培优讲义03：锐角三角函数(一).doc

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第三讲：锐角三角函数（一）
知识点一：锐角三角函数
1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。
3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即。
4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即。
sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
考点一：锐角三角函数的定义
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，则AC：BC：AB=（ ）
A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：4
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
2、已知锐角α，cosα=，sinα=_______，tanα=_______。
3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB=______.tanA = ______。
4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于_______。
5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（ ）
A、ncosB B、cosB C、 D、不变
考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形
例1、如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接。
（1）求证：；
（2）如果，求的值。

6、如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。

7、如图（1），∠的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一个点P（3，4），则sin=______
8、如图（2）所示，在正方形网格中，sin∠AOB等于（ ）
A、 B、 C、 D、2
9、如图（3），在中，，于，若，，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、如图（4），直径CD为10的⊙A经过点C(0，5)和点O (0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ).
A、 B、 C、 D、
11、如图（5），A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
12、如图（6），菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积= cm2。

图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）
13、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值。

14、如图，在正方形ABCD中，M为AD的中点，E为AB上一点，且BE=3AE，求sin∠ECM。

15、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，AB=1，BC=2，tan∠ADC=2。
（1）求证：DC=BC
（2）E是梯形ABCD内一点，F是梯形ABCD外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，是判断△ECF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值。

【知识点二】 30°、45°、60°的三角函数值
三角函数\锐角
30°
45°
60°
sin

cos

tan

1

考点一：利用特殊角的三角函数值进行计算
16、计算：
（1） （2）
（3） （4）sin45°＋cos30°－

17、∠B是Rt△ABC中的一个内角，且sinB=，则cos=（ ）
A、 B、 C、 D、
18、在△ABC中，a=3，b=4，∠C=60°，则△ABC的面积为________。
19、Rt△ABC中，∠C=90°，c=12，tanB=，则△ABC的面积为（ ）
A、36 B、18 C、16 D、18
20、如图所示，在直角坐标系中，OP=4，OP与轴正半轴的夹角为30°，则点P的坐标为（ ）
A、（2、） B、（，2）
C、（2，） D、（，－2）
21、已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为_______。
22、在菱形ABCD中，已知其周长为16 cm，较短对角线长为4 cm，求菱形较小角的正弦值
和余弦值。

23、如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为（3，0），OA=2，∠AOB=60°。
（1）求点A坐标；
（2）若直线AB交轴于点C，求△AOC的面积。

考点二：已知一个特殊角的正、余弦值或正切值，求相应的锐角
24、cosA = ，A为锐角，则A =________；2cos(α-100) = 1，则锐角α =________。
25、若tanA的值是方程的一个根，则锐角A=（ ）
A、30°或45° B、30°或60° C、45°或60° D、60°或90°
26、若2cosA－=0，则锐角A=________。
27、在Rt△ABC，∠C=90°，BC=，AC=，则∠A等于（ ）
A、90° B、60° C、45° D、30°
28、在△ABC中，锐角A，B满足（sinA-）2+│cosB-│=0，则△ABC是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形
29、若∠B是Rt△ABC的一个内角，sinB=，则cos的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
【知识点三】 锐角三角函数的性质
考点一：锐角三角函数的增减性
1、当0°＜＜90°时，和随的增大而增大，随的增大而减小。
2、锐角三角函数的取值范围：0＜＜1，0＜＜1，＞0。
30、当锐角∠A＞45°时，的值为（ ）
A、大于 B、小于 C、小于 D、大于
31、当锐角A的＞时，∠A的值为（ ）
A、小于45° B、小于30° C、大于45° D、大于30°
32、当锐角∠A＜60°时，的值为（ ）
A、小于 B、小于 C、大于 D、大于
33、已知sin≤，则的取值范围是（ ）
A、＞30° B、30°＜＜90° C、0°＜＜30° D、0°≤≤30°
34、比较大小：
（1）18°________18.3° （2）31°_________32°
（3）30°________89°
35、比较大小：sin20°________sin25°；cos50°________cos70°。
考点二：锐角三角函数间的转换
1、
2、若∠A与∠B互余，
3、

36、当sinA=cosA时，∠A=_______°。
37、已知为锐角，且sin，则cos=________。
38、cos（60°－）=sin（________）。（0°＜＜90°）
39、若sin10°=cosA，则锐角A=（ ）
A、10° B、80° C、10°或20° D、不确定
40、已知36°，则锐角=________。

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