资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（）
A. B.
C. D.
2．设，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）
A.1 B.
C. D.3
4．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数概率是
A. B.
C. D.
5．已知，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7．如果，且，那么下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8．函数的图象的一个对称中心是（）
A B.
C. D.
9．已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，(其中为的前n项和).则
A.3 B.
C. D.2
10．函数的零点所在区间为：（）
A. B.
C. D.
11．锐角三角形的内角、满足：，则有（）
A. B.
C. D.
12．的值为（ ）
A. B.1
C. D.2
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．设函数，则当时，的最小值为______；若恰有两个零点，则实数所在的区间是______.
14．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为________
15．给出下列命题：
①存在实数，使；
②函数是偶函数；
③若是第一象限角，且，则；
④是函数的一条对称轴方程
以上命题是真命题的是_______（填写序号）
16．如图，扇形的面积是，它的周长是，则弦的长为___________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知直线经过点和点.
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）若圆的圆心在直线上，并且与轴相切于点，求圆的方程
18．已知直线与圆相交于点和点
（1）求圆心所在的直线方程；
（2）若圆心的半径为1，求圆的方程
19．已知函数，（，且）.
（1）求的定义域，并判断函数的奇偶性；
（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.
20．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆
（1）根据以上数据，试从（，且），，（，且），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；
（2）假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，年底该地区传统能源汽车保有量为辆，预计到年底传统能源汽车保有量将下降．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：，）
21．已知全集,集合
(1)求;
(2)若,且,求实数的取值范围.
22．如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧
（1）求的值和的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、D
【解析】利用定义法求出，再用二倍角公式即可求解.
【详解】依题意，角的终边经过点，则，于是.
故选：D
2、D
【解析】若，则，故不充分；若，则，而，故不必要，故选D.
考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.
3、B
【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值
【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，
圆心到直线的距离为，
圆的半径为1，
故切线长的最小值为，
故选：B
【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题
4、A
【解析】从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有
(12),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)
(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共12种
其中满足条件两个数都是奇数的有(1,3),(3,1)两种情况
故从1,2,3,4这4个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是奇数的概率.
故选A.
5、B
【解析】先由，得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】由解得，所以由“”能推出“”，反之，不能推出；
因此“”是“”必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查命题的必要不充分条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
6、B
【解析】对于ACD，举例判断，对于B，分两种情况判断
详解】对于A，若时，满足，而不满足，所以A错误，
对于B，当时，则一定成立，当时，由，得，则，所以B正确，
对于C，若时，满足，而不满足，所以C错误，
对于D，若时，则满足，而不满足，所以D错误，
故选：B
7、D
【解析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.
【详解】对于A，若，，满足，但不成立，错误；
对于B，若，则，错误；
对于C，若，，满足，但不成立，错误；
对于D，由指数函数的单调性知，正确.
故选：D.
8、B
【解析】利用正弦函数的对称性质可知，，从而可得函数的图象的对称中心为，再赋值即可得答案
【详解】
令，，解得：，.
所以函数的图象的对称中心为，.
当时，就是函数的图象的一个对称中心，
故选：B.
9、A
【解析】由奇函数满足可知该函数是周期为的奇函数，
由递推关系可得：,
两式做差有：，即，
即数列构成首项为，公比为的等比数列，
故：，综上有：
，
，
则：.
本题选择A选项.
10、C
【解析】利用函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】因为，
所以函数单调递减，
，
∴函数的零点所在区间为.
故选：C.
11、C
【解析】根据三角恒等变换及诱导公式化简变形即可.
【详解】将，变形为则
，又，故，
即，，
因为内角、都为锐角，则，故，即
，，所以.
故选：C.
12、B
【解析】根据正切的差角公式逆用可得答案
【详解】，
故选：B
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、 ①. ②.
【解析】当时得到，令，再利用定义法证明在上单调递减，从而得到，令，，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分别求出与的零点，根据恰有两个零点，即可求出的取值范围；
【详解】解：当时，令，，设且，则
因为且，所以，，所以，所以，所以在上单调递减，所以，令，，函数在定义域上单调递增，所以，所以的最小值为；
对于，令，即，解得，对于，令，即，解得或或，因为恰有两个零点，则和一定为的零点，不为的零点，所以，即；
故答案为：；；
14、
【解析】连接AC交BD于O点，设交面于点E，连接OE，则角CEO就是所求的线面角，因为AC垂直于BD ，AC垂直于，故AC垂直于面.设正方体的边长为2，则OC=，OE=1，CE，此时正弦值为
故答案为.
点睛：求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；高二时还会学到空间向量法，可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．
15、②④
【解析】根据三角函数的性质，依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：①因为，故不存在实数，使得成立，错误；
②函数，由于是偶函数，故是偶函数，正确；
③若，均为第一象限角，显然，故错误；
④当时，，由于是函数的一条对称轴，故是函数的一条对称轴方程，正确.
故正确的命题是：②④
故答案为：②④
16、
【解析】由扇形弧长、面积公式列方程可得，再由平面几何的知识即可得解.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，
则由题意，解得，
则由垂径定理可得.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（Ⅰ）x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）（x+2）2+（y﹣3）2=4
【解析】（Ⅰ）由两点式，可得直线l的方程；（Ⅱ）利用圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C的方程
试题解析：（Ⅰ）由已知，直线的斜率，
所以，直线的方程为.
（Ⅱ）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，
因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上.
所以.
所以圆心坐标为，半径为4.
所以，圆的方程为.
考点：直线、圆的方程
18、（1）x-y=0
(2)
【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，．以及圆的方程的求解
（1）PQ中点M(,) , ,
所以线段PQ的垂直平分线即为圆心C所在的直线的方程:
（2）由条件设圆的方程为: ，由圆过P,Q点得得到关系式求解得到．则或故圆的方程为
19、（1）定义域为；奇函数;（2）时，；时，.
【解析】（1）由对数的真数大于0，解不等式可得定义域；运用奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）对a讨论，，，结合对数函数的单调性，以及参数分离法，二次函数的最值求法，可得m的范围
【详解】（1）由题意，函数，由，
可得或，即定义域为；
由，
即有，可得为奇函数；
2对于，恒成立，
可得当时，，由可得的最小值，
由，可得时，y取得最小值8，则，
当时，，由可得的最大值，
由，可得时，y取得最大值，则，
综上可得，时，；时，
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
20、（1）应选择的函数模型是（，且），函数关系式为；
（2）年底.
【解析】（1）根据题中的数据可得出所选的函数模型，然后将对应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，即可得出函数解析式；
（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，根据题意求出的值，可得出设从年底起经过年后的传统能源汽车保有量关于的函数关系式，根据题意得出关于的不等式，解之即可.
【小问1详解】
解：根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是
（，且），
由题意得，解得，所以.
【小问2详解】
解：设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，
依题意得，，解得，
设从年底起经过年后的传统能源汽车保有量为辆，
则有，
设从年底起经过年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有
化简得，所以，
解得，
故从年底起经过年后，即年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.
21、 (1);(2).
【解析】分析：(1)先解指数不等式得集合B，再根据补集以及交集定义求结果，(2)根据得，再根据数轴确定实数的取值范围.
详解：(1)由,得: .
由则: ，
所以: ，
(2)由: ,
又，
当时：，
当时：，
综上可得：，即.
点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解
22、（1）， ；（2）.
【解析】（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值
试题解析：
(1)由条件得.
∴.
∴曲线段的解析式为.
当时，.
又，
∴,
∴.
(2)由(1)，可知.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.
设,,“矩形草坪”的面积为
.
∵，
∴,
故当，即时，取得最大值
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