《高等代数》：学习笔记.doc

《高等代数(上)》：学习笔记
这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章 行列式
§1.1 定义
D=2314=2×4-3×1=5 A=2314≡2314
这是行列式（或写为|D|） 这是矩阵，注意区别

a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3 这是三元线性方程组

D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
代数和
右下斜线为正
左下斜线为负

3阶行列式

偶排列，正号
奇排列，负号

§1.2 逆序数
逆序数
τj1,j2, ⋯,jn
n阶排列，有n!个

n阶排列
判断逆序数的奇偶性
§1.3 n阶行列式的代数和
D=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann=j1,j2, ⋯,jn-1τj1,j2, ⋯,jna1j1a2j2⋯anjn

§1.4 行列式性质
1、行列式转置值不变： DT=D
2、k可以乘上某行(列)： kDrowi
3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： Drow(a+b)=Drow(a)+Drow(b)
4、互换两行(列)：负号 Drowi↔rowk=-D
5、两行相同(成比例)：零值 Drowi=k×rowk=0
6、某行乘以k加到另一行：值不变 Dk×rowi+rowk=D

所在行列的和(同等于逆序数τ)
§1.5 代数余子式
余子式：删去i, j所在的行与列后得到的n-1阶行列式
Aij=(-1)i+jMij
代数余子式

n阶行列式
|D|=ak1Ak1+ak2Ak2+⋯+aknAkn k=1, 2, ⋯, n即展开第k行(列)

表示所有可能的差 i>j
如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)
§1.6 范德蒙行列式
|D|=111⋯1a1a2a3⋯ana12a22a32⋯an2⋯⋯⋯a1n-1a2n-1a3n-1⋯ann-1=1≤j<i≤n(ai-aj)

第二章 线性方程组
§2.1 克莱姆法则
系数行列式 (b在1列)
D1=b1a12a13b2a22a23b3a32a33 D2、D3 类似左边 解集：xi=DiD (D≠0)

该解法适用于n阶
当D≠0时，方程组有唯一解：x1=D1D, x2=D2D, x3=D3D.(D≠0)
只有当常数项b不全为零时，且s=n时才可用克莱姆法则

§2.2 消元法
初等变换：反复对方程进行row变换，最后剩下一个上三角矩阵。
如果线性方程组D≠0，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。

§2.3 数域 　　　 P：包含0、1且任意两个数的基本运算仍属于P。如实数R，有理数Q，复数C

n维基本向量组
§2.4 n维向量
α=(a1, a2, a3, ⋯, an ) (ε1, ε2, ε3, ε4, )=1000010000100001
数量乘积：kα 零向量：0 负向量：-α 行向量与列向量：αrow(column)　

§2.5 线性相关
rank=n，有唯一解
rank<n，有无穷多解
线性组合
β=k1α1+k2α2+⋯+ksαs
由向量组 线性表出

线性相关充要k有解充要可线性表出充要系数矩阵r=增广矩阵r
向量组等价：(α1,α2,⋯,αn)互相线性表出(β1,β2,⋯,βn)

常数项为0的充要条件
k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0
α线性相关
有待更进一步补充
α线性无关
K有解，且不全0
K只有零解
D＝0
D≠0
s<n
s=n时不一定
αi都可被(α1,α2,⋯,αn)线性表出
αi不能被(α1,α2,⋯,αn)线性表出
不可逆，因为分母不能为0
可逆
r<n ，称退化的
r=n 称非退化(或满秩)
特征值λ有重根，不一定相关
特征值λ无重根一定无关

极大线性无关组：每个向量αi都不能被前面某些向量线性表出
例(α1, α2, α3)
不能表出，即α3≠k1α1+k2α2

§2.6 秩
rank=极大线性无关组的向量个数
行秩＝列秩＝行列式秩(D 最高阶子式≠0)

详见书P154-155页 例6
§2.7 求全部解和基础解系的步骤
第一步：求梯阵 增广矩阵A初等变换梯阵
注：如果是求矩阵化和求特征值，只需求基础解系η i，又称特征向量
第二步：求一般解 求x1,x2,⋯,xr的一般解
n-r个
第三步：求特解γ0 设自由x=0，求γ0
第四步：求齐次的一般解 使常数b=0，求一般解x1,x2,⋯,xr
即xr+1,xr+2,⋯,xn-r
εi即n维基本向量组
第五步：求基础解系 将εi代入自由x，求基础解系η1,η2,⋯,ηn-r
第六步：答：得全部解 γ=γ0+k1η1+k2η2+⋯+kn-rηn-r
基础解系
特解
全部解

第三章 矩阵

附1：矩阵名词汇总：

~ 13 ~
方阵： s=n
系数矩阵： s×n
增广矩阵： s×(n+b)
左下：对角线左三角形
梯阵： 左下=0
约化梯阵： 左下0，元首1
三角矩阵： 左下0，s=n
对角线上的元素
对角矩阵： Λ除对角线，余为0
单位矩阵： E，对角1
零矩阵： O，全0
数量矩阵： kE
转置矩阵： AT
分块矩阵： ⋮⋯∙⋯⋮
b即系数
Rank即矩阵的秩
满秩矩阵： rank=n
逆矩阵： A-1
伴随矩阵： A*
等价矩阵： A初等变换B
初等矩阵： E初等变换一次
正交矩阵： AAT=E，A=±1
相似矩阵： A~B, B＝X-1AX
约当形矩阵：
二次形矩阵：详看§5.1
实对称矩阵：实数，对角线对称
λ即特征值
(半)正定矩阵：λ全(≥)>0
(半)负定矩阵：λ全(≤)<0
不定矩阵： λ不全>or<0
标准形矩阵：对角线1 or 0

附2：一般n维线性方程组、s×n维矩阵、n维向量组的表示法

注：bi全为0时，称齐次线性方程组
bi不全为0时，称非齐次线性方程组

fx1,x2,⋯,xn=a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯as1x1+as2x2+⋯+asnxn=bs

注：s为行数，n为列数(未知数个数)
附：有的书行数用m表示
AX=B↔a11a12⋯a1na21a22⋯a2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯as1as2⋯asnx1x2 ⋯xn=b1b2 ⋯bs
注：这个ki既可理解为：基础解系ηi的系数ki
也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素λ1
还可以理解为：二次型λE-A的特征值λ1 (同上句)

附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师或某书中用“α”表示，我认为不错，不易混淆。

β=k1α1+k2α2+⋯+knαn α1=a11,a21,⋯,as1α2=a12,a22,⋯,as2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯αn=a1n,a2n,⋯,asnβ=b1,b2,⋯,bs

§3.1 矩阵运算
各个元素对应相加（减），即aij±bij

1、加(减)法： A±B
性质：
交换律：A±B=B±A
结合律：A+B+C=(A+B)+C

cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj
2、乘法：
例：AB=1232-11024 21-1 021 10-2=55-550-544-1
2 0 1
× × ×
+ +
＝ 5
C=A×B
注：A的|row|=B的|column|

性质：
AB不一定=BA （当AB=BA，称可交换）
AE=EA=A
结合律：ABC=ABC
k次幂：Ak∙Al=Ak+l (Ak)l=Akl
非交换律：(AB)k≠AkBk

详见书P183页 AB
§3.2 分块 分块后矩阵的基本运算依然等价
A∙B=A1A2A3A4B1B2B3B4=A1B1+A2B3A1B2+A2B4A3B1+A4B3A3B2+A4B4

§3.3 逆矩阵
1、求aij的代数余子式Aij
2、对应的元素要转置
伴随矩阵：A*=A11A21⋯An1A12A22⋯An2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann

求逆公式：A-1=1|A|A*

§3.4 等价矩阵
等价矩阵：A初等变换B
初等矩阵：由E做1次初等变换
标准形：同时做行、列变换，对角线为1的个数＝r
附：这是一个求逆的简便方法，但易出错，3阶矩阵建议用求逆公式。
用单位矩阵求逆：[AE]行变换[EA-1]

例： 1212220121222012-1202212-12022
§3.5 正交矩阵
性质: AAT=ATA=E |D|=±1
又称正交向量组，
α,β一定线性无关
向量组的内积
内积公式
α,β=a1b1+a2b2+⋯+anbn=0
任意两行或列的内积必为0

分配律：α+β∙γ=α,γ+β,γ
结合律：α,βγ=α(β,γ)
交换律：αβ=βα
内积性质：

详见书P219页 例1

α1,α2,⋯,αn线性无关，求正交化的β1,β2,⋯,αn的公式
正交化：

β1=α1
β2=α2-α2,β1β1,β1β1
β3=α3-α2,β1β1,β1β1-α3,β2β2,β2β2
（s=r)

βs=αs-α2,β1β1,β1β1-α3,β2β2,β2β2-⋯-αs,βs-1βs-1,βs-1βs-1

附：由于向量通常是指列向量，如把βs改βn更易理解，谨记！
施密特正交化方法

（又称归一化）
正交向量组
单位化：
注：|βi|=β1,β1
这里我设ηi=(h1i,h2i,⋯,hsi)，数学中并没有明确规定符号
ηi=βi|βi|
β3
β2
α1=β1

α2
c3
c2
α3
0
c32
c31
正交单位向量组

附：正交化向量
关系图
第四章 矩阵的对角化
§4.1 相似矩阵
B=X-1AX
A~B
1、反身性：A~A
2、对称性：A~B→B~A
β2=α2-c2，且有矩形0β2α2c2
β3=α3-c3，且有矩形0β3α3c3
3、传递性：A~B, B~C→A~C
4、行列式等值：A=|B|
11、有相同的特征多项式
12、有相同的特征值
13、有相同的迹（即对角线元素个数）
5、同时可逆or不可逆
6、B1+B2=X-1(A1+A2)X
7、B1B2=X-1(A1A2)X
8、kB1=X-1(kA1)X
9、f(B)=X-1f(A)X
10、kE=X-1(kE)X

对角矩阵： a1, a2, a3, ⋯, an
注：这里的Ai是指分块矩阵，不是代数余子式
准对角矩阵： A1, A2, A3, ⋯, An
§4.2 特征值和特征向量
特征向量
n 阶矩阵
Aα=λ0α
特征值

详见书P257页 例1
详见书P241页 例1
求全部特征向量的步骤：
第一步：列出特证多项式
特证值(根)
特征矩阵
特征多项式
di是系数
fλ=λE-A= λ-a11a12⋯-a1n-a21λ-a22⋯-a2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯-an1-an2⋯λ-ann=(λ1-d1)(λ2-d2)⋯(λ3-dn)

第二步：求λ的解 注：考虑是在Q、R、C数域范围内，特征根的个数不同

第三步：求基础解系 将λi代入λE-A，求基础解系 见§2.7第五步
即

属于λ1的特证向量：k1α1+k2α2+⋯
属于λ2的特证向量：l1β1+l2β2+⋯
等价于基础解系，只是表示方法略不同
第四步：答：得特征向量

任何实对称矩阵都可以对角化
A与对角矩阵相似，称A对角化
§4.3 对角化条件
注：X，即A的特征向量构成的矩阵，X不是唯一的。

条件

充要：有n个线性无关的特征向量，即n个不同的特特征值
X即A的特征向量构成的矩阵
一定是对角形矩阵
AB=X-1AXB
充要：有n个线性无关的特征向量

§4.4 实对称矩的对角化

求正交矩阵T的步骤

第一步：求特征值 即λE-A，求λ 见§4.2

第二步：求λ1的特征向量 λ1代λE-A，求基础解系α1 见§2.7第五步

第三步：求特征向量α1的正交化β1,β2,⋯,βn 见§3.5

第四步：求单位化η1,η2,⋯,ηn 见§3.5

第五步：重复第二、三、四步，with λ2,λ3,⋯,λn

注：有时候会有重复个相同的特征值的特征向量
第六步：得正交矩阵T=η1η2⋯ηn=h11h12⋯h1nh21h22⋯h2n⋯⋯⋯⋯hn1hn2⋯hnn

第五章 二次型
§5.1 二次型及矩阵表示
设aij=aji，得 （注：系数是左等式的一半）
二次齐次多项式

fx1,x2,⋯,xn=a11x12+2a12x1x2+⋯+2a1nx1xn
+a22x22+⋯+2a2nx2xn
+⋯⋯⋯⋯⋯⋯
+annxn2
= a11x12+a12x1x2+⋯+a1nx1xn
+a21x2x1+a22x22+⋯+a2nx2xn
+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
+an1xnx1+an2xnx2+⋯+annxn2
=i=1nj=1naijxixj

=XTAX=x1, x2, ⋯, xn a11a12⋯a1na21a22⋯a2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1an2⋯annx1x2 ⋯xn
这A是二次型矩阵，且一定是对称矩阵

合同矩阵： A≃B 即B=CTAC
性质：
1、反身性：A≃A
2、对称性：A≃B→B≃A
3、传递性：A≃B, B≃C→A≃C
4、B=C2A

注：合同的不一定相似
详见书P275-277页 例1
§5.2 正交替换化为标准形步骤

第一步：化为二次形矩阵 将二次齐次多项式写成二次形矩阵

第二步：求特征值λ1 求λE-A的特征值λ1 见§4.2

第三步：求基础解系 λ1代入λE-A求基础解系 见§2.7

第四步：求正交化和单位化 见§3.5

第五步：重复三、四步，with λ2, λ3,⋯,λn

第六步：将全部单位化向量表示为正交矩阵T

注：数学中没有明确规定单位化向量中元素的符号，如将aij改hij将便于与§4.2理解
第七步：答：得X=TY→x1=a11y1+a12y2+⋯+a1nynx2=a21y1+a22y2+⋯+a2nyn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯xn=an1y1+an2y2+⋯+annyn

这是标准形，是平方和形式
第八步：答：得标准形：λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2

详见书P278页整节
§5.3 非退化线性为标准形（略）
方法：先做列变换，后做对称的行变换（先列后先，这称一个变换周期），直到使A为对角矩阵，则T即使X=TY
注意：用非退化线性求出来的矩阵与原矩阵是合同关系，非相似！！！
AE→ΛT
方法：方法同上，但是先行后列，且最后得到的T要转置
A|E→Λ|T
§5.4 规范形

一定是对角矩阵，且不是唯一的，原二次型r=对角非零元素个数
任意二次型都可替换为标准形
一定是对角矩阵，是唯一的，原二次型r=对角非零元素个数
任意二次型都可替换为规范形

注：规范形由zi=λiyi得来，去掉0元素
这是规范形，是平方和形式
z12+z22+⋯+zp2-zp+12-⋯-zr2
负惯性指数：即r-p
正惯性指数：即p

符号差：即两个相减，正惯性指数－负惯性指数

§5.5 正定二次型

充要条件：
1、其标准形的系数 λi>0
2、其规范形的正惯性指数 p=r
3、有可逆矩阵C，使二次型 A=CTC
4、二次型的特征值 λi>0 注：这和第1点是同一个概念
5、所有的主子式 |M|>0 注： 有的书称为顺序主子式，即从a11→aii所构成的行列式值

正定矩阵：即 λi>0 所有的主子式|M|>0
负定矩阵：即 λi<0 所有的奇阶主子式|M|<0且偶阶主子式|M|>0
半正定矩阵：即 λi≥0
半负定矩阵：即 λi≤0
不定矩阵：即 λi>or<0

第八章 线性空间
α,β,γ,δ∈V k,l∈P
称V为数域P上的线性空间
§8.1 定义与性质
线性空间条件 α⨁β=γ δ=k∘α
性质：
1、交换律：α⨁β=β⨁α 5、壹　律： 1∘α=α
2、结合律：(α⨁β)⨁γ=α⨁(β⨁γ) 6、结合律： kl∘α=(kl)∘α
3、零　律：α⨁Ο=α 注：Ο元素不一定是0 7、向量分配律： k+l∘α=k∘α⨁l∘α
4、负　律：α⨁β=Ο 注：β即-α 8、数量分配律： k∘α⨁β=k∘α⨁k∘β
注：”⨁”即向量加法，”∘”即向量乘法，但这只是为了区别通常加(乘)法，所以有时用普通符号”+”, ”×” ,”∙”表示也可以的。

性质推广：
1、α⨁β⨁…⨁η，其加法不计先后
2、Ο是唯一的
3、-α由α唯一确定
4、α⨁β=α⨁γ 则 β=γ
5、k=0 或 α=Ο 时，充要 kα=Ο
6、(-k)α=-kα

求V是否为线性空间的方法：
1、根据题目给定的向量加法和数乘的定义
2、证明在该定义下V都符合以上8个性质
△这个证明需要多做题练习掌握

系数
§8.2 向量组的线性关系
重述一些符号定义：
0、a, b, c,…表元素
1、k, l, m,…表系数
2、α, β, γ,…表向量
3、x, y, x,…表未知数
4、下标1, 2, 3,…表第几个数
5、下标i, j ,k, ,…表任一个数
6、下标s, m ,n,…表总个数
αi∈V
ki∈P

线性组合
β=k1α1+k2α2+⋯+ksαs
由α1,α2,…,αn 线性表出

性质： （即总结上册所有知识）
1、任一αi都可由α1,α2,…,αs线性表出，则线性相关
2、ki不全为0，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立，线性相关；反之ki为0时等式才成立，线性无关
3、向量组有 Ο 零向量，则线性相关
4、部分向量组线性相关，则向量组也线性相关
5、至少有一α1可由其余向量线性表出，则线性相关 （注意区分第1点）
6、α1,α2,…,αs线性无关，但 β 可由其线性表出，则α1,α2,…,αs,β 线性相关
7、D=0，则线性相关；D≠0，则线性无关
8、α1,α2,…,αs 互相线性表出 β1,β2,…,βs，称等价的
9、α1,α2,…,αs可由β1,β2,…,βt线性表出，且s>t，则α1,α2,…,αs线性相关
如果α1,α2,…,αs是线性无关，那么s≤t
10、在α1,α2,…,αs中，部分向量组线性无关，但添加其余向量后线性相关，称极大线性无关组
11、α1,α2,…,αs都可由部分向量组(线性无关)线性表出，后者称极大线性无关组
12、β1,β2,…,βs中，每个βi不能被β1,β2,…,βi-1(即βi前面向量组)线性表出，线性无关(βi≠0且i≥2)
13、向量组中，任一极大线性无关组等价原向量组等价另一个极大线性无关组
14、线性无关组，其秩 r=s
15、α1,α2,…,αs可由β1,β2,…,βt线性表出，则秩r(α)≤r(β)相等；
向量组等价，则秩r相等；
秩r相等且αi可由β1,β2,…,βt线性表出，则向量组等价。

§8.3 维数、基、坐标
注：此定义雷似极大线性无关组
n维线性空间：V中有n个向量线性无关，但当n+1个向量时线性相关
无限维线性空间：V中有任意多个线性无关的向量
零空间：维数 n=0
V是n维的条件：V中任意向量都可由α1,α2,…,αn线性表出
附加说明：对于这种常见的线性表出，已出现多次，它们的性质意义是一样的，只是叫法不同，应该提升到一个规律性的认识。
坐标

α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn
基
V的任意向量

换个字母
为书写简便，定义符号：（自创, 考试勿用）
x⋮ 表示x1 x2 ⋮xn ，x⋯ 表示x1 x2 ⋯xn
矩阵表示
ξ=ε⋯ x⋮ =ε⋯ 'x⋮ '

V中任意向量
基
坐标
另组基
另组坐标

§8.4 基变换与坐标变换
基变换存在如下关系：
过滤矩阵T
另组基
基
ε1 '=a11ε1+a21ε2+⋯+an1εnε2 '=a12ε1+a22ε2+⋯+an2εn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯εn '=a1nε1+a2nε2+⋯+annεn 矩阵表示 ε1 'ε2 'ε3 '=ε1 ε2 ε3 a11a12⋯a1na21a22⋯a2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯as1as2⋯asn

ε⋯ =ε⋯ 'T-1
推出
基变换公式
简写
称由基ε1 ε2 ε3 到另一组基ε1 'ε2 'ε3 '的过渡矩阵T
ε⋯ '=ε⋯ T

详见书P163-165例2
坐标变换存在如下关系：x⋮ '=T-1x⋮
推出
x⋮ =Tx⋮ '

坐标变换公式

△注意不是x⋮ 'T，不满足交换律
另组坐标
过渡矩阵
坐标

性质总结：
1、α⋯ =ε⋯ T ，则 ε⋯ =α⋯ T-1
2、α⋯ =ε⋯ A 且 β⋯ =α⋯ B ，则 β⋯ =ε⋯ AB
详见书P163-165例2
3、α⋯ =ε⋯ A 且 β⋯ =ε⋯ B ，由ε⋯ =α⋯ A-1 ，得 β⋯ =α⋯ A-1B

第九章 线性变换
Tα+β=Tα+Tβ
§9.1 定义与性质
证明等式左边=右边，
则称等式是一个线性变换

Tkα=kTα
线性变换
加法
向量
系数
数乘
(α, β∈V , k∈P)

推广：
当k=1,恒等变换; k=0,零变换

Eα=α 恒等变换 α→kα 数乘变换，记作kE
α(x,y)
α'(x',y')
θ
x
x'=xcosθ-ysinθ
y'=
xsinθ+ycosθ
y
0
x
y
Oα=O 零变换
(以原点旋转θ度,如图)

Tθα=cosθ-sinθsinθcosθxy=x'y' 二维坐标变换
Dfx=f''''''''''''''''x 求导数变换
AX=AX 矩阵变换

§9.2 运算
1、A+Bα=Aα+Bα
2、A+Bα+β=Aα+β+Bα+β=A+Bα+A+Bβ
3、A+Bkα=Akα+Bkα=k[A+Bα]
§9.3 线性变换的矩阵
Tx1,x2,…,xn=(f1,f2,…,fn) 线性变换表示公式，例：Tx1,x2,x3=(x1,2x2,x1+x3)
注意转置
Tε1=a11ε1+a21ε2+⋯+an1εnTε2=a12ε1+a22ε2+⋯+an1εn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯Tεn=a1nε1+a2nε2+⋯+annεn 矩阵表示 Tε1Tε2Tεn=ε1 ε2 ε3 a11a12⋯a1na21a22⋯a2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1as2⋯ann
称T在基ε1,ε2,…,εn下的矩阵A

注：写成Tε⋮ =ATε⋮ 也可以
T在基下的矩阵A
基

线性变换

简写 Tε⋯ =Tε⋯ =ε⋯ A
这是老师的写法
线变的表示矩阵

例：
Tε1 Tε2 Tε3
ε1 ε2 ε3
ε1 ε2 ε3

T111110100=3-30-3-31333=111110001333-6-6-2651

T在基下的矩阵A
(同时也是过渡矩阵)
基

T的矩阵表示
(同时也是另一组基)
线性变换Tε1,ε2,ε3
=2ε2+ε3,ε1-4ε2,ε1

推广 A =ε⋯ -1Tε⋯

高等代数的意义：

1) 打好基础 增进素质 高等代数的基础理论和方法，不仅是学习代数后继课程的基础，而且也是学习微分方程，计算数学，数学模型，泛函分析，微分几何，微分流形，一般拓扑，概率统计，线性规划等基础数学、计算数学、应用数学、随机数学诸课程的基础．因此，理解高等代数的思想，掌握其基础理论和方法，在学习中加强辩证思维、抽象思维和逻辑推理的训练，大家不仅能够打好基础，而且还能增进自身的数学素质，使自己在将来成为一个名符其实的数学工作者．

2) 联系中数 服务未来 高等代数与中学数学的联系使得它的一些内容对中学数学教学有居高临下的指导作用，中学数学中的某些原型对于克服代数概念抽象、证题难以入手等难点有时也颇有价值，在学习中要注意加强这方面的联系，这对于大部分的同学将来从事中学数学教学工作是十分有益的．

3) 起飞平台 开拓发展 《人人关心数学教育的未来》中有这么一句话：“大学数学为许多领域的专业提供坚实的起飞平台．”在21世纪，大学数学不再是纯粹为培养未来数学家而设立的专业，更主要的是为培养各级各类数学教师和高层次人才打基础的．掌握大学数学的人，将在计算机、自动控制、系统规划、现代经济管理等诸多领域发挥积极作用，随着知识产业化的进程，高等代数的知识，数学的理论和方法将越来越显示出强大的经济效用和社会效益．

4) 美化心灵 和谐文明 数学是美的，作为数学各专业基础课的高等代数也是美的，在教学中同学们将感受到简洁、清晰、对称、奇异的代数“画面”，享受学习进程中的快乐．为此，重视标准形等的运用和学习引导，可以加强数学美的效果．数学的美是心灵深处的美，它对于培养人们美的情操，开发个人智能，构建现代和谐文明都将发挥积极的作用．

总之，学习高等代数有着深刻的基础、应用、素质意义和价值。