资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．函数与的图象在上的交点有（）
A.个 B.个
C.个 D.个
2．下列四组函数中，定义域相同的一组是（）
A.和 B.和
C.和 D.和
3．下列命题正确的是
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
4．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（）
A. B.
C. D.
5．若直线与直线互相垂直,则等于( )
A.1 B.-1
C.±1 D.-2
6．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）
A. B.
C. D.
7．已知函数，则（ ）
A.当且仅当时，有最小值为
B.当且仅当时，有最小值为
C.当且仅当时，有最大值为
D.当且仅当时，有最大值为
8．已知点（a，2）在幂函数的图象上，则函数f（x）的解析式是（）
A. B.
C. D.
9．将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于直线对称，则的最小正值为
A. B.
C. D.
10．设实数满足，函数的最小值为（ ）
A. B.
C. D.6
11．已知与分别是函数与的零点，则的值为
A. B.
C.4 D.5
12．关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．求方程在区间内的实数根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是____________.
14．若的最小正周期为，则的最小正周期为______
15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.
16．已知函数在区间上恰有个最大值，则的取值范围是_____
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．如图，为等边三角形，平面，，，为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面.
18．已知的三个顶点
（1）求边上高所在直线的方程；
（2）求的面积
19．函数的定义域.
20．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
21．已知函数.
（1）若函数在是增函数，求的取值范围；
（2）若对于任意的，恒成立，求的取值范围.
22．已知直线
（1）求直线的斜率；
（2）若直线m与平行，且过点，求m的方程.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、B
【解析】在上解出方程，得出方程解的个数即可.
详解】当时，解方程，得，整理得，
得或.
解方程，解得、、、或.
解方程，解得、、.
因此，方程在上的解有个.
故选B.
【点睛】本题考查正切函数与正弦函数图象的交点个数，可以利用图形法解决，也转化为方程根的个数来处理，考查计算能力，属于中等题.
2、C
【解析】根据根式、分式、对数的性质求各函数的定义域即可.
【详解】A：定义域为，定义域为，不合题设；
B：定义域为，定义域为，不合题设；
C：、定义域均为，符合题设；
D：定义域为，定义域为，不合题设；
故选：C.
3、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
4、B
【解析】由图中阴影部分可知对应集合为，然后根据集合的基本运算求解即可.
【详解】解：由图中阴影部分可知对应集合为
全集，2，3，4，，集合，，，3，，
=，=
故选：
5、C
【解析】分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可
【详解】解：①当时，利用直线方程分别化为：，，此时两条直线相互垂直
②如果，两条直线的方程分别为与，不垂直，故；
③，当时，此两条直线的斜率分别为，
两条直线相互垂直，
，化为，
综上可知：
故选
【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于基础题
6、D
【解析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.
【详解】若，则，所以，，，ABC均错；
因为，则，因为，则，即.
故选：D.
7、A
【解析】由基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当即时等号成立.
故选：A.
8、A
【解析】由幂函数的定义解出a，再把点代入解出b.
【详解】∵函数是幂函数，∴，即，
∴点（4，2）在幂函数的图象上，∴，故
故选：A.
9、C
【解析】函数，将其图像向右平移个单位后得到
∵这个图像关于直线对称
∴，即
∴当时取最小正值为
故选C
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
10、A
【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.
详解】解：由题意，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：A
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
11、D
【解析】设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，
联立方程得，由中点坐标公式得：，又，故得解
【详解】解：由，化简得，
设，，
由，互为反函数，其图象关于直线对称，
作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，
联立得；，
由中点坐标公式得：，
所以，
故选D
【点睛】本题考查了反函数、中点坐标公式及函数的零点等知识，属于难题.
12、A
【解析】根据题意可得1，是方程的两根，从而得到的关系，然后再解不等式从而得到答案.
【详解】由题意可得，且1，是方程的两根，
为方程的根，，
则不等式可化为，即，
不等式的解集为
故选: A
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】根据二分法的步骤可求得结果.
【详解】令，
因为，，，
所以下一个有根的区间是.
故答案为：
14、
【解析】先由的最小正周期，求出的值，再由的最小正周期公式求的最小正周期.
【详解】的最小正周期为，即，则
所以的最小正周期为
故答案为：
15、120
【解析】利用扇形的面积公式求解.
【详解】由题意得：扇形弧长为30，半径为8，
所以扇形的面积为：，
故答案为：120
16、
【解析】将代入函数解析式，求出的取值范围，根据正弦取8次最大值，求出的取值范围
【详解】因为，，所以，又函数在区间上恰有个最大值，所以，得
【点睛】三角函数最值问题要注意整体代换思想的体现，由的取值范围推断的取值范围
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、 (1)见解析(2)见解析
【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，由三角形中位线定理可得，，结合已知，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；（Ⅱ）由线面垂直的性质可得平面，得到，再由为等边三角形，得，结合线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得面面
【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连结
∵在中，，
∵， ∴，
∴四边形为平行四边形 ∴
又∵平面 ∴平面
（Ⅱ）证：∵面，平面，∴，
又∵为等边三角形，∴，
又∵，∴平面，
又∵，∴面，
又∵面，∴面面
18、 (1) ；⑵8.
【解析】（1）设BC边的高所在直线为l，由斜率公式求出KBC，根据垂直关系得到直线l的斜率 Kl，用点斜式求出直线l的方程，并化为一般式
（2）由点到直线距离公式求出点A（﹣1，4）到BC的距离d，由两点间的距离公式求出|BC|，代入△ABC的面积公式求出面积S的值
试题解析：
(1)设边上高所在直线为，
由于直线的斜率
所以直线的斜率.
又直线经过点，
所以直线的方程为，
即
⑵边所在直线方程为：
,即
点到直线的距离
，
又
.
19、
【解析】函数的定义域是，由对数函数的性质能够求出结果
【详解】整理得解得
函数的定义域为
【点睛】本题考查对数函数的定义域，是基础题．解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用
20、（1）；（2）5；（3）15.
【解析】（1）根据题意，列出关于砍伐面积的百分比的方程，即可容易求得；
（2）到今年为止，森林剩余面积为原来的，可列出关于m的等式，解之即可.
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，列出相应表达式有，解不等式求出的范围即可
【详解】（1）设每年砍伐的百分比为，则，即，
，解得：
所以每年砍伐面积的百分比为
（2）设经过年剩余面积为原来，则，即
又由（1）知，，，解得
故到今年为止，该森林已被砍伐5年
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，则年后剩余面积为.
令，即，，，解得
故今后最多还能砍伐15年
【点睛】关键点点睛：本题考查指数型函数数学建模在实际问题中的应用，熟练运用指数性质运算，将文字语言转化成数学语言是解题的关键，考查学生的转化能力与运算能力，属于中档题.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由函数可知对称轴为，由单调性可知，即可求解；
（2）整理问题为在时恒成立，设，则可转化问题为在时恒成立，讨论对称轴与的位置关系，进而求解.
【小问1详解】
因为函数，所以对称轴为，
因为在是增函数，所以，解得
【小问2详解】
因为对于任意的，恒成立，
即在时恒成立，所以在时恒成立，
设，则对称轴为，即在时恒成立，
当，即时，，解得；
当，即时，，解得（舍去），
故.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）将直线变形为斜截式即可得斜率；
（2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果.
【详解】（1）由，可得，
所以斜率为；
（2）由直线m与平行，且过点，
可得m的方程为，整理得：.
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