特征根法求数列通项.doc

特征根法求解数列递推公式

类型一、形如是常数）的数列 （二阶线性递推式）
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
（1）若①有二异根，则可令是待定常数）
（2）若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得

例1 已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，解得，令，
由，得，

例2已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，解得，令，
由，得，

类型二、形如的数列 （分式递推式）
对于数列，是常数且）
其特征方程为，变形为…②
（1） 若②有二异根，则可令（其中是待定常数）
代入的值可求得值。
即数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得
（2） 若②有二重根，则可令（其中是待定常数）
代入的值可求得值。
即数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得

例3已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，，

例4已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，即，解得，令
由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，

【附】
类型一证明:递推公式为（其中p，q均为非零常数）。
先把原递推公式转化为，其中满足，显然是方程的两个非零根。
1） 如果，则，成等比，很容易求通项公式。
2） 如果，则{}成等比。公比为，
所以，转化成：
，
( I )又如果，则{}等差，公差为，
所以，
即：
可以整理成通式：
（II)如果，则令，，,就有
，利用待定系数法可以求出的通项公式

所以，化简整理得：
可以整理成通式：

(注：类型二证明方法如同类型一，从略。特征根法结论可直接在大题中使用。)