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(完整版)二次函数为什么是中考代数部分最难点
《二次函数为什么是中考代数部分最难点》
——2015北京中考五大模块深度剖析之二次函数

根据2015年北京教育考试院下发的 《北京市高级中等学校招生考试说明——数学》得知，北京中考对二次函数的考试要求达到最高级别C级要求（Tips：C级要求通常以压轴题形式出现)，同学们应当引起重视。
北京中考每年主要有两道题目考查二次函数的知识(并且其中一道为压轴题目）,涉及分值11分左右，约占全卷总分值的10%,这一比例相当于普通章节的三倍，比重之大，可见一斑。
那么,北京中考对于二次函数的考查，难度系数到底有多大？考点又有哪些?需要掌握哪些解题方法和技巧？接下来，我们就二次函数在北京中考中的考察情况，为参加中考的同学做出以下3点分享:1、难度分析及考点分析;2、方法技巧提炼、针对最难点给出13个原创的题目进行针对性解决；3、限时巩固练习。
一、【二次函数为什么是中考代数部分的最难点？】

1、 二次函数主要以压轴题形式考查，难度高，得分率低

年份
题号
类型
分值
平均分
难度系数
2014
23
综合题
7分
3。64分
0.52
2014
25
综合题
8分
1。44分
0。18
2013
10
填空题
4分
3.24分
0。81
2013
23
综合题
7分
3.22分
0。46
2012
23
综合题
7分
3.01分
0.43
2011
7
选择题
4分
3。12分
0.78
2011
23
综合题
7分
3。08分
0.44
（部分数据来源:北京市教育考试院数据分析统计报告）

北京中考二次函数主要以综合题的形式考查，通常出现在整张试卷的倒数第三题。通过对近4年北京中考二次函数考查情况的分析，我们发现，二次函数综合题得分率低,难度系数小，约为0.4～0。5(Tips：难度系数越小，难度越大。中考数学整体难度系数约0。72。），属于中考数学的压轴题之一。

2、 二次函数综合性强,最后一问考查数形结合思想，区分度大

真题考查
考点
中考要求
分值
难度
2014中考23题(1）问
二次函数的图象和性质、解析式
B
1分
易
2014中考23题（2）问
二次函数与方程和不等式
C
5分
难
2013中考23题（3）问
二次函数与方程和不等式
C
3分
难
2012中考23题（1）问
二次函数的解析式
B
2分
易
2012中考23题(2）问
二次函数的图象和性质
B
1分
中
2012中考23题（3）问
二次函数与方程和不等式
C
3分
难
2011中考23题(1）问
二次函数的图象和性质
B
2分
易
2011中考23题（3）问
二次函数与方程和不等式
C
3分
难

结合2011-2014年的中考23题（Tips:二次函数综合压轴题），概括地说，二次函数综合压轴题是以函数为主线，结合一元二次方程的有关知识，运用几何图形的性质的综合性试题。二次函数综合题一般为3小问， 考点主要是两点:
I. 前两问是对开口方向、对称轴、顶点坐标、解析式等基础知识的考查，满分4分,考生平均分2.71分左右。（属于必拿分题目）
II. 最后一问是对二次函数与一次函数交点的情况、二次函数与方程不等式的关系等综合的考查，满分3分，考场平均分0.52分左右，最后一问是导致失分，拉开学生之间的差距的关键。（属压轴部分)

3、 如何突破二次函数的最难点,实现二次函数综合题满分？
通过对中考二次函数难度分析和考点分析，学而思北京中考研究中心给初三考生的建议是:
I. 二次函数综合题的第(1)问或前两问的正确率在60%以上，再结合2015年北京市教育考试院给出的关于中考改革的意见来看，今年中考综合难度会略有降低，意味着这两问难度继续降低，所以要参加中考的同学一定要把此题前两问分数拿到，以免被拉开差距.
II. 最后一问的正确率在20％以下，得分率低，难度大，这是二次函数压轴题的核心,也是整张试卷中起到中考选拔作用的题目，所以建议要参加中考的同学专项训练二次函数综合题最后一问的典型题目，总结归纳对应的解题方法和技巧.

那么怎么才能把最后一问的分数收入囊中呢?为帮助同学们顺利解决二次函数压轴题,学而思北京中考研究中心团队通过数百道真题分析，提炼两种方法技巧，原创13种变式题，为初三同学们带来权威、实用的解题秘籍。

二、【2个技巧13个原创变式解决二次函数最难点】

1、近两年考试真题剖析，方法技巧提炼
考查方式：从前几年所考二次函数的综合性问题可以看出，命题模式比较固定，都是给出一个含有字母系数的二次函数，通过某些条件确定这个二次函数的解析式,然后基于这个已知的二次函数讨论某个一次函数和它（或它的一部分或它的变化形式）的交点情况．(二次函数压轴题一般有3小问）

【二次函数压轴题第（1）(2）问的解决技巧】:

技巧1。 （1）若给出确定的解析式：
第一步:计算出对称轴（利用或者）
第二步：再利用因式分解或求根公式求出抛物线与坐标轴的交点
(2）若给出含字母系数的解析式:
第一步：根据各种特定的已知条件求出二次函数解析式（注意二次项系数不为0）；
第二步：求出对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标；
第三步：若求一次函数与二次函数的交点，只需把两解析式联立解方程组即可；
第四步：若有图像变换直接利用平移结论“上加下减，左加右减”,或对称公式来解决，
这些都是解决最后一问的前提．
注意：求抛物线对称轴最重要！对称轴和交点都定后,之后再怎么变化就都尽在掌握了．

【二次函数压轴题第（3）问的解决技巧】：

技巧2。 搞定它的秘籍首先就是精确作图，一定要用100％的耐心加细心把图象画好，这是中考说明中给出的A级，是最基本的要求,再找出临界点（临界点:图象边缘的两个点，不等式中恰好在边界的那些数值），利用临界点确定字母系数的值或取值范围。

【真题案例对比分析1-—2014年北京中考23题】
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点关于原点的对称点为,点是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在,之间的部分为图象（包含,两点）．若直线与图象有公共点，结合函数图象,求点纵坐标的取值范围．
技巧1。 给出含字母系数的解析式:那首先根据已知，两点坐标求出二次函数解析式。确定解析式后，直接计算出对称轴。
【解析】(1）∵ 经过点，
代入得：，∴
∴ 抛物线的表达式为
对称轴.
技巧2. 首先精确作图，再找到D点的临界位置，发现C点的纵坐标和顶点的纵坐标一样,那么D点最低就是顶点，再连接和发现哪条直线和对称轴交点比较高？显然是，问题就搞定了。直接代入解析式即可。
（2)
由题意可知，二次函数的最小值为，
由图象可以看出点纵坐标最小值即为，最大值即与对称轴交点。
直线的解析式
当时，
∴．

【真题案例对比分析2——2013年北京中考23题】
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求点，的坐标；
(2）设直线与直线关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；
（3)若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且在这一段位于直线的下方，求该抛物线的解析式．

技巧1。 解析式中只有一个字母系数,而且题干中提到了对称轴，那么直接利用求出对称轴．你看看，连续两年都考对称轴，它重要不重要？！你再看看2012年，一样也考！

【解析】(1）令，得，
则，
又对称轴，
则．
（2）由（1）可知，直线的解析式,
关于对称轴对称后的解析式为．
（3)技巧2。 第（3）问说了一堆什么这一段位于直线上方，那一段位于直线下方，是不是很晕很迷茫?精确作图就能搞定了．有没有发现其实整个图形是对称的,观察一下临界位置，就是我们刚才说过的不等式中恰好在边界的数值，，有没有发现什么？这么对称的图形，当然是发现对称点了，-1和3是关于对称轴对称的有木有?说明他们俩都恰好在抛物线上,哦了，问题搞定！

∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线在这一段与在这一段关于对称轴对称，
结合图象可以观察到抛物线在这一段位于直线l的上方,在这一段位于直线的下方，
∴抛物线与直线的交点的横坐标为，
当时,， 所以，抛物线过点，
当时，，解得，
∴抛物线的解析式为．
2、掌握13个原创变式，完胜二次函数中考最难点

根据近5年北京中考、一二模考试对于二次函数综合题（一般23题）的考查情况以及2015年北京市招生管理办公室和北京市教育考试院给出的关于中考改革的意见，学而思中考研究中心专家，根据历年此题最后一问的考查形式，原创了如下13个变式题目，帮助同学们熟悉考法并彻底掌握此类题型，轻松应对中考。

【例题】已知二次函数的图象与轴交于，，与轴交于．求该二次函数的解析式．

【考法1】——抛物线沿轴翻折与平移直线的交点问题 难度：★★

将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，另得到一个新的图象，请你结合新图象回答，直线与新图象的交点情况．
（2009北京中考对此考点有考察）
（2013丰台一模对此考点有考察)

【考法2】-—抛物线沿轴翻折与旋转直线的交点问题 难度: ★★★
将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象,请你结合图象回答,直线与新图象的交点情况．
（2012东城一模对此考点有考察）

【考法3】-—抛物线沿平行于轴的动直线翻折与平移直线的交点问题 难度：★★★★
将二次函数的图象在下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象,请你结合新图象回答，直线只有两个公共点时，的取值范围．
（2013海淀一模对此考点有考察）

【考法4】——抛物线沿轴翻折后再平移与定直线的交点问题 难度： ★★
将二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象,再将向上平移个单位，若图象与过且与轴平行的直线有4个交点，直接写出取值范围．
（2013顺义二模对此考点有考察）

【考法5】——抛物线部分沿轴翻折与平移直线的交点问题 难度：★★★
将二次函数轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变,得到一个新的图象，请你结合新图象回答，直线与新图象有两个交点时,的取值范围．
（2014东城一模对此考点有考察）

【考法6】——抛物线部分沿轴翻折与旋转直线的交点问题 难度：★★★
保留二次函数的图象在轴右侧的部分，同时将其关于轴作轴对称，得到的新图象为,若一次函数与图象有三个公共点，求的取值范围．
（学而思北京中考研究中心研发)

【考法7】—-抛物线部分沿平行于轴的直线翻折与平移直线的交点问题 难度：★★★
过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分翻折到直线下方,构成新的图象，若一次函数与图象有两个公共点，求的值．
（2012海淀二模对此考点有考察）

【考法8】——过定点的动直线和部分抛物线的交点问题 难度：★★★
若在二次函数图象上，过点的一次函数为，记抛物线在两点间的部分为，若一次函数与图象有公共点，求的取值范围．若点坐标改为，的取值范围又是什么?
（2014北京中考对此考点有考察）

【考法9】--平移抛物线和线段的交点问题 难度：★★
已知，，将二次函数向上或向下平移,若平移后的抛物线与线段始终有公共点，求平移距离的取值范围．
（2011东城一模对此考点有考察）

【考法10】——反比例函数与抛物线交点的范围问题 难度：★★
反比例函数的图象与二次函数的图象在第一象限的交点横坐标满足，求的取值范围．
（2014昌平一模对此考点有考察）

【考法11】—-部分抛物线和直线同向平移后的交点问题 难度:★★★★
二次函数的图象在两点间的部分记为，将图象向左平移个单位，同时将直线向下平移个单位，当平移后的直线与图象有公共点时，求的取值范围．
（2012北京中考对此考点有考察）

【考法12】—-一次函数的值与二次函数的值的大小关系及图象的位置关系 难度：★★
已知一次函数，若只有当时，一次函数的图象在二次函数的上方，求一次函数的解析式．

(2014顺义一模对此考点有考察)

【考法13】——抛物线和直线交点的位置关系问题 难度： ★★★
若抛物线向上平移个单位后与直线有两个交点且交点在其对称轴两侧,求的取值范围．
(2014石景山一模对此考点有考察）
三、【规定时间答题、检测巩固练习】
在中考中,本题要求学生作答时间为15分钟,你也限定时间赶紧测试下水平吧！

【测试1】已知二次函数
在和时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；
（3） 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧）,将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将(2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时,的取值范围。
（2012北京中考）

【测试2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1)求的取值范围;
（2）当取最小的整数时，求抛物线 的顶点坐标以及它与轴的交
点坐标；
(3)将(2）中求得的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象,并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值．
（2014燕山一模）

【变式题及测试题答案提示】
【题干】由二次函数图象与轴交于点，，
则二次函数解析式为，
又与轴交于点，
代入得解析式为．
【变式1】
解析：
∴交点为，。
代入
∴或
∴
联立

∴
∴综上所述
时，无交点
时，1个交点
或时，两个交点
，时，三个交点
时，四个交点

【变式2】
解析:交点为，
将交点代入
或

∴。
∴当或时,2个交点
当或时,1个交点
当或时，0个交点

【变式3】
解析:由题意画出图象
（1）联立
消得

∴
∴交点为
将交点代入中得

∴
（2）翻折后新图象中间部分的解析式为，
联立得
整理得

∴综上,当或时，与函数有两个公共点

【变式4】
解析:如图,翻折后顶点纵坐标为4，
∴时，有4个交点

【变式5】由题意画出图形
解析:原图象解析式与直线联立
消整理得

∴当时,有两个公共点

【变式6】　
解析:直线和轴左侧部分联立
整理得

直线和轴右侧部分联立
整理得

∴
∴或

【变式7】　
解析：联立原抛物线与直线解析式

∴或时，有两个公共点

【变式8】
解析：将点横坐标代入，得，
当直线过时,，
当直线过时，
则．
若点坐标改为，需要先考虑直线和抛物线相切的问题，
此时，，
当直线过时，
则．
【变式9】
解析:联立抛物线和直线
消整理得

抛物线平移后
将代入得
将代入得

记向上平移为正，则

【变式10】
解析：时,，
时,，
∴

【变式11】
解析：联立原抛物线和直线
消整理得，
，
则起始位置时直线和抛物线相切，
抛物线向左移后，
直线向下平移后
代入得
解得
代入得
解得
∴．

【变式12】
解析：将、分别代入二次函数解析式得
当时，
当时，
∵只有当时，一次函数的图象在二次函数的上方，
∴一次函数经过点，，
代入得
解得
∴．

【变式13】
解析：向上平移个单位后的解析式为
　由题意得时

∴

【测试1答案】
解析:⑴ 由题意可知依二次函数图象的对称轴为
则。
∴
∴
⑵ ∵因二次函数图象必经过点
∴
又一次函数的图象经过点
∴，∴

⑶ 由题意可知,点间的部分图象的解析式为，
则向左平移后得到的图象的解析式为

此时平移后的解析式为
由图象可知，平移后的直线与图象有公共点，
则两个临界的交点为与
则

∴
坐标为（3—n，0）

坐标为（-n-1,0）

A(-3，-6）此为两个函数的切点

【评价】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到的取值范围.

【测试2答案】
解析：(1）由题意，得，
∴． ∴的取值范围为． …………2分
（2）∵，且取最小的整数，∴．
∴，
则抛物线的顶点坐标为 …………………3分
∵的图象与轴相交,
∴,∴,
∴或，
∴抛物线与轴相交于,． …………4分
(3)翻折后所得新图象如图所示. …………5分
平移直线知： 直线位于和时，它与新图象有三
个不同的公共点
①当直线位于时，此时过点,
∴，即． ………………6分
② 当直线位于时,此时与函数
的图象有一个公共点，
∴方程,
即有两个相等实根,∴，
即． ………………7分
当时，满足，
由①②知或．