数列的极限.doc

(完整word版)数列的极限
一）复习：数学归纳法
1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.
特点：由特殊→一般.
2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.
3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kÎN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.
5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.
【注】n0应为n能取到的最小正整数
【练习巩固】
练1：若f（n）=1+ （n∈N*），则当n=1时，f（n）为
练2：将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 。
练3：已知；（是正整数），令，，. 某人用右图分析得到恒等式： ，则__________
练4：已知,证明:.

练5：试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.

二） 数列的极限概念以及简单的应用
1、定义：对于无穷数列{}，当n无限增大时，无穷数列{}中的无限趋近于一个常数Ａ，那么Ａ叫做数列{}的极限，或者数列{}收敛于Ａ，记作；如果数列没有极限，那么我们称数列{}是发散的。
【注】①一定要注意，ｎ要想无限增大，必须满足这个数列必须有无穷多项，是无穷数列。（判断数列存在不存在极限）
②无限趋近于一个常数Ａ，说明一个数列的极限只有这一个。（判断数列存在不存在极限）
③ 那么可变形为，用绝对值代表距离，这种定义常用于证明A是否是的极限。
2、常见求极限题型
（1）常用极限：（1）C=C（C为常数）（2）当时，； （3）
（2） 、为n的多项式，分子分母同除以n的最高次幂， 起决定作用的只是分子分母中n次数最高的项。
①如果、中的最高次数相同，例如：，，那么数列存在极限，其极限即为其最高次幂的系数比；
②如果中n的最高次数高于中n的最高次数，例如：，那么数列不存在极限；
③如果中n的最高次数高于中n的最高次数，例如：，，那么数列存在极限，其极限即为0。
【练习巩固】
练1：求下列数列的极限
（1） （2） （3） （4）无穷数列前项和

（5） （6）=0（α＞0） （7）（－n） （8）

练2：用极限定义证明：

二） 新课：数列极限的运算法则
1、 数列极限的运算性质：设数列｛an｝、｛bn｝，an=A, bn=B
(1) （an±bn）=A±B;
(2)（an·bn）=A·B;
【注】①（C·an）=C·A ②推广到有限个数列和、差、积的极限：若cn=C,（an+bn+cn）=A+B+C
(3)=（b≠0）
【注】（1）性质公式使用条件：数列｛an｝、｛bn｝都存在极限
（2）性质1、2的使用前提是参与运算的数列个数是有限的
【典型例题】
例1：“”是“”成立的（ ）
（A） 充分非必要条件；（B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件
例2：计算
（1） ； （2）； （3）

（4） （5）

【练习巩固】
练1：已知，求

练2：计算
(1) （2） （3） （4）（5）

练3：已知｛an｝、｛bn｝都存在极限，且满足的值

练4：若，且存在，则求

三） 无穷等比数列各项的和
（一）无穷等比数列各项的和的概念

1、 复习：等比数列前n项和公式：等比数列｛an｝，前n项和Sn=
2、 无穷等比数列各项的和的概念：①等比数列｛an｝是无穷等比数列 ②公比
则当时Sn将无限趋向于一个常数，即
（二）无穷等比数列各项的和的应用
1、化循环小数为分数
【典型例题】
例1：把下列循环小数化为分数
（1） （2）

例2：设｛an｝是无穷等比数列，且公比的取值范围是，若a1+a2+a3+……+an+……=，求a1取值范围。

【练习巩固】
练1：计算

练2：计算