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(完整word)因式分解的常用方法及练习题
因式分解的常用方法

一、提公因式法.:ma+mb+mc=m（a+b+c)
二、公式法。
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:
(1)平方差公式：(a+b）（a—b) = a2—b2
　（2) 完全平方公式:（a±b)2 = a2±2ab+b2
　（3） 立方和公式：a3+b3=（a+b）(a2-ab+b2）
　（4) 立方差公式：a3—b3=(a—b)（a2+ab+b2)
（5）完全立方公式：(a±b)³＝a³±3a²b＋3ab²±b³
下面再补充两个常用的公式：
　（6）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
　（7）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca）；
三、十字相乘法.
（一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式:进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
(3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：

练习5、分解因式（1） (2) （3)

练习6、分解因式（1） (2） （3)

（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1)
（2）
（3）
分解结果：=

例7、分解因式:

练习7、分解因式：（1） （2）

（3） (4)

（三)二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：
分析:将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.
1 8b
1 —16b
8b+（—16b）= -8b
解:=
=

练习8、分解因式(1)(2)(3）

（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、 例10、
1 —2y 把看作一个整体 1 -1
2 —3y 1 -2
(—3y）+(-4y)= -7y （—1）+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=
练习9、分解因式：(1） （2）

综合练习10、（1) (2)

(3） （4）

（5） （6)

（7) （8）

（9） （10）

四、分组分解法.
（一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
分析：从“整体"看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部"看,这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系.
解:原式=
= 每组之间还有公因式!
=
例2、分解因式:
解法一：第一、二项为一组； 解法二:第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组.
解：原式= 原式=
= =
= =
练习：分解因式1、 2、

（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 例4、分解因式：

解：原式= 解：原式=
= =
= =

练习：分解因式3、 4、

综合练习：（1） (2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

(9） （10)

五、换元法。
例13、分解因式（1）
（2）
解:（1）设2005=，则原式=
=
=
(2）型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式（1） （2）

六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(1）
解法1—-拆项。 解法2——添项。
原式= 原式=
= = = = = =
= =

练习15、分解因式
（1） （2) （3）

第二部分：习题大全
经典一：
一、填空题
1。 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式: m3-4m= .
3。分解因式： x2-4y2= __ _____.
4、分解因式：=___________ ______.
5.将xn—yn分解因式的结果为(x2+y2）（x+y)（x—y），则n的值为 。
6、若,则=_________,=__________.
二、选择题
7、多项式的公因式是( )
A、 B、 C、 D、
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ )
A、 B、
C、 D、
10.下列多项式能分解因式的是（ ）
（A)x2—y (B）x2+1 (C）x2+y+y2 （D)x2-4x+4
11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（ ）
A．(x－y）（x－y－1) B．（y－x）（x－y－1）
C．(y－x)（y－x－1） D．(y－x）（y－x＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是( )
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2(a－b＋1）
C．x(b＋c－a）－y（a－b－c)－a＋b－c＝(b＋c－a）(x＋y－1）
D．（a－2b）(3a＋b）－5(2b－a）2＝(a－2b)（11b－2a)

13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为( ）
A.2 B。4 C。2y2 D。4y2
三、把下列各式分解因式：
14、 15、

16、 17、

18、 19、；

五、解答题
20、如图，在一块边长=6。67cm的正方形纸片中,挖去一个边长=3。33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积.

d
D
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，结果保留2位有效数字)

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。

1。分解因式(1+y)²-2x²(1+y²）+x4（1-y）²

2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33
x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5

因式分解小结
因式分解的一般步骤是：
（1)通常采用一“提”、二“公"、三“分”、四“变”的步骤.即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
(2）若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;

1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式
分析:这是一个六项式，很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式,提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解.
解一:原式

解二：原式=

2。 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式
解一：将拆成，则有

解二：将常数拆成，则有

3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值.本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。
证明:

设，则

4。 因式分解中的转化思想
例:分解因式：
分析：本题若直接用公式法分解,过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

说明:在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的.

中考点拨
1、在中,三边a,b,c满足 求证：

2、 若x为任意整数，求证：的值不大于100。

3、 将

试卷（因式分解）
一、填空：（30分）
1、若是完全平方式，则的值等于_____。
2、则=____=____3、与的公因式是＿
4、若=，则m=_______，n=_________。
5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的
有________________________ ，其结果是 _____________________。
6、若是完全平方式，则m=_______.7、
8、已知则
9、若是完全平方式M=________。
10、，
11、若是完全平方式，则k=_______。14、若则___.
12、若的值为0，则的值是________.
13、若则=_____。15、方程，的解是________。
二、选择题：（10分）
1、多项式的公因式是（ ）
A、－a、 B、 C、 D、
2、若，则m,k的值分别是( ）
A、m=—2，k=6,B、m=2,k=12，C、m=-4，k=—12、D m=4,k=12、
3、下列名式：中能用平方差公
式分解因式的有（ ）
A、1个，B、2个，C、3个，D、4个
4、计算的值是（ ）
A、 B、
三、分解因式：（30分）
1 、 2 、 3 、 4 、

5、 6、 7、 8、

四、代数式求值(15分）
1、 已知，，求 的值。

2、 若x、y互为相反数，且，求x、y的值

3、 已知，求的值

五、计算： （15）
（1) 0.75 ( 2） 　 （3）

六、试说明:（8分）
1、对于任意自然数n,都能被动24整除.

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8分)
1、一种光盘的外D=11。9厘米，内径的d=3。7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长.

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：
甲：这是一个三次四项式
乙：三次项系数为1，常数项为1。
丙:这个多项式前三项有公因式
丁:这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式,并将它分解因式。（4分）

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