特征根法求数列通项.doc

特征根法求解数列递推公式类型一、形如是常数）的数列 （二阶线性递推式） 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 （1）若有二异根，则可令是待定常数） （2）若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得例1 已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例2已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 类型二、形如的数列 （分式递推式） 对于数列，是常数且） 其特征方程为，变形为（1） 若有二异根，则可令（其中是待定常数）代入的值可求得值。 即数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得（2） 若有二重根，则可令（其中是待定常数）代入的值可求得值。 即数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得例3已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，例4已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，【附】类型一证明:递推公式为（其中p，q均为非零常数）。先把原递推公式转化为，其中满足，显然是方程的两个非零根。1） 如果，则，成等比，很容易求通项公式。2） 如果，则成等比。公比为， 所以，转化成： ，( I )又如果，则等差，公差为，所以，即： 可以整理成通式： （II)如果，则令，,就有，利用待定系数法可以求出的通项公式所以，化简整理得： 可以整理成通式：(注：类型二证明方法如同类型一，从略。特征根法结论可直接在大题中使用。)