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第学期期中考试数学试题

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14

第 一学期期中考试
九年级数学试题

题号
一
二
三
总分
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

得分

选择题答题栏
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案

一、选择题〔本大题总分值30分，每题3分．每题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内 〕
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么tanA等于
A． B．1 C． D．
〔第2题图〕
α
2．如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线
OA上，射线OA与x轴的正半轴的夹角为α，那么
sinα等于
A． B．
C． D．
3．点A(－1，0)在抛物线y＝ax2＋2上，那么此抛物线的解析式为
A．y＝x2＋2 B．y＝x2－2 C．y＝－x2＋2 D．y＝－2x2＋2
4．抛物线y＝x2－4x＋5的顶点坐标是
A．(2，5) B．(－2，5) C．(2，1) D．(－2，1)
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6cm， cosB＝，那么BC等于
A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm

九年级数学试题〔四年制〕第1页〔共8页〕

6．抛物线y＝x2＋2x上三点A(－5，y1)，B(1，y2)，C(12，y3)，那么y1，y2，y3满足的关系式为
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
〔第7题图〕
7．如图，△ABC为格点三角形〔顶点皆在边长相等的
正方形网格的交叉点处〕，那么cosB等于
A． B．
C． D．
8．如果抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0，－2)，B(－1，1)两点，那么此抛物线经过
A．第一、二、三、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
9．假设抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与抛物线y＝x2－2关于x轴对称，那么抛物线C的解析式为
A．y＝x2－2 B．y＝－x2－2
C．y＝－x2＋2 D．y＝x2＋2
〔第10题图〕
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，
高CD＝3，那么sinA＋sinB等于
A． B．
C．1 D．

二、填空题〔本大题总分值15分，每题3分，请你将答案填写在题目中的横线上〕
11．计算：4sin30°－2cos30°＋tan60°＝ ．
12．将二次函数y＝x2－2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为 ．
13．抛物线y＝－x2＋2x＋3的顶点为P，与x轴的两个交点为A，B，那么△ABP的面积等于 ．

九年级数学试题〔四年制〕第2页〔共8页〕

14．如图，在一边靠墙〔墙足够长〕用120 m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积最大，那么每间鸡舍的长与宽分别是 m、 m．
〔第15题图〕
〔第14题图〕

15．如图，海中有一个小岛A， 它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行， 开始在A岛南偏西60° 的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30° 的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中 触礁的危险．〔填写：“有〞或“没有〞〕
参考数据：sin60°＝cos30°≈0.866 .

三、解答题 (本大题总分值55分， 解答要写出必要的文字说明或推演步骤)

16．〔此题总分值4分〕
在△ABC中，假设＋(1－tanB)2＝0，求∠C的度数．

17．〔此题总分值4分〕
关于x的二次函数y＝mx2－(2m－6)x＋m－2．
〔1〕假设该函数的图象与y轴的交点坐标是(0，3)，求m的值；
〔2〕假设该函数图象的对称轴是直线x＝2，求m的值．

九年级数学试题〔四年制〕第3页〔共8页〕

18．〔此题总分值4分〕
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a＝2，
b＝2，求c及∠B．

19．〔此题总分值4分〕
关于x的二次函数y＝x2－2kx＋k2＋3k－6，假设该函数图象的顶点在第四象限，求k的取值范围．

20．〔此题总分值6分〕
抛物线 y＝x2－4x＋c与直线y＝x＋k都经过原点O，它们的另一个交点为A．
〔1〕直接写出抛物线与直线的函数解析式；
〔2〕求出点A的坐标及线段OA的长度．

九年级数学试题〔四年制〕第4页〔共8页〕

21．〔此题总分值6分〕
A
C
B
D
〔第21题图〕
五月石榴红，枝头鸟儿歌. 一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处. 从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为米，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.

22．〔此题总分值6分〕
在小岛上有一观察站A．据测，灯塔B在观察站A北偏西45°的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？

〔第22题图〕

九年级数学试题〔四年制〕第5页〔共8页〕

23．〔此题总分值6分〕
如图，直线y＝x－3分别与y轴、x轴交于点A，B，抛物线y＝－x2＋2x＋2与y轴交于点C，此抛物线的对称轴分别与BC，x轴交于点P，Q．
〔第23题图〕
〔1〕求证：AB＝AC；
〔2〕求证：AP垂直平分线段BC．

九年级数学试题〔四年制〕第6页〔共8页〕

24．〔此题总分值7分〕
某商场销售一种进价为20元／台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w(台)与销售单价x(元)满足w＝－2x＋80，设销售这种台灯每天的利润为y〔元〕．
〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
〔3〕在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得150元的利润．应将销售单价定为多少元？

九年级数学试题〔四年制〕第7页〔共8页〕
25．〔此题总分值8分〕
在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3〔m＞0〕的图象与x轴交于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．
〔1〕求点A的坐标；
〔2〕当∠ABC＝45°时，求m的值；
〔第25题图〕
〔3〕一次函数y＝kx＋b，点P(n，0)是x轴上的一个动点，在〔2〕的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3〔m＞0〕的图象于点N．假设只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．〔友情提示：自画图形〕

〔第25题备用图〕

九年级数学试题〔四年制〕第8页〔共8页〕
2021—2021学年度第一学期期中考试
九年级数学试题〔四年制〕评分标准与参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．C 10．D
二、填空题
11．2 12．y＝x2＋4x＋3 13．8 14．30 20 15．没有

三、解答题
16．解：由题设，得 cosA＝，tanB＝1．……………………………………… 1分
∴ ∠A＝60°，∠B＝45°．……………………………………………………… 3分
∴ ∠C＝180°―∠A―∠B＝180°―60°―45°＝75°． …………………… 4分
17．解：〔1〕将x＝0，y＝3代入二次函数的表达式，得 m－2＝3． ……… 1分
解得 m＝5． ………………………………………………………………… 2分
〔2〕依题意，得 －＝2． 解得 m＝－3． …………………… 3分
经检验，m＝－3是上分式方程的根．故 m＝－3． ……………………… 4分
18．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
c2＝a2＋b2＝22＋＝42.
∴ c＝4. ………………………………………………………………… 2分
∵ sin B＝＝＝， ∴ ∠B＝60°．…………………… 4分
19．解：将二次函数的表达式配方，得 y＝(x－k)2＋3k－6.
∴ 二次函数图象的顶点坐标是〔k，3k－6).……………………………… 2分
∴ …………………………………………………………… 3分
解得 0＜k＜2. 故所求k的取值范围是0＜k＜2．……………………… 4分
20．解：〔1〕抛物线的函数解析式为y＝x2－4x. ……………………………… 1分
直线的函数解析式为y＝x. ……………………………………………… 2分
〔2〕解方程 x2－4x＝x，得x1＝0，x2＝5. …………………………… 3分
由题意知，x＝5是点A的横坐标.
∴ 点A的纵坐标y＝x＝5. …………………………………………………… 4分
∴ 点A的坐标是〔5，5). …………………………………………………… 5分
∴ OA＝＝5. ………………………………………………… 6分
21．解：作AE⊥CD于点E.
由题意可知：∠CAE＝30°，∠EAD＝45°，AE＝米. ………………… 1分

九年级数学试题答案

在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，即tan30°＝.
∴ CE＝tan30°＝×＝3(米) .………………………………… 2分
∴ AC＝2CE＝2×3＝6(米). ………………………………………………… 3分
在Rt△AED中，∠ADE＝90°－∠EAD＝90°－45°＝ 45°，
∴ DE＝AE＝(米). ……………………………………………………… 4分
∴ DC＝CE＋DE＝〔3＋〕米. ………………………………………… 5分
答：AC＝6米，DC＝〔3＋〕米. ……………………………………… 6分
22．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．…………………………………… 1分
∵ 灯塔B在观察站A北偏西45°的方向，灯塔C在B正东方向，
∴ ∠B＝45°．
〔第22题解答图〕
在Rt△BCD中，∵ sinB＝，
∴ CD＝BC·sin45°＝10×＝5〔海里〕．…… 3分
在Rt△ACD中， ∵ AC＝10，
．
即 ．∴ ∠CAD＝30°．……………………………… 5分
∠CAF＝∠BAF－∠CAD＝45°－30°＝15°．
答：灯塔C处在观察站A北偏西15°的方向． …………………… 6分
23．证明：〔1〕可求得A〔0，－3〕，B〔4，0〕，C〔0，2〕．
∴ OA＝3， OB＝4， OC＝2．
∴ AC＝OA＋OC＝5．
AB＝＝＝5．
∴ AB＝AC．…………………………………………………………………… 3分
〔2〕∵ 抛物线y＝－x2＋2x＋2的对称轴是直线x＝2，
∴ 点Q的坐标为〔2，0〕．∴ OQ＝BQ＝2．
∵ PQ∥y轴， ∴△BPQ∽△BCO．
∴ ＝＝＝．
∴ BP＝PC．…………………………………………………………………… 5分
又∵ AB＝AC， ∴ AP⊥BC．
九年级数学试题答案〔四年制〕第2页〔共3页〕
∴ AP垂直平分线段BC．……………………………………………………… 6分
说明：要证BP＝PC，也可利用勾股定理先求出BC的值，再利用三角函数求出BP的值．
24．解：〔1〕y＝(x－20)(－2x＋80) ＝－2x2＋120x－1600．
故所求y与x之间的函数关系式为y＝－2x2＋120x－1600．…………………… 2分
〔2〕∵ y＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200．
当x＝30时，y最大＝200．
∴ 当销售单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．………… 4分
〔3〕由题意，当y＝150时，即－2(x－30)2＋200＝150．
解得x1＝25，x2＝35．
又销售量w＝－2x＋80，－2＜0，销售量w随单价x的增大而减小，
故当x＝25时，既能保证销售量大，又可以每天获得150元的利润．………… 7分
〔第25题解答图①〕
〔第25题解答图②〕
25．解：〔1〕∵ 点A，B是二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3〔m＞0〕的图象与x轴的交点，
∴ 令y＝0，即mx2＋(m－3)x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝，又∵ 点A在点B左侧且m＞0，
∴ 点A的坐标为〔－1，0). ……………………… 3分
〔2〕由〔1〕可知点B的坐标为(，0).
∵ 二次函数的图象与y轴交于点C，
∴ 点C的坐标为(0 ，－3).
∵ ÐABC＝45°， ∴ ＝3. ∴ m＝1. …… 5分
〔3〕由〔2〕得，二次函数解析式为y＝x2－2x－3.
依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数
的图象交点的横坐标分别为 －2和2.
由此可得交点坐标为(－2，5)和(2， －3).
将交点坐标分别代入一次函数解析式y＝kx＋b 中，
得 －2k＋b＝5，且2k＋b＝－3.
解得k＝－2，b＝1.
∴ 一次函数的解析式为 y＝－2x＋1. ………………… 8分

说明：解答题假设有其他解法，应按步计分！