数列求和7种方法(方法全-例子多).doc

(完整word)数列求和7种方法(方法全_例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）

一、总论：数列求和7种方法:
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、 4、
5、
[例1］ 已知，求的前n项和。
解：由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝＝＝1－

［例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*，求的最大值。
解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式)
∴ ＝
＝＝
∴ 当 ，即n＝8时,

二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列｛an·　bn｝的前n项和,其中{ an ｝、{ bn ｝分别是等差数列和等比数列.
［例3］ 求和：………………………①
解:由题可知，｛｝的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列｛｝的通项之积
设………………………。 ② (设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得:
∴
[例4] 求数列前n项的和。
解：由题可知，｛｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………② （设制错位)
①－②得 (错位相减）

∴
练习题1 已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
答案：
练习题 的前n项和为____
答案：

三、逆序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加,就可以得到n个.
[例5] 求证：
证明： 设…………………………。。 ①
把①式右边倒转过来得
（反序)
又由可得
…………..…….. ②
①+②得 （反序相加）
∴
题1 已知函数
（1）证明：；
（2)求的值。
解：（1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边
(2）利用第（1)小题已经证明的结论可知，

两式相加得：
所以。

四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列,也不是等比数列，若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。
[例7] 求数列的前n项和：,…
解:设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝ (分组求和)
当时，＝
［例8] 求数列{n（n+1)(2n+1）}的前n项和.
解:设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝ （分组)
＝
＝ （分组求和)
＝

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项,最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）如：
（1) （2)
(3） (4）
（5）
（6)
(7）
（8）
[例9］ 求数列的前n项和。
解：设 （裂项）
则 (裂项求和）
＝
＝
[例10] 在数列{an｝中，，又,求数列｛bn｝的前n项的和。
解: 　 ∵
　 ∴ (裂项）
∴ 数列{bn｝的前n项和
（裂项求和）
＝ ＝
（2009年广东文）20。（本小题满分14分)
已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足－=+（n2）。
（1）求数列和的通项公式;
（2）若数列｛前n项和为，问〉的最小正整数n是多少？
0.【解析】（1）,
,,
。
又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；

又,, ；
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当， ；
();
（2）
；
由得,满足的最小正整数为112.

练习题1.
.
练习题2。 =
答案：

求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
［练习]数列满足，求
注意到，代入得；又，∴是等比数列，
时,
（2）叠乘法
如：数列中，，求
解 ，∴又，∴.
（3)等差型递推公式
由，求，用迭加法
时，两边相加得
∴
[练习]数列中，，求（）
已知数列满足，,求。
解:由条件知:
分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以
，

（4）等比型递推公式
（为常数，）
可转化为等比数列，设
令,∴，∴是首项为为公比的等比数列
∴，∴
（5）倒数法
如:，求
由已知得:，∴
∴为等差数列，，公差为，∴，
∴

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