2022-2023学年广东省河源市龙川县隆师中学数学高一上期末学业水平测试试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
2．在正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
3．已知某种树木的高度（单位：米）与生长年限t（单位：年，）满足如下的逻辑斯谛（Logistic）增长模型：，其中为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为（ ）
A.2年 B.3年
C.4年 D.5年
4．已知，则的最小值为（）
A. B.2
C. D.4
5．函数的图象的一个对称中心是（）
A B.
C. D.
6．如图，PO是三棱锥P-ABC底面ABC的垂线，垂足为O

①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的垂心；
②若PA=PB=PC，则点O是△ABC的外心；
③若∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，则点O是△ABC的内心；
④过点P分别做边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，若PE=PF=PG，则点O是△ABC的重心
以上推断正确的个数是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．函数的定义域是　　
A. B.
C. D.
8．为了得到函数，的图象，只要把函数，图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
9．已知弧长为cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为（ ）cm2
A. B.
C. D.
10．集合，则A∩B＝（ ）
A.[0，2] B.（1，2]
C.[1，2] D.（1，＋∞）
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知，则的值为______.
12．将函数的图象先向下平移1个单位长度，在作关于直线对称的图象，得到函数，则__________.
13．给出下列说法：
①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面
其中正确说法的序号是______
14．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧AB的长为m，那么圆心角_________．（用弧度表示）
15．若函数在上单调递增，则a的取值范围为______
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）
（1）求b的值；
（2）若函数有零点，求a的取值范围；
（3）当a＝2时，若，使得恒成立，求实数m的取值范围
17．已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，且，求的取值范围.
18．正数x，y满足.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值
19．已知函数，.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）设，求函数的单调区间.
20．中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
从98℃下降到90℃所用时间
1分58秒
从98℃下降到85℃所用时间
3分24秒
从98℃下降到80℃所用时间
4分57秒
（1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到0.01）.
（2）“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.
A.5 B.7 C.10
（参考数据：，，，，）
21．已知集合，，.
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，，故中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2、C
【解析】设正方体的棱长为，如图，连接，它们交于，连接，则平面，而，故就是直线与平面所成的余角，又为直角三角形且，所以，，设直线与平面所成的角为，则，选C.

点睛：线面角的计算往往需要先构造面的垂线，必要时还需将已知的面的垂线适当平移才能构造线面角，最后把该角放置在容易计算的三角形中计算其大小.
3、C
【解析】根据题意，列方程，即可求解.
【详解】由题意可得，令，即，解得：t=4.
故选：C
4、C
【解析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：C
5、B
【解析】利用正弦函数的对称性质可知，，从而可得函数的图象的对称中心为，再赋值即可得答案
【详解】
令，，解得：，.
所以函数的图象的对称中心为，.
当时，就是函数的图象的一个对称中心，
故选：B.
6、C
【解析】①由题意得出AO⊥BC，BO⊥BC，点O是△ABC的垂心；
②若PA=PB=PC，则AO=BO=CO，点O是△ABC的外心；
③由题意得出AO是∠BAC的平分线，BO是∠ABC的平分线，O是△ABC的内心；
④若PE=PF=PG，则OE=OF=OG，点O是△ABC的内心
【详解】对于①，PO⊥底面ABC，∴PO⊥BC，又PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC；
同理PB⊥AC，得出BO⊥BC，

∴点O是△ABC的垂心，①正确；
对于②，若PA=PB=PC，由此推出Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO，
∴AO=BO=CO，点O是△ABC的外心，②正确；
对于③，若∠PAB=∠PAC，且PO⊥底面ABC，
则AO是∠BAC的平分线，
同理∠PBA=∠PBC时BO是∠ABC平分线，
∴点O是△ABC的内心，③正确；
对于④，过点P分别做边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，
若PE=PF=PG，则OE=OF=OG，点O是△ABC的内心，④错误
综上，正确的命题个数是3
故选C
【点睛】本题主要考查了空间中的直线与平面的垂直关系应用问题，是中档题
7、D
【解析】由，求得的取值集合得答案
详解】解：由，得，
函数定义域是
故选：D
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，关键是明确正切函数的定义域，属于基础题
8、C
【解析】利用辅助角公式可得，再由三角函数的平移变换原则即可求解.
【详解】解：，
，
为了得到函数，的图象，
只要把函数，图象上所有的点向左平移个单位长度
故选：C．
9、C
【解析】根据弧长计算出半径，再利用面积公式得到答案.
【详解】弧长为cm的弧所对的圆心角为，则

故选
【点睛】本题考查了扇形面积，求出半径是解题的关键.
10、B
【解析】先求出集合A，B，再求两集合的交集即可
【详解】解：由，得，所以，
由于，所以，所以，
所以，
故选：B

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】用诱导公式计算
【详解】，，

故答案为：
12、5
【解析】利用平移变换和反函数的定义得到的解析式，进而得解.
【详解】函数的图象先向下平移1个单位长度得到
作关于直线对称的图象，即的反函数，则
，，即，

故答案为：5
【点睛】关键点点睛：本题考查图像的平移变换和反函数的应用，利用反函数的性质求出的解析式是解题的关键，属于基础题.
13、④
【解析】利用正方体可判断①②的正误，利用公理3及其推论可判断③④的正误.
【详解】如图，在正方体中，，，
但是异面，故①错误.
又交于点，但不共面，故②错误.

如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误.
如图，因为，故共面于，
因为，故，故即，
而，故，故即即共面，故④正确.
故答案为：④

14、
【解析】由弧长公式变形可得：，代入计算即可.
【详解】解：由题意可知：（弧度）.
故答案为：.
15、
【解析】根据函数的单调性得到，计算得到答案.
【详解】函数在上单调递增，则
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据f（x）为偶函数，由f（－x）＝－f（x），即对恒成立求解；
（2）由有零点，转化为有解，令，转化为函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点求解；
（3）根据，使得成立，由求解.
【小问1详解】
解：因f（x）为偶函数，
所以，都有f（－x）＝－f（x），
即对恒成立，
对恒成立
，对恒成立，
所以
【小问2详解】
因为有零点
即有解，即有解
令，则函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点，
当0＜a＜1时，无解；
当a＞1时，在上单调递减，且，
所以在上单调递减，值域为
由有解，可得a＞0，此时a＞1，
综上可知，a的取值范围是；
【小问3详解】
，
当时，，
由（2）知，当且仅当时取等号，所以的最小值为1，
因为，使得成立，
所有，
即对任意的恒成立，
设，
所以当t＞1时，恒成立，
即，对t＞1恒成立，
设函数在单调递减，
所以，
所以m≥0，即实数m的取值范围为
17、（1）
（2）
【解析】（1）解出不等式，然后可得答案；
（2）由条件可得，，解出即可.
【小问1详解】
（1）由题意得：.
当时，，
所以，
.
【小问2详解】
因为，所以，即.
又，
所以，解得.
所以的取值范围.
18、 (1)36；(2)
【解析】(1)由基本不等式可得，再求解即可；
(2)由，再求解即可.
【详解】解：(1)由得xy≥36，当且仅当，即时取等号，
故xy的最小值为36.
(2)由题意可得，
当且仅当，即时取等号，
故x＋2y的最小值为.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题.
19、（1）最小正周期为，最大值.
（2）单调减区间为，单调增区间为
【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式以及正弦函数的有界性可求得结果；
（2）求得，利用余弦型函数的基本性质可求得函数的增区间和减区间.
小问1详解】
解：.
所以，的最小正周期.
当时，取得最大值
【小问2详解】
解：由（1）知，
又，
由，解得，
所以，函数的单调增区间为.
由，解得.
所以，函数的单调减区间为.
20、（1）；
（2）大约冷却分钟，理由见解析.
【解析】（1）根据求得冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）的函数关系，结合对数运算求得.
（2）根据（1）中的函数关系式列方程，由此求得冷却时间.
【小问1详解】
依题意，，，
，，
，.
，依题意，
则.
若选：从98℃下降到90℃所用时间：1分58秒，即分，
则
若选：从98℃下降到85℃所用时间：3分24秒，即分，

若选：从98℃下降到80℃所用时间：4分57秒，即分，

所以.
【小问2详解】
结合（1）可知：，
依题意，
.
所以大约冷却分钟.
21、（1）（2）或.
【解析】（Ⅰ）由交并补集定义可得；
（Ⅱ），说明有公共元素，由这两个集合的形式，知或即可.
试题解析：
（Ⅰ），，
，
又，
；
（Ⅱ）若，则需或，
解得或.