天津市和平区耀华中学2022年数学高一上期末考试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂
足．若，则到平面的距离等于

A. B.
C. D.1
2．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是
A. B.
C. D.
3．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每分钟转动一周.若的初始位置坐标为，则运动到分钟时，的位置坐标是 （ ）
A B.
C. D.
4．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）

A. B.
C. D.
5．已知函数，则
A.0 B.1
C. D.2
6．若函数的图像向左平移个单位得到的图像，则
A. B.
C. D.
7．
A B.
C.1 D.
8．设函数,
A.3 B.6
C.9 D.12
9．函数的图像大致为
A. B.
C. D.
10．函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为（）
A. B.
C. D.2
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．给出下列四个结论
函数的最大值为；
已知函数且在上是减函数，则a的取值范围是；
在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称；
在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称
其中正确结论序号是______
12．已知扇形的半径为2，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为______.
13．已知函数，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是________
14．若实数x，y满足，则的最小值为___________
15．将函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．解下列关于的不等式；
（1）；
（2）.
17．有一批材料,可以建成长为240米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积.

18．袋子里有6个大小、质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.
（1）写出样本空间；
（2）求取出两球颜色不同的概率；
（3）求取出两个球中至多一个黑球的概率.
19．已知函数的图像过点，且图象上与点最近的一个最低点是.
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间上的取值范围.
20．已知直线，直线经过点，且
（1）求直线的方程；
（2）记与轴相交于点，与轴相交于点，与相交于点，求的面积
21．已知函数f(x)＝
（1）判断函数f(x)的奇偶性;
（2）判断并证明函数f(x)的单调性;
（3）解不等式：f(x2－2x)＋f(3x－2)<0；

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、C
【解析】如图，在平面内过点作于点

因为为直二面角，，所以，从而可得．又因为，所以面，故的长度就是点到平面的距离
在中，因为，所以
因为，所以．则在中，因为，所以．因为，所以，故选C
2、B
【解析】
不妨设，由，得，结合图象可知，，则，令，可知在上单调递减，故，则，故选B.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质
3、A
【解析】根据题意作出图形，结合图形求出3分钟转过角度，由此计算点的坐标.
【详解】每分钟转动一周,则运动到分钟时，其转过的角为，
如图，

设与x轴正方向所成的角为，则与x轴正方向所成的角为，
的初始位置坐标为，即，
所以，
即.
故选：A
4、A
【解析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.
【详解】根据函数的图象，可得，可得，
所以，
又由，可得，即，
解得，
因为，所以.
故选：A.
5、B
【解析】 ,选B.
6、A
【解析】函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为：

本题选择A选项.
7、A
【解析】由题意可得：

本题选择A选项.
8、C
【解析】.故选C.
9、A
【解析】详解】由得，
故函数的定义域为
又，
所以函数为奇函数，排除B
又当时，；当时，．排除C，D．选A
10、B
【解析】将写成分段函数，画出函数图象数形结合，即可求得结果.
【详解】当x≥0时，，
当＜0时，，
作出函数的图象如图：

当时，由=，解得=2
当时，
当＜0时，由,
即，
解得=，
∴此时=，
∵[]上的最小值为，最大值为2，
∴2，，
∴的最大值为，
故选：B
【点睛】本题考查含绝对值的二次型函数的最值，涉及图象的绘制，以及数形结合，属综合基础题.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】根据指数函数单调性可得二次函数的最值，求得的最小值为；根据对数函数的图象与性质，求得a的取值范围是；同一坐标系中，函数与的图象关于x轴对称；同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称
【详解】对于，函数的最大值为1，的最小值为，错误；
对于，函数且在上是减函数，
，
解得a的取值范围是，错误；
对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于x轴对称，错误；
对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确
综上，正确结论的序号是
故答案为
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题
12、
【解析】由扇形的面积公式和弧度制的定义，即可得出结果.
【详解】由扇形的面积公式可得，
所以圆心角为.
故答案为：
13、
【解析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解
【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，
则需满足，解得，
所以实数a的取值范围为，
故答案为：
14、
【解析】由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案
【详解】由题意，
得：，
则（当且仅当时，取等号）
故答案为：
15、.
【解析】
由题意利用函数的图象变换规律，即可得出结论.
【详解】将函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，
可得函数为，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得函数为.
故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）
（2）
【解析】（1）根据一元二次不等式的解法即可得出答案；
（1）根据一元二次不等式的解法即可得出答案.
【小问1详解】
解：不等式可化为，
解得，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
解：不等式可化为，解得或，
所以不等式的解集为.
17、当面积相等的小矩形的长为时，矩形面积最大，
【解析】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式即可求得矩形面积的最大值.
【详解】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，

，
当且仅当取等号，
所以时，.
【点睛】本题主要考查函数最值的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力.
18、（1）答案见解析；
（2）；
（3）.
【解析】（1）将1个红球记为个白球记为个黑球记为，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间；
（2）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，共三大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率；
（3）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，共四大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率
【小问1详解】
将1个红球记为个白球记为个黑球记为，则样本空间，共15个样本点.
【小问2详解】
记A事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，则包含11个样本点，所以.
【小问3详解】
记事件为“取出两个球至多有一个黑球”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，则包含12个样本点，所以.
19、（1）；（2）.
【解析】(1)根据，两点可求出和周期，再由周期公式即可求出，再由即可求出；
(2)根据求出函数的值域，再利用换元法令即可求出函数的取值范围.
【详解】（1）根据题意可知，，，所以，解得，
所以，又，所以，
又，所以，所以
（2）因为，所以，所以，
所以，令，即，则
，
当时，取得最小值，当时，取得最大值7，
故的取值范围是.
【点睛】方法点睛：由图象确定系数，通常采用两种方法：
①如果图象明确指出了周期的大小和初始值 (第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出和，或由方程(组)求出；
②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定和.
20、（1）；（2）
【解析】（1）根据两条直线垂直的斜率关系可得直线的斜率,代入求得截距,即可求得直线的方程.
（2）根据题意分别求得的坐标,可得的长,由的纵坐标即可求得的面积
【详解】（1）由题意,则两条直线的斜率之积为
即直线的斜率为
因为,所以可设
将代入上式,解得
即
（2）在直线中,令,得,即
在直线：中,令,得,即
解方程组,得 ,,即
则底边的长为,
边上的高为
故
【点睛】本题考查了直线与直线垂直的斜率关系,直线与轴交点坐标,直线的交点坐标求法,属于基础题.
21、（1）奇函数（2）单调增函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）按照奇函数的定义判断即可；
（2）按照单调性的定义判断证明即可；
（3）由单调递增解不等式即可.
【小问1详解】
易知函数定义域R，
所以函数为奇函数.
【小问2详解】
设任意x1，x2∈R且x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝
＝
∵x1<x2，∴，
∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)是在(－∞，＋∞)上是单调增函数
【小问3详解】
∵f(x2－2x)＋f(3x－2)<0，
又∵f(x)是定义在R上的奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f(x2－2x)<f(2－3x)，
∴x2－2x<2－3x，
∴－2<x<1.
不等式的解集是