资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．函数与的图象可能是（）
A. B.
C. D.
2．已知是第二象限角，且，则点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3．设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于
A. B.
C.0 D.-1
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
5．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（）
A.1 B.-1
C. D.
6．与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A. B.
C. D.
7．若，且，则的值是
A. B.
C. D.
8． “”是的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9． “”是“函数在内单调递增”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要
10．过点和，圆心在轴上的圆的方程为
A. B.
C D.
11．已知函数则的值为（）
A. B.0
C.1 D.2
12．函数与g(x)＝－x＋a的图象大致是
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．幂函数的图象经过点，则________
14．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”．若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
15．若在内无零点，则的取值范围为___________.
16．已知，，，，则______.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数，，设
（1）求的值；
（2）是否存在这样的负实数k，使对一切恒成立，若存在，试求出k取值集合；若不存在，说明理由.
18．中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
从98℃下降到90℃所用时间
1分58秒
从98℃下降到85℃所用时间
3分24秒
从98℃下降到80℃所用时间
4分57秒
（1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到0.01）.
（2）“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.
A.5 B.7 C.10
（参考数据：，，，，）
19．设a>0，且a≠1，解关于x的不等式
20．为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于年在其扶贫基地投入万元研发资金，用于养殖业发展，并计划今后年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长
（1）写出第年（年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从第几年开始（年为第一年），每年投入的资金数将超过万元？（参考数据：，，，，）
21．已知函数，其中.
（1）若是周期为的偶函数，求及的值.
（2）若在上是增函数，求的最大值.
（3）当时，将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有10个零点，求b的最小值.
22．已知函数，且
（1）证明函数在上是增函数
（2）求函数在区间上的最大值和最小值
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、D
【解析】注意到两函数图象与x轴的交点，由排除法可得.
【详解】令，得或，则函数过原点，排除A；
令，得，故函数，都过点，排除BC.
故选：D
2、B
【解析】根据所在象限可判断出，，从而可得答案.
【详解】为第二象限角，
，，
则点位于第二象限.
故选：B.
3、C
【解析】：正确的是C.
点评：此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质，同时考察三角函数的求值运算.
4、B
【解析】根据指数函数的单调性分析出的范围，根据对数函数的单调性分析出的范围，结合中间值，即可判断出的大小关系.
【详解】因为在上单调递减，所以，所以，
又因为且在上单调递增，所以，所以，
又因为在上单调递减，所以，所以，
综上可知：，
故选：B.
【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法：
（1）作差法：作差与作比较；
（2）作商法：作商与作比较（注意正负）；
（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；
（4）中间值法：取中间值进行大小比较.
5、A
【解析】由已知确定函数的递推式，利用递推式与奇偶性计算即可
【详解】当时，，则，
所以当时，，所以
又是偶函数，，
所以
故选：A
6、C
【解析】由题意求函数的定义域，即可求得与函数图象不相交的直线.
【详解】函数的定义域是，
解得： ，
当时，，
函数的图象不相交的一条直线是.
故选：C
【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于简单题型.
7、B
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可得解
【详解】由题意，知，且，
所以，则，
故选B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8、A
【解析】先看时，是否成立，即判断充分性；再看成立时，能否推出，即判断必要性，由此可得答案.
【详解】当时，，
即“”是的充分条件；
当时，，
则 或，
则 或,即成立，推不出一定成立，
故“”不是的必要条件，
故选：A.
9、A
【解析】由函数在内单调递增得，进而根据充分，必要条件判断即可.
【详解】解：因为函数在内单调递增，
所以，
因为是的真子集，
所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件
故选：A
10、D
【解析】假设圆心坐标，利用圆心到两点距离相等可求得圆心，再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的方程.
【详解】设圆心坐标为：
则：，解得：
圆心为，半径
所求圆的方程为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查已知圆心所在直线和圆上两点求解圆的方程的问题，属于基础题.
11、C
【解析】将代入分段函数解析式即可求解.
【详解】解：因为，
所以，
又，所以，
故选：C.
12、A
【解析】因为直线是递减，所以可以排除选项 ，又因为函数单调递增时，，所以当时，，排除选项B,此时两函数的图象大致为选项，故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、一次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】设幂函数的解析式，然后代入求解析式，计算.
【详解】设，则，解得，所以，得
故答案为：
14、C
【解析】先求得函数的零点为，进而可得的零点满足，由二次函数的图象与性质即可得解.
【详解】由题意，函数单调递增，且，
所以函数的零点为，
设的零点为，
则，则，
由于必过点，
故要使其零点在区间上，则或，
即或，所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.
15、
【解析】求出函数的零点，根据函数在内无零点，列出满足条件的不等式，从而求的取值范围.
【详解】因为函数在内无零点，
所以，所以；
由，得，
所以或，
由，得；由，得；由，得，
因为函数在内无零点，
所以或或，
又因为，所以取值范围为.
故答案为：.
16、
【解析】利用两角和的正弦公式即可得结果.
【详解】因为，，所以，
由，，可得，，
所以.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）；
（2）存在，.
【解析】（1）由题可得，代入即得；
（2）由题可得函数，，为奇函数且在上单调递减，构造函数，则可得恒成立，进而可得，对恒成立，即求.
【小问1详解】
∵函数，，
∴，
∴
.
【小问2详解】
∵，
由，得，
又在上单调递减，在其定义域上单调递增，
∴在上单调递减，
又，
∴为奇函数且单调递减；
∵，又函数在R上单调递增，
∴函数在R上单调递减，
又，
∴函数为奇函数且单调递减；
令，则函数在上单调递减，且为奇函数，
由，可得，
即恒成立，
∴，即，对恒成立，
故，即，
故存在负实数k，使对一切恒成立，k取值集合为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造奇函数，从而问题转化为，对恒成立，参变分离后即求.
18、（1）；
（2）大约冷却分钟，理由见解析.
【解析】（1）根据求得冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）的函数关系，结合对数运算求得.
（2）根据（1）中的函数关系式列方程，由此求得冷却时间.
【小问1详解】
依题意，，，
，，
，.
，依题意，
则.
若选：从98℃下降到90℃所用时间：1分58秒，即分，
则
若选：从98℃下降到85℃所用时间：3分24秒，即分，
若选：从98℃下降到80℃所用时间：4分57秒，即分，
所以.
【小问2详解】
结合（1）可知：，
依题意，
.
所以大约冷却分钟.
19、当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
【解析】对进行分类讨论，结合指数函数的单调性求得不等式的解集.
【详解】当时，在上递减，
所以，
即，解得，
即不等式的解集为.
当时，在上递增，
所以，
即，解得或，
即不等式的解集为.
20、（1），其定义域为
（2）第年
【解析】（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，然后进一部确定函数解析式及定义域；
（2）由（1）得，然后利用对数运算求解集.
【小问1详解】
第一年投入的资金数为万元，
第二年投入的资金数为万元，
第x年（年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式为，其定义域为
【小问2详解】
由（1）得， ，
即，
因为，
所以
即该企业从第年，就是从年开始，每年投入的资金数将超过万元
21、（1），，；（2）；（3）.
【解析】（1）由题知，，进而求解即可得答案；
（2）由题知函数在上是增函数，故，进而解不等式即可得答案.
（3）由题知，进而根据题意得方程在上至少含有10个零点，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：（1）由题知，
因为是周期为的偶函数，
所以，，解得：，，
所以，.
（2）因为，所以，
因为函数在上是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以，解得，
又因为，故.
所以的最大值为.
（3）当时，，
所以，
当时，，
又因为函数在上至少含有10个零点，
所以方程在上至少含有10个零点，
所以，解得
故b最小值为.
【点睛】本题考查三角函数图像平移变换，正弦型函数的性质，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键件在于利用整体换元的思想，将为题转化为利用函数的图像性质求解.
22、（1）证明见解析；（2）的最大值为，最小值为.
【解析】（1）根据求出，求得，再利用函数单调性的定义，即可证得结论；
（2）根据在上的单调性，求在上的最值即可.
【详解】解：（1）因为，可得，解得，所以，
任取，则，
因为，所以，可得，即且，
所以，即，所以在上是增函数；
（2）由（1）知，在上是增函数，
同理，任取时，，其中，故，即且，故，即，所以在上是减函数，故在上是减函数，在上是增函数，又，，
所以的最大值为，最小值为.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性方法：
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值——作差——变形——定号——下结论.
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