2018中考复习-特殊三角形练习题.doc

(完整版)2018中考复习-特殊三角形练习题
1、（2017大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D,点E是AB的中点，CD=DE=a,则AB的长为(　　）

A．2a B．2a C．3a D．
解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，
∴CE=a,
∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点,
∴AB=2CE=2a，
故选B．

2、(2016枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）

A．15° B．17。5° C．20° D．22.5°
解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC,
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A,
∵∠1=∠3+∠D,
∴∠D=∠A=×30°=15°． 故选A．

3、(2016杭州)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形,若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　）
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
解：如图，
m2+m2=(n﹣m)2，
2m2=n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2=0．
故选：C．

4、（2017天津）如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）

A． B． C. D．
解：在中，,AD是的中线，可得点B和点C关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长,故选B。

5、（2017滨州）如图,在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为
A．40° B．36° C．80° D．25°
A
B
C
D

答案:B；解：设∠C＝x°,由于DA＝DC，可得∠DAC＝∠C＝x°，由AB＝AC可得∠B＝∠C＝x°．∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x°，由于BD＝BA，所以∠BAD＝∠ADB＝2x°，根据三角形内角和定理，得x°＋x°＋3x°＝180°，解得x＝36°．所以∠B＝36°．【来源：21·世纪·教
6、若等腰三角形的两边为3和7,则该等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
答案:C；解：因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：
当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17;
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去。
∴等腰三角形的周长为17.
7、（2017南充）如图，等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为(　　）

A．（1，1) B．（，1） C．（，） D．（1，)
解：如图所示,过B作BC⊥AO于C，则
∵△AOB是等边三角形，
∴OC=AO=1,
∴Rt△BOC中,BC==,
∴B(1，），
故选:D．

8、(2017海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
解：如图所示:

当AC=CD，AB=BG,AF=CF，AE=BE时,都能得到符合题意的等腰三角形．
故选B．

9、已知：如图,在△ABC中,D为BC的中点，AD⊥BC,E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25

解：∵D为BC的中点，AD⊥BC,
∴EB=EC,AB=AC
∴∠EBD=∠ECD，∠ABC=∠ACD．
又∵∠ABC=60°，∠ECD=40°,
∴∠ABE=60°—400=200，
故选:C．

10、（2017毕节)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点,且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E,则BE的长为（ )
A。 6 B。 4 C. 7 D。 12

解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，
∴CD=AB=4.5．
∵CF=CD，
∴DF=CD=×4。5=3．
∵BE∥DC，
∴DF是△ABE的中位线，
∴BE=2DF=6．
故选A．

11、(2017黄石）如图,△ABC中,E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1,DE=，则∠CDE+∠ACD=（　　）

A．60° B．75° C．90° D．105°
解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，
∴BC=2CE=，
∵AB=2,AC=1，
∴AC2+BC2=12+（）2=4=22=AB2,
∴∠ACB=90°，
∵tan∠A=，
∴∠A=60°,
∴∠ACD=∠B=30°，
∴∠DCE=60°，
∵DE=CE，
∴∠CDE=60°,
∴∠CDE+∠ACD=90°，
故选C．

12、（2017江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=　 　度．

解：∵OA=OB，∠AOB=30°,
∴∠A==75°,
故答案为:75．
13、（2017湘潭)如图，在中,,平分交于点，垂直平分，垂足为点，请任意写出一组相等的线段 ．

【答案】BC=BE或DC=DE
试题分析:利用角平分线性质定理，知BC=BE；利用∽，得DC=DE

14、(2017淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D,E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=　 　．

解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4,
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=2．
故答案为2

15、(2017常德）如图,已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是　 　．
解：当点D与点E重合时,CD=0，
当点D与点A重合时，
∵∠A=90°,∠B=60°，
∴∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，
∴CE=CD,CD=CB，
∴CD=BE=5，
∴0<CD≤5，
故答案为：0<CD≤5．

16、（2015黄冈)在△ ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm,则△ABC 的面积为__________cm2.
解:当∠B 为锐角时（如图 1）,
在Rt△ABD 中，
BD= =5cm ,
在Rt△ADC 中，
CD= =16cm ，
∴BC=21 ，
∴S△ ABC= = ×21×12=126cm ;
当∠B 为钝角时（如图2 ）,
在Rt△ABD 中，
BD==5cm ，
在Rt△ADC 中，
CD= =16cm ,
∴BC=CD ﹣BD=16 ﹣5=11cm，
∴S△ ABC= = ×11×12=66cm ，
故答案为：126 或66 ．

17、（2017岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　 　．
解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根,
∴△=16﹣4b=0，
∴AC=b=4,
∵BC=2，AB=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长=AC=2;
故答案为：2．

18、(2017北京)如图,在中，，平分交于点。 求证：.
解:∵AB=AC， ∠A=36°
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A)= ×（180°-36°)=72°,
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=×72°=36°，
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，
∴∠C=∠BDC, ∠A=AB
∴AD=BD=BC.

19、(2017恩施）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．

解:∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，,
∴△ACD≌△BCE(SAS）,
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠APO=∠BPC，
∴∠AOP=∠BCP=60°,即∠AOB=60°．

20、（2016荆门）已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ )
A．7 B．10 C．11 D．10或11

把x=3代入方程得9—3（m+1）+2m=0，解得m=6,
则原方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4,
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时,则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：D．

21、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D,且AD=BC,则△ABC底角的度数为（ ）
A．45°或75° B．75° C．45°或15°或75° D．60°

①如图1,点A是顶点时，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，
∵AD=BC, ∴AD=BD=CD，
在Rt△ABD中,∠B=∠BAD=（180°—90°）=45°；
②如图2，点A是底角顶点,且AD在△ABC外部时,
∵AD=BC，AC=BC，
∴AD=AC，
∴∠ACD=30°,
∴∠BAC=∠ABC=×30°=15°；
③如图3,点A是底角顶点,且AD在△ABC内部时，
∵AD=BC，AC=BC，
∴AD=AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=∠ABC=（180°-30°)=75°;
综上所述，△ABC底角的度数为45°或15°或75°．故选C．

22、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，3）,B（0，5），若在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的点C有(　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

解法1：由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
故选D．
解法2：

解：当AC=CB时,
作AB的垂直平分线,交x轴于C1，交y轴于点C2
当AB=AC时，
以点A为圆心,AB为半径作圆A，交y轴于C3，交x轴于C4、C5,
当AB=BC时,
以点B为圆心，AB为半径作圆B，交y轴于点C6、C7
故选（D）

23、（2017河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（　　）
A．3 B．4 C．8 D．9
解：设AD=x，
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F,FG⊥AB,
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，
∴AF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴BE=12﹣CE=4x﹣12，
∴BD=2BE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴x+8x﹣24=12，
∴x=4，∴AD=4． 故选B．

24、(2017益阳）如图,在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 36°，DE是线段AC的
垂直平分线，若BE=，AE=，则用含、的代数式表示△ABC的周长
为 ．
解：∵AB=AC,BE=a，AE=b，
∴AC=AB=a+b,
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=b，
∴∠ECA=∠BAC=36°，
∵∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,
∴∠BCE=∠ACB—∠ECA=36°,
∴∠BEC=180°-∠ABC—∠ECB=72°,∴CE=BC=b，
∴△ABC的周长为:AB+AC+BC=2a+3b
故答案为：2a+3b．

25、在边长为2的正方形ABCD外以CD为边作等腰直角△CDE,连接BE,则BE= 。

解:作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a,
∵△CDE为等腰直角三角形,
∴CD=CE=a=2,
∴CE=
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD=2，∠BCD=90°，∠DCE=45°,
∴∠ECF=45°，
∴CF=EF=1
在Rt△EBF中，

∴BCE=

26、在△ABC中,∠ABC=60°，AB=8,AC=7，EF为AB垂直平分线，垂足为E，交直线BC于F，则CF的长为 。
解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AC=AC′=7，AD⊥BC于D，
∴C′D=CD．
∵EF为AB垂直平分线,
∴AE=BE=AB=4,EF⊥AB，
∵∠ABC=60°，
∴∠BFE=90°-60°=30°，
∴BF=2BE=8．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠ABD=60°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=AB=4，AD=BD=4，
∴DF=BF-BD=8—4=4．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴CD=，
∴C′D=CD=1,
∴CF=CD+DF=1+4=5或C′F=DF-C′D=4-1=3．
故答案为5或3．

27、（2017武汉）如图，在△ABC中,AB=AC=2，∠BAC=120°,点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE,则DE的长为　 　．

解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M,过点A作AN⊥BC于点N,如图所示．
∵AB=AC=2,∠BAC=120°，
∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．
在Rt△BAN中,∠B=30°，AB=2,
∴AN=AB=，BN==3，
∴BC=6．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠CAE=60°,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（SAS)，
∴DE=FE．
∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°,
∴设CE=2x,则CM=x，EM=x，FM=4x﹣x=3x，EF=ED=6﹣6x．
在Rt△EFM中，FE=6﹣6x,FM=3x，EM=x,
∴EF2=FM2+EM2,即（6﹣6x）2=（3x）2+（x）2,
解得：x1=，x2=(不合题意,舍去）,
∴DE=6﹣6x=3﹣3．
故答案为：3﹣3．

28、(2017威海）如图,△ABC为等边三角形,AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为　 　．

解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2,
∵∠PAB=∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP=60°，
∴∠APC=120°，
当PB⊥AC时，PB长度最小,设垂足为D，如图所示：
此时PA=PC，
则AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°,∠ABD=∠ABC=30°，
∴PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，
∴PB=BD﹣PD=﹣ = ；
故答案为:．