《高等代数》：学习笔记.doc

高等代数(上)：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。第一章 行列式1.1 定义D=2314=24-31=5 A=23142314这是行列式（或写为|D|） 这是矩阵，注意区别a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3这是三元线性方程组D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31代数和右下斜线为正左下斜线为负3阶行列式偶排列，正号奇排列，负号1.2 逆序数逆序数 j1,j2, ,jnn阶排列，有n!个n阶排列判断逆序数的奇偶性1.3 n阶行列式的代数和D=a11a12a1na21a22a2n an1an2ann=j1,j2, ,jn-1j1,j2, ,jna1j1a2j2anjn1.4 行列式性质1、行列式转置值不变：DT=D2、k可以乘上某行(列)：kDrowi3、加法：某行之和 展开为两行列式之和：Drow(a+b)=Drow(a)+Drow(b)4、互换两行(列)：负号Drowirowk=-D5、两行相同(成比例)：零值 Drowi=krowk=06、某行乘以k加到另一行：值不变 Dkrowi+rowk=D所在行列的和(同等于逆序数)1.5 代数余子式余子式：删去i, j所在的行与列后得到的n-1阶行列式 Aij=(-1)i+jMij代数余子式n阶行列式 |D|=ak1Ak1+ak2Ak2+aknAkn k=1, 2, , n即展开第k行(列)表示所有可能的差 ij如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)1.6 范德蒙行列式|D|=1111a1a2a3ana12a22a32an2a1n-1a2n-1a3n-1ann-1=1jin(ai-aj)第二章 线性方程组2.1 克莱姆法则系数行列式 (b在1列)D1=b1a12a13b2a22a23b3a32a33 D2、D3 类似左边 解集：xi=DiD (D0)该解法适用于n阶当D0时，方程组有唯一解：x1=D1D, x2=D2D, x3=D3D.(D0)只有当常数项b不全为零时，且s=n时才可用克莱姆法则2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row变换，最后剩下一个上三角矩阵。如果线性方程组D0，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。2.3 数域 P：包含0、1且任意两个数的基本运算仍属于P。如实数R，有理数Q，复数Cn维基本向量组2.4 n维向量 =(a1, a2, a3, , an ) (1, 2, 3, 4, )=1000010000100001数量乘积：k零向量：0负向量：-行向量与列向量：row(column)2.5 线性相关rank=n，有唯一解rankn，有无穷多解线性组合 =k11+k22+kss由向量组 线性表出线性相关充要k有解充要可线性表出充要系数矩阵r=增广矩阵r向量组等价：(1,2,n)互相线性表出(1,2,n)常数项为0的充要条件 k11+k22+kss=0线性相关有待更进一步补充线性无关K有解，且不全0K只有零解D0 D0 sns=n时不一定i都可被(1,2,n)线性表出i不能被(1,2,n)线性表出不可逆，因为分母不能为0可逆r0(半)负定矩阵：全()or02、其规范形的正惯性指数p=r3、有可逆矩阵C，使二次型A=CTC4、二次型的特征值 i0 注：这和第1点是同一个概念5、所有的主子式 |M|0 注： 有的书称为顺序主子式，即从a11aii所构成的行列式值正定矩阵：即i0所有的主子式|M|0负定矩阵：即i0所有的奇阶主子式|M|0半正定矩阵：即i0半负定矩阵：即i0不定矩阵：即iort，则1,2,s线性相关如果1,2,s是线性无关，那么st10、在1,2,s中，部分向量组线性无关，但添加其余向量后线性相关，称极大线性无关组11、1,2,s都可由部分向量组(线性无关)线性表出，后者称极大线性无关组12、1,2,s中，每个i不能被1,2,i-1(即i前面向量组)线性表出，线性无关(i0且i2)13、向量组中，任一极大线性无关组等价原向量组等价另一个极大线性无关组14、线性无关组，其秩 r=s15、1,2,s可由1,2,t线性表出，则秩r()r()相等；向量组等价，则秩r相等；秩r相等且i可由1,2,t线性表出，则向量组等价。8.3 维数、基、坐标注：此定义雷似极大线性无关组n维线性空间：V中有n个向量线性无关，但当n+1个向量时线性相关无限维线性空间：V中有任意多个线性无关的向量零空间：维数 n=0V是n维的条件：V中任意向量都可由1,2,n线性表出附加说明：对于这种常见的线性表出，已出现多次，它们的性质意义是一样的，只是叫法不同，应该提升到一个规律性的认识。坐标 =a11+a22+ann基V的任意向量换个字母 为书写简便，定义符号：（自创, 考试勿用）x 表示x1 x2 xn ，x 表示x1 x2 xn 矩阵表示 = x = x V中任意向量基坐标另组基另组坐标8.4 基变换与坐标变换基变换存在如下关系：过滤矩阵T另组基基1 =a111+a212+an1n2 =a121+a222+an2nn =a1n1+a2n2+annn 矩阵表示 1 2 3 =1 2 3 a11a12a1na21a22a2n as1as2asn = T-1推出 基变换公式简写 称由基1 2 3 到另一组基1 2 3 的过渡矩阵T = T 详见书P163-165例2坐标变换存在如下关系：x =T-1x 推出 x =Tx 坐标变换公式注意不是x T，不满足交换律另组坐标过渡矩阵坐标性质总结：1、 = T ，则 = T-12、 = A 且 = B ，则 = AB详见书P163-165例23、 = A 且 = B ，由 = A-1 ，得 = A-1B第九章 线性变换T+=T+T9.1 定义与性质证明等式左边=右边，则称等式是一个线性变换Tk=kT线性变换加法向量系数数乘(, V , kP)推广：当k=1,恒等变换; k=0,零变换E= 恒等变换k 数乘变换，记作kE(x,y)(x,y)xx=xcos-ysiny=xsin+ycosy0xyO=O 零变换(以原点旋转度,如图)T=cos-sinsincosxy=xy二维坐标变换Dfx=fx 求导数变换AX=AX 矩阵变换9.2 运算1、A+B=A+B2、A+B+=A+B+=A+B+A+B3、A+Bk=Ak+Bk=kA+B9.3 线性变换的矩阵Tx1,x2,xn=(f1,f2,fn) 线性变换表示公式，例：Tx1,x2,x3=(x1,2x2,x1+x3)注意转置T1=a111+a212+an1nT2=a121+a222+an1nTn=a1n1+a2n2+annn 矩阵表示 T1T2Tn=1 2 3 a11a12a1na21a22a2n an1as2ann称T在基1,2,n下的矩阵A注：写成T =AT 也可以T在基下的矩阵A基线性变换 简写 T =T = A这是老师的写法线变的表示矩阵例：T1 T2 T31 2 31 2 3T111110100=3-30-3-31333=111110001333-6-6-2651T在基下的矩阵A(同时也是过渡矩阵)基T的矩阵表示(同时也是另一组基)线性变换T1,2,3=22+3,1-42,1 推广 A = -1T 高等代数的意义：1) 打好基础 增进素质 高等代数的基础理论和方法，不仅是学习代数后继课程的基础，而且也是学习微分方程，计算数学，数学模型，泛函分析，微分几何，微分流形，一般拓扑，概率统计，线性规划等基础数学、计算数学、应用数学、随机数学诸课程的基础因此，理解高等代数的思想，掌握其基础理论和方法，在学习中加强辩证思维、抽象思维和逻辑推理的训练，大家不仅能够打好基础，而且还能增进自身的数学素质，使自己在将来成为一个名符其实的数学工作者2) 联系中数 服务未来 高等代数与中学数学的联系使得它的一些内容对中学数学教学有居高临下的指导作用，中学数学中的某些原型对于克服代数概念抽象、证题难以入手等难点有时也颇有价值，在学习中要注意加强这方面的联系，这对于大部分的同学将来从事中学数学教学工作是十分有益的3) 起飞平台 开拓发展 人人关心数学教育的未来中有这么一句话：“大学数学为许多领域的专业提供坚实的起飞平台”在21世纪，大学数学不再是纯粹为培养未来数学家而设立的专业，更主要的是为培养各级各类数学教师和高层次人才打基础的掌握大学数学的人，将在计算机、自动控制、系统规划、现代经济管理等诸多领域发挥积极作用，随着知识产业化的进程，高等代数的知识，数学的理论和方法将越来越显示出强大的经济效用和社会效益4) 美化心灵 和谐文明 数学是美的，作为数学各专业基础课的高等代数也是美的，在教学中同学们将感受到简洁、清晰、对称、奇异的代数“画面”，享受学习进程中的快乐为此，重视标准形等的运用和学习引导，可以加强数学美的效果数学的美是心灵深处的美，它对于培养人们美的情操，开发个人智能，构建现代和谐文明都将发挥积极的作用 总之，学习高等代数有着深刻的基础、应用、素质意义和价值。