（1）求出函数的解析式，判断并证明在上的单调性；
（2）函数是上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围.
21．已知函数
⑴判断并证明函数的奇偶性；
⑵若，求实数的值.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、A
【解析】由诱导公式计算出函数值后判断
详解】，
，
，
故选：A
2、C
【解析】由二次根式的被开方数非负和对数的真数大于零求解即可
【详解】由题意得，解得，
所以函数的定义域为，
故选：C
3、A
【解析】先求的坐标，再由向量垂直数量积为0，利用坐标运算即可得解.
【详解】由向量，，知.
若，则，解得或-3.
故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.
4、B
【解析】先根据三角函数的定义求出，再利用齐次化将弦化切进行求解.
【详解】为角终边上一点，故，故.
故选：B
5、D
【解析】结合基本不等式来求得的最小值.
【详解】，，
，
，
当且仅当时等号成立，由.
故选：D
6、B
【解析】根据解析式可直接求出最小正周期.
【详解】函数的最小正周期为.
故选：B.
7、B
【解析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，即得.
【详解】∵函数，
令，则，
∴的定义域为，，
所以函数为奇函数，
又，
当增大时，增大，即在上递增，
由，可得，即，
∴，
∴，即.
故选：B.
8、B
【解析】利用正弦函数的对称性质可知，，从而可得函数的图象的对称中心为，再赋值即可得答案
【详解】
令，，解得：，.
所以函数的图象的对称中心为，.
当时，就是函数的图象的一个对称中心，
故选：B.
9、D
【解析】假设圆心坐标，利用圆心到两点距离相等可求得圆心，再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的方程.
【详解】设圆心坐标为：
则：，解得：
圆心为，半径
所求圆的方程为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查已知圆心所在直线和圆上两点求解圆的方程的问题，属于基础题.
10、D
【解析】是奇函数，故 ；又是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、0
【解析】先令，则，再将问题转化为关于的二次函数求最小值即可.
【详解】解：令，则，
则，
则函数在上为减函数，
则，
即函数的最小值是0，
故答案为：0.
12、11
【解析】由
.
13、
【解析】如下图所示， ,那么 ,,所以根据勾股定理，可得 ,所以侧棱长为6.

14、必要不充分
【解析】根据充分条件、必要条件的定义结合余弦函数的性质可得答案.
【详解】当时，可得
由，不能得到
例如：取时，，也满足
所以由，可得成立，反之不成立
“”是“ ”的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
15、
【解析】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，
故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，
故答案为x2+（y+2）2=25

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1），值域为
（2）
【解析】（1）由正弦函数的周期求得得解析式，利用正弦函数的性质可得函数值域；
（2）利用时，的值域是集合的子集，分类讨论求得的最大值和最小值，得出不等关系，从而得出结论
【小问1详解】
，.
因为，所以，所以的值域为.
【小问2详解】
当时，总有，使得，
即时，函数的值域是的子集，即当时，.
函数，其对称轴，开口向上.
当时，即，可得，，
所以，解得；
当即时，在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以.
当时，即，可得，，
所以，此时无解.
综上可得实数m的取值范围为.
17、 (1)见解析；(2) .
【解析】（1）由圆柱易知平面，所以，由圆的性质易得，进而可证平面；
（2）由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大, 此时外接球的直径即可得解.
试题解析：
(1)证明:∵已知是圆柱的母线,.∴平面
∵是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,
∴,又,∴平面
又平面
(2)解:由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,
三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大,
,
结合(1)可得三棱锥的外接球的直径即为,
所以此时外接球的直径.
.
点睛：一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
18、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根据所有的基本事件的个数为，而所得点数相同的情况有种，从而求得事件“两颗骰子点数相同”的概率；（2）根据所有的基本事件的个数，求所求的“点数之和小于”的基本事件的个数，最后利用概率计算公式求解即可；（3）根据所有的基本事件的个数，求所求的“点数之和等于或大于”的基本事件的个数，最后利用概率计算公式求解即可
试题解析：抛掷两颗骰子，总的事件有个.
（1）记“两颗骰子点数相同”为事件，则事件有6个基本事件，
∴
（2）记“点数之和小于7”事件，则事件有15个基本事件，
∴
（3）记“点数之和等于或大于11”为事件，则事件有3个基本事件，
∴.
考点：古典概型.
19、（1）
（2）或
（3）存在，的取值范围为
【解析】（1）先化简，再代入进行求解；（2）换元法，化为二次函数，结合对称轴分类讨论，求出最小值时m的值；（3）换元法，参变分离，转化为在恒成立，根据单调性求出取得最大值，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，

【小问2详解】
设，则，
，，其对称轴为，
的最小值为，
则；
的最小值为；
则
综上，或
【小问3详解】
由，对所有都成立.
设，则，
恒成立，

在恒成立，
当时，递减，则在递增，
时取得最大值
得,
∴
所以存在符合条件的实数，且m的取值范围为
20、（1），在上是增函数；证明见解析（2）
【解析】（1）幂函数的解析式为，将点代入即可求出解析式，再利用函数的单调性定义证明单调性即可.
（2）由（1）可得当时，在上是增函数，利用函数为偶函数可得在上是减函数，由，，从而可得，解不等式即可.
【详解】（1）设幂函数的解析式为，
将点代入解析式中得，
解得，
所以，所求幂函数的解析式为.
幂函数在上是增函数.
证明：任取，且，则

，
因为，，
所以，即幂函数在上是增函数
（2）当时，，
而幂函数在上是增函数，
所以当时，在上是增函数.
又因为函数是上的偶函数，所以在上是减函数.
由，可得：，
即，
所以满足时实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了幂函数、函数单调性的定义，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于基础题.
21、（1）（2）
【解析】（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义判断即可；
（2）是奇函数,则结合，求解代入求解即可.
【详解】(1)解：是奇函数.
证明：要等价于即
故的定义域为
设任意则
又因为
所以是奇函数.
(2)由(1)知，是奇函数,则
联立得即
解得