初中三角函数公式及其定理及习题.doc

初中三角函数公式及其定理
1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦

(∠A为锐角)

余弦

(∠A为锐角)
正切

(∠A为锐角)

(倒数)

余切

(∠A为锐角)

对边
邻边
斜边
A
C
B

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°

0

1

1

0

0

1

-

-

1

0
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：
当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），
南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

第28章 《锐角三角函数》
一、选择题
1.

2．在Rt△ABC中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ）
A．sinA = sinB B．cosA=sinB C．sinA=cosB D．∠A+∠B=90°
3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）
A．10 B．2 C．10或2 D．无法确定
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（ ）
A．c = B．c = C．c = a·tanA D．c =
5、的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=3，AC等于10，则S△ABC等于( )
A. 3 B. 300 C. D. 15
7．当锐角α>30°时，则cosα的值是（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ）
A．1米 B．米 C．2 D．
9．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）
（A）4 （B）5 （C） （D）
10．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12
二、填空题
11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．
12．若sin28°=cosα，则α=________．
13．已知△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．
14．某坡面的坡度为1：，则坡角是_______度．
15．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，则BC的长为_______cm.
16.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为
A.82米 B.163米 C.52米 D.70米
17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB底部相距6m的C处，量出测倾器的高度CD＝1m，测得旗杆顶端B的仰角＝60°，则旗杆AB的高度为　　　　　　　．（计算结果保留根号）
（第7题）

（16题） (17题)
三、解答题
18．由下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°：
（1）已知a=4，b=8， （2）已知b=10，∠B=60°．

（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°

19．计算下列各题．
（1）sin230°+cos245°+sin60°·tan45°； （2）+ sin45°

四、解下列各题
20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？

21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）

22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

答案：
1．D 2．A 3．C [点拨]长为8的边即可能为直角边，也可能为斜边．4．A [点拨]sinA=，所以c=．
5．A 6．D 7．D [点拨]余弦值随着角度的增大而减小，α>30°，cos30°=，所以cosa<．
8．A 9．B 10．A [点拨]tanA=，AC==6．
11． 4+ [点拨]原式=2×+2×+3×1=4+． 12． 62°
13． [点拨]BC===12，tanA==．
14． 30° [点拨]坡角α的正切tanα=，所以α=30°．
15． 8 16. 82米 17. （6＋1）m
18．解：（1）c= =4；
（2）==，c= ,
∠A=90°-∠B=90°-60°=30°
（3）a = c×sinA=20×=10，b=c×cos60°=10×=5．∠B=90°-∠A=90°-60°=30°
19．解：（1）原式=（）2+（）2+××1=++=+
（2）原式=+=1+
20．第一次观察到的影子长为5×cot45°=5（米）；第二次观察到的影子长为5×cot30°=5（米）．
两次观察到的影子长的差是5-5米．
21．过点C作CD⊥AB于点D．

CD就是连接两岸最短的桥．设CD=x米．
在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x．
在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x．
因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9（米）
22． 解：

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