数列求和测验题.docx

数列求和练习题
1．已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A．90 B．121 C．119 D．120
2．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．数列中,，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )
A.720 B.765 C.600 D.630
4．数列的前项和为，若，则等于
A． B． C． D．
5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2·a4＝1，S3＝7，则S5＝(　　)
A. B. C. D.
6．设是等差数列的前项和，已知，则等于 (　　)
A. 13
B. 35
C. 49
D. 63
7．等差数列的前n项和为= ( )
A．18 B．20 C．21 D．22
8．等差数列的前项和为，且，则公差等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于
A．58 B．88 C．143 D． 176
11．已知数列的前项和为,则的值是（ ）
A．-76 B．76 C．46 D．13
12．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为(　　)
A．12 B．14 C．15 D．16
13．等差数列中，若，，则的前9项和为( )
A．297　 B．144 C．99 D．66

一、解答题（题型注释）
14．已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等比数列，公比为且，求数列的前项和.
15．已知等差数列的前项和为，且，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的公差不为，数列满足，求数列的前项和.
16．设数列的前项和，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
17．已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）的值．
18．已知数列的前项和，数列满足 ．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的通项；
（3）若，求数列的前项和．

19．已知数列的前项和为，且2.
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前项和.
20．已知数列{an}的前n项和，数列{bn}满足b1=1，b3+b7=18，且（n≥2）.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若，求数列{cn}的前n项和Tn.
21．已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列， 是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．设数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和

二、填空题
23．已知等比数列的各项均为正数，若，，则此数列的其前项和
24．已知等差数列中， ，，则前10项和 ．
25．设等比数列的前项和为,已知则的值为 ．
26．设是等差数列的前项和,且，则 ．
27．等差数列中，，那么 ．
28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此数列的公比q＝________.
29．在等差数列中，,则的前5项和= .
30．已知等差数列中，已知，则=________________.
31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .
32．（2013•重庆）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=　_________　．
33．数列的通项公式，它的前n项和为，则_________．
34．[2014·浙江调研]设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1(n≥2)，则Sn＝________.

参考答案
1．D
【解析】，
，
，解得．
【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力．
2．B
【解析】
试题分析：∵公差，，∴，解得=，∴，故选B.
考点：等差数列通项公式及前n项和公式
3．B
【解析】
试题分析：因为，所以。所以数列是首项为公差为3的等差数列。则，令得。所以数列前20项为负第21项为0从弟22项起为正。数列前项和为。则。故B正确。
考点：1等差数列的定义；2等差数列的通项公式、前项和公式。
4．D
【解析】
试题分析：因为.所以.
考点：1.数列的通项的裂项.2.数列的求和.
5．B
【解析】依题意知，q4＝1，又a1>0，q>0，则a1＝.又S3＝a1(1＋q＋q2)＝7，于是有(＋3)(－2)＝0，因此有q＝，所以S5＝＝，选B.
6．C
【解析】在等差数列中，，选C.
7．B
【解析】
试题分析：，即，解得.
考点：1.等差数列的通项，和式；2.等差数列性质（下标关系）.
8．C
【解析】
试题分析：∵，即，∴，∴＝，∴．
考点：等差数列的通项公式与前n项和公式．
9．A
【解析】
试题分析：设公差为，则，解得。（法一）所以。令得。所以数列前6项为负，从第7项起为正。所以数列前6项和最小；（法二），所以当时取得最小值。故A正确。
考点：1等差数列的通项公式；2等差数列的前项和公式。
10．B
【解析】
试题分析：根据等差数列的性质，
，故选B.
考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和.
11．A
【解析】
试题分析：（并项求和法）由已知可知：，所以，，，因此，答案选A.
考点：并项求和
12．D
【解析】＝q4＝2，
由a1＋a2＋a3＋a4＝1，
得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1，
即a1·＝1，∴a1＝q－1，
又Sn＝15，即＝15，
∴qn＝16，
又∵q4＝2，
∴n＝16.故选D.
13．C
【解析】
试题分析：∵∴
, .
考点：等差数列的运算性质.
14．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由求数列通项时利用求解；（2）借助于数列可求解，从而得到公比，得到前n项和
试题解析：（1）因为数列的前项和，
所以当时，，
又当时，，满足上式，
（2）由（1）可知，又，所以.
又数列是公比为正数等比数列，所以，又，所以
所以数列的前项和
考点：数列求通项公式及等比数列求和
15．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，利用，成等比数列，从而可求出数列的通项公式，数列的通项公式可通过联立方程组求解；（2）可利用错位相减法对前项和进行处理进而求解.
试题解析：（1），即，化简得或.
当时，，得或，
∴，即；
当时，由，得，即有.
（2）由题意可知，
∴①
②，
①-②得：，
∴.
考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.
16．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查由求、对数的运算、裂项相消法、等差数列的前n项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，由求需要分2步：，在解题的最后需要验证2步是否可以合并成一个式子；第二问，先利用对数式的运算化简的表达式，根据表达式的特点，利用裂项相消法求数列的前n项和.
试题解析：（1）时，， 2分
，∴
∴，
∴数列的通项公式为：． 6分
(2) 9分
． 12分
考点：由求、对数的运算、裂项相消法、等差数列的前n项和公式.
17． （1）．（2）。
【解析】
试题分析：（1）令n = 1，解出a1 = 3, （a1 = 0舍），
由4Sn = an2 + 2an－3 ①
及当时 4sn－1 = + 2an-1－3 ②
①－②得到，
确定得到是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）利用“错位相减法”求和.
试题解析： （1）当n = 1时，解出a1 = 3, （a1 = 0舍） 1分
又4Sn = an2 + 2an－3 ①
当时 4sn－1 = + 2an-1－3 ②
①－② , 即，
∴ , 4分
（），
是以3为首项，2为公差的等差数列，
． 6分
（2） ③
又 ④
④－③

12分
考点：等差数列及其求和，等比数列的求和，“错位相减法”.
18．（1）（2）（3）
【解析】
试题分析：（1）利用数列的前项和与第项的关系求解.
（2）由
又可转化为等差数列前项和问题.
（3）由（1）（2）可得
所以，
根据和式的特点可考虑用错位相减法解决.
试题解析：（1）∵,
∴． 2分
∴． 3分
当时，，
∴ 4分
（2）∵
∴，

,
以上各式相加得：

9分
（3）由题意得
∴，
∴，
∴

=，
∴． 12分
考点：1、数列前项和与第项的关系；2、等差数列前项和；3、错位相减法求数列前项和.
19．(1);(2).
【解析】
试题分析：（1）由2得两式相减得；
（2）根据，再利用分组求和即可求出结果.
试题解析：解：（1）由2. 2分
∴（） 4分
又时，适合上式。 6分
8分
10分
12分
考点：1.通项公式和前n项和的关系；2.数列求和.
20．（1），（2）.
【解析】
试题分析：（1）由及进行相减求得与的关系，由等比数列定义可得数列｛｝的通项公式，又由可知数列{bn}是等差数列，进而可求得其通项公式；（2）易得，其通项为等差乘等比型，可用错位相乘法求其前n项和Tn.
试题解析：（1）由题意知①，当n≥2时，②，①-②得，即，又，∴，故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以，由（n≥2）知，数列{bn}是等差数列，设其公差为d，则，故，综上，数列{an}和{bn}的通项公式分别为.
（2）∵，∴③
④
③-④得，
即，
∴
考点：与的关系：，等差与等比数列的定义和通项公式，数列求和方法：错位相减法.
21．（1）;（2）.
【解析】
试题分析：（1）先根据等比数列公式求出与的关系式，然后利用与的递推关系求出，从而再求出.（2）根据数列通项公式的特点用错位相减法求数列前项和.
试题解析：（1）解：∵是公比为的等比数列，
∴. 1分
∴.
从而，. 3分
∵是和的等比中项
∴，解得或. 4分
当时，，不是等比数列， 5分
∴.
∴. 6分
当时，. 7分
∵符合，
∴. 8分
（2）解：∵，
∴. ① 9分
.② 10分
①②得 11分
12分
. 13分
∴. 14分
考点：1、与的递推关系的应用，2、错位相减法求数列前项和.
22．（1）
（2）
【解析】
试题分析：解、（1）当时，
，
当时，，成立，
所以通项 5分
（2），则

令 ，
则 .‚，
‚得-
所以，
则 12分
考点：错位相减法求和
点评：主要是考查了等比数列以及错位相减法求和 的运用，属于基础题。
23．
【解析】
试题分析：由题意，所以，，．
考点：等比数列的项与前项和．
24．155．
【解析】
试题分析：设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以由等差数列的求和公式可得前10项和．故应填155．
考点：等差数列的前项和．
25．1
【解析】
试题分析：解：因为数列是等比数列，所以，，，也成等比，
由题设知,=
所以，=
考点：1、等比数列的概念与通项公式；2、等比数列的前项和公式及等比数殊的性质.
26．
【解析】
试题分析：因为，所以又成等差数列,所以即
考点：等差数列性质
27．
【解析】
试题分析：因为所以
考点：等差数列性质
28．3
【解析】因为a6－a5＝2(S5－S4)＝2a5，所以a6＝3a5.所以q＝3.
29．15
【解析】
试题分析：由题意得：.
考点：等差数列.
30．.
【解析】
试题分析：∵等差数列，∴.
考点：等差数列前项和.
31．
【解析】
试题分析：设数列的公比为，由得，解得，再由得，即，得.
考点：等比数列的通项公式、求和公式.
32．64
【解析】∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，
∴=a1•（a1+4d），又a1=1，
∴d2﹣2d=0，公差d≠0，
∴d=2．
∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．
故答案为：64．
33．99
【解析】
试题分析：,可得前n项和，所以，则.
考点：数列的求和.
34．
【解析】依题意得Sn－1－Sn＝Sn－1·Sn(n≥2)，整理得－＝1，又＝＝1，则数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，因此＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝.
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