数列单调性及其判定.doc

数列的单调性及其判定河北省武安市邯郸学院武安分院 056300 贾书银数列是指按照一定规律排列的一列数，这种规律体现于数列的项与项数之间的关系，我们通常用通项公式去描述它；体现于数列的项与项之间的关系，我们通常用递推公式去描述它；体现于数列的整体趋势，我们通常用极限去描述它。而为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来做出判断。例如运用柯西收敛准则来判断；例如对于一个单调数列来说，如果它有界那么必然存在极限。所以能够对一个数列的单调性做出正确的判断，具有至关重要的作用。下面将对数列的单调性及其判定方法详加论述。定义：如果数列满足 则称数列为单调增加数列；如果数列满足 则称数列为单调减少数列。判定方法一：定义法例1 判断数列，的单调性。解：利用均值不等式： 或 数列为单调增加数列。数列为单调减少数列。 判定方法二：作差法例2 已知数列满足：，试判断数列的单调性。解：首先，；假设，则，所以由数学归纳法可知：任意，。其次，所以数列为单调增加数列。判定方法三：作商法例3已知数列满足：，试判断数列的单调性。解：显然 ，即数列为单调减少数列。判定方法四：数学归纳法例4已知数列满足：，试判断数列的单调性。解：；假设，则，即。由数学归纳法可知，数列为单调增加数列。判定方法五：作差法和数学归纳法的综合运用例5已知数列满足： ，试判断数列的单调性。 解：显然，解得当时，；当或时，。首先考虑时，；假设，则0，即由数学归纳法可知：数列为单调增加数列。 同理可得：或时，数列为单调减少数列。