【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义：第十二讲：一元一次不等式(组)的应用.doc

第十二讲：一元一次不等式（组）的应用
一、能力要求：
1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。
2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。
3．能够用分类讨论思想解有关问题。
4．能利用不等式解决实际问题
二、典型例题
1．m取什么样的负整数时，关于x的方程的解不小于－3.
分析：解方程得：x=2m+2
由题意：2m+2≥-3，所以m≥-2.5
符合条件的m值为-1，-2
2．已知、满足且，求的取值范围.
分析：解方程组 得
代入不等式，解得
3．比较和的大小
（作差法比大小）
解：

4．若方程组 的解为x、y，且2<k<4，求 x-y的取值范围。
分析：用整体代入法更为简单

5．取怎样的整数时，方程组的解满足.

6．若2(a-3)＜，求不等式＜x-a的解集

分析：解不等式2(a-3)＜ 得：a<
由＜x-a 得（a-5）x<-a
因为a< 所以a-5<0
于是不等式＜x-a的解集为x>
7．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.
不等式的解的过程如下：
解：根据题意，得或
解不等式组，得；解不等式组，得
所以原不等式的解为或
请你按照上述方法求出不等式的解.
分析：典型错误解法：
由不等式得： 或
所以原不等式的解为或

正确解法：由不等式得： 或
所以原不等式的解为或

8．目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为和，请算一算，哪种对用户合算．
解：
（1） 若 则 解得：
所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算。
（2） 若 则 解得：
所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同。
（3） 若 则 解得：
所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算。

9．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？
原料名称
饮料名称
甲
乙
A
20克
40克
B
30克
20克
分析：（1）据题意得：
解不等式组，得
因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。
（2）由题意得：
整理得：
因为y随x的增大而减小，所以x=40时，成本额最低

10．某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时（个）

产值（万元/台）
0.4
0.3
0.2
问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？

解：设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是台、台、台，设此时的产值为P万元。
根据题意得：
由（1）和（2）知 ……（5）把（5）代入（3）得：
解得：
＝＝
要使P最大，只需最小
当时
P最大＝108－0.05×40＝106(万元)
此时（台）
（台）
答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？

一、【问题引入与归纳】
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。
能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。
二、【典型例题解析】
1、 观察算式：
按规律填空：1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…+ ？
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？

3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第个图案中有白色地面砖多少块？
4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？

5、 观察右图，回答下列问题：
（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？
（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？
（3）某一层上有77个点，这是第几层？
（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？
6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；
（2）计算：= （填写最后的计算结果）。
7、 观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 … …
11×13=143，而143=122-1 … …
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。

8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。

三、【跟踪训练题】1
1、有一列数其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…则第个数= ，当=2001时，= 。
2、将正偶数按下表排成5列

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第一行

2
4
6
8
第二行
16
14
12
10

第三行

18
20
22
24
……

……
28
26

根据上面的规律，则2006应在 行 列。
3、已知一个数列2，5，9，14，20，，35…则的值应为：（ ）
4、在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.336
3、 学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：
4、
拼成一行的桌子数
1
2
3
…
n
人数
4
6

…

6、给出下列算式：

观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：
7、通过计算探索规律：
152=225可写成100×1×（1+1）+25
252=625可写成100×2×（2+1）+25
352=1225可写成100×3×（3+1）+25
452=2025可写成100×4×（4+1）+25
…………
752=5625可写成
归纳、猜想得：（10n+5）2=
根据猜想计算：19952=
8、已知，计算：
112+122+132+…+192= ；
9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？

9