【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义：第十二讲：一元一次不等式(组)的应用.doc

第十二讲：一元一次不等式（组）的应用
一、能力要求：
1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。
2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。
3．能够用分类讨论思想解有关问题。
4．能利用不等式解决实际问题
二、典型例题
1．m取什么样的负整数时，关于x的方程的解不小于－3.
分析：解方程得：x=2m+2
由题意：2m+2≥-3，所以m≥-2.5
符合条件的m值为-1，-2
2．已知、满足且，求的取值范围.
分析：解方程组 得
代入不等式，解得
3．比较和的大小
（作差法比大小）
解：

4．若方程组 的解为x、y，且2
7．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.
不等式的解的过程如下：
解：根据题意，得或
解不等式组，得；解不等式组，得
所以原不等式的解为或
请你按照上述方法求出不等式的解.
分析：典型错误解法：
由不等式得： 或
所以原不等式的解为或

正确解法：由不等式得： 或
所以原不等式的解为或

8．目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为和，请算一算，哪种对用户合算．
解：
（1） 若 则 解得：
所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算。
（2） 若 则 解得：
所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同。
（3） 若 则 解得：
所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算。

9．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？
原料名称
饮料名称
甲
乙
A
20克
40克
B
30克
20克
分析：（1）据题意得：
解不等式组，得
因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。
（2）由题意得：
整理得：
因为y随x的增大而减小，所以x=40时，成本额最低

10．某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时（个）

产值（万元/台）
0.4
0.3
0.2
问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？

解：设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是台、台、台，设此时的产值为P万元。
根据题意得：
由（1）和（2）知 ……（5）把（5）代入（3）得：
解得：
＝＝
要使P最大，只需最小
当时
P最大＝108－0.05×40＝106(万元)
此时（台）
（台）
答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？

一、【问题引入与归纳】
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。
能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。
二、【典型例题解析】
1、 观察算式：
按规律填空：1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…+ ？
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？

3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第个图案中有白色地面砖多少块？
4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？

5、 观察右图，回答下列问题：
（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？
（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？
（3）某一层上有77个点，这是第几层？
（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？
6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；
（2）计算：= （填写最后的计算结果）。
7、 观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 … …
11×13=143，而143=122-1 … …
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。

8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。

三、【跟踪训练题】1
1、有一列数其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…则第个数= ，当=2001时，= 。
2、将正偶数按下表排成5列

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第一行

2
4
6
8
第二行
16
14
12
10

第三行

18
20
22
24
……

……
28
26

根据上面的规律，则2006应在 行 列。
3、已知一个数列2，5，9，14，20，，35…则的值应为：（ ）
4、在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.336
3 学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：
4、
拼成一行的桌子数
1
2
3
…
n
人数
4
6

…

6、给出下列算式：

观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：
7、通过计算探索规律：
152=225可写成100×1×（1+1）+25
252=625可写成100×2×（2+1）+25
352=1225可写成100×3×（3+1）25
452=2025可写成100×4×（4+1）+25
…………
752=5625可写成
归纳、猜想得：（10n+5）2=
根据猜想计算：19952=
8、已知，计算：
112+122+132+…+192= ；
9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？

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