同角三角函数的基本关系式知识讲解.doc

(完整word)同角三角函数的基本关系式知识讲解同角三角函数基本关系【学习目标】1。借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式： ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1）平方关系:（2）商数关系:(3)倒数关系：，,要点诠释:（1）这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；（2)是的简写；(3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1平方关系式的变形：，2商数关系式的变形.【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1已知tan=2，求sin，cos的值.【思路点拨】先利用，求出sin=2cos,然后结合sin2+cos2=1，求出sin，cos。【解析】 解法一：tan=2，sin=2cos。 又sin2+cos2=1， 由消去sin得（2cos)2+cos2=1，即。当为第二象限角时，代入得。当为第四象限角时，,代入得.解法二:tan=20,为第二或第四象限角。又由，平方得。，即.当为第二象限角时，。当为第四象限角时，.【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论,有两种结果，需特别注意:若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论.举一反三：【变式1】已知是的一个内角,且，求【思路点拨】根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解。【解析】为钝角，由平方整理得例2已知cos=m（1m1），求sin的值。【解析】(1)当m=0时,角的终边在y轴上，当角的终边在y轴的正半轴上时，sin=1；当角的终边在y轴的负半轴上时，sin=1.(2）当m=1时，角的终边在x轴上，此时，sin=0。(3）当m|1且m0时,sin2=1cos2=1m2,当角为第一象限角或第二象限角时，当角为第三象限角或第四象限角时，。【总结升华】 当角的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。类型二：利用同角关系求值例3已知：求：(1）的值;（2）的值；（3）的值；（4）及的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】（1）（2）（3)0（4)或【解析】(1）由已知 （2）（3）（4)由，解得或【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二,在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。举一反三：【变式1】已知,求下列各式的值:（1）；（2）sin3+cos3。【解析】 因为，所以，所以。（1） （2）。【总结升华】 对于已知sincos=m型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得2sincos=m21，联立以上两个式子解出sin，cos的值，从而使问题得以解决;二是对所求式子进行变形,化为sincos，sincos的形式代入求解,解题时注意正、负号的讨论与确定.例4已知tan=3，求下列各式的值。（1）；(2)；（3）。【思路点拨】由已知可以求出，进而代入得解，但过程繁琐。在关于“齐次式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解。【解析】（1）原式的分子分母同除以cos（cos0)得，原式。（2）原式的分子分母同除以cos2（cos20）得，原式.(3)用“1来代换，原式。【总结升华】 已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题如（1)、（2）题，cos0，所以可用cosn（nN)除之，将被求式转化为关于tan的表示式,可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值,注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。举一反三：【变式1】（1）已知tan=3，求sin23sincos+1的值；（2）已知，求的值。【解析】（1）tan=3，1=sin2+cos2，原式 .（2）由，得,解得:。类型三：利用同角关系化简三角函数式例5化简：。【解析】 解法一：原式 。解法二：原式 。解法三：原式 。【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2+cos2=1，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中,解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2+cos2=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin2+cos2”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用.举一反三:【变式1】化简（1）; （2）；（3）； （4）【答案】（1）1（2）(3）略（4）略【解析】（1）原式=(2）原式=（3）原式=（4）原式= = =，类型四：利用同角关系证明三角恒等式例6求证：.【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【解析】 证法一:右边 =左边。证法二：左边，右边，所以左边=右边，原等式成立。证法三：左边,右边，所以左边=右边，原等式成立.【总结升华】 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是,不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形。化简证明过程中常用的技巧有:弦切互化,运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等。举一反三：【变式1】求证：。【解析】证法一：由题意知,所以.左边=右边.原式成立.证法二：由题意知，所以。又，.证法三：由题意知,所以。，。【变式2】已知，求证：。【证明】 ，。.