数列的极限.doc

(完整word版)数列的极限一）复习：数学归纳法1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊一般.2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法. 3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.【注】n0应为n能取到的最小正整数【练习巩固】练1：若f（n）=1+ （nN*），则当n=1时，f（n）为 练2：将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 。练3：已知；（是正整数），令，. 某人用右图分析得到恒等式： ，则_练4：已知,证明:.练5：试证：当nN*时，f(n)32n28n9能被64整除.二） 数列的极限概念以及简单的应用1、定义：对于无穷数列，当n无限增大时，无穷数列中的无限趋近于一个常数，那么叫做数列的极限，或者数列收敛于，记作；如果数列没有极限，那么我们称数列是发散的。【注】一定要注意，要想无限增大，必须满足这个数列必须有无穷多项，是无穷数列。（判断数列存在不存在极限） 无限趋近于一个常数，说明一个数列的极限只有这一个。（判断数列存在不存在极限） 那么可变形为，用绝对值代表距离，这种定义常用于证明A是否是的极限。2、常见求极限题型（1）常用极限：（1）C=C（C为常数）（2）当时，； （3）（2） 、为n的多项式，分子分母同除以n的最高次幂， 起决定作用的只是分子分母中n次数最高的项。如果、中的最高次数相同，例如：，那么数列存在极限，其极限即为其最高次幂的系数比；如果中n的最高次数高于中n的最高次数，例如：，那么数列不存在极限；如果中n的最高次数高于中n的最高次数，例如：，那么数列存在极限，其极限即为0。【练习巩固】练1：求下列数列的极限（1） （2） （3） （4）无穷数列前项和（5） （6）=0（0） （7）（n） （8）练2：用极限定义证明：二） 新课：数列极限的运算法则1、 数列极限的运算性质：设数列an、bn，an=A, bn=B(1) （anbn）=AB;(2)（anbn）=AB; 【注】（Can）=CA 推广到有限个数列和、差、积的极限：若cn=C,（an+bn+cn）=A+B+C(3)=（b0）【注】（1）性质公式使用条件：数列an、bn都存在极限（2）性质1、2的使用前提是参与运算的数列个数是有限的【典型例题】例1：“”是“”成立的（ ）（A） 充分非必要条件；（B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件例2：计算（1） ； （2）； （3） （4） （5）【练习巩固】练1：已知，求练2：计算(1) （2） （3） （4）（5） 练3：已知an、bn都存在极限，且满足的值练4：若，且存在，则求三） 无穷等比数列各项的和（一）无穷等比数列各项的和的概念1、 复习：等比数列前n项和公式：等比数列an，前n项和Sn=2、 无穷等比数列各项的和的概念：等比数列an是无穷等比数列 公比则当时Sn将无限趋向于一个常数，即（二）无穷等比数列各项的和的应用1、化循环小数为分数【典型例题】例1：把下列循环小数化为分数（1） （2）例2：设an是无穷等比数列，且公比的取值范围是，若a1+a2+a3+an+=，求a1取值范围。【练习巩固】练1：计算练2：计算