高等数学练习参考答案.doc

习题7-1
1. 设u=a-b+2c, v=-a+3b-c. 试用a、b、c表示2u-3v .
解 2u-3v =2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)
=2a-2b+4c+3a-9b+3c
=5a-11b+7c.
2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形.
证 ; ,
而 , ,
所以 .
这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB//CD, 从而四边形ABCD是平行四边形.
3. 把DABC的BC边五等分, 设分点依次为D1、D2、D3、D4, 再把各分点与点A连接. 试以、表示向量、、、.
解 ,
,
,
.
4. 已知两点M1(0, 1, 2)和M2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量及.
解 ,
.
5. 求平行于向量a=(6, 7, -6)的单位向量.
解 ,
平行于向量a=(6, 7, -6)的单位向量为
或.
6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？
A(1, -2, 3); B(2, 3, -4); C(2, -3, -4); D(-2, -3, 1).
解 A在第四卦限, B在第五卦限, C在第八卦限, D在第三卦限.
7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置:
A(3, 4, 0); B(0, 4, 3); C(3, 0, 0); D(0, -1, 0).
解 在xOy面上, 点的坐标为(x, y, 0); 在yOz面上, 点的坐标为(0, y, z); 在zOx面上, 点的坐标为(x, 0, z).
在x轴上, 点的坐标为(x, 0, 0); 在y轴上, 点的坐标为(0, y, 0), 在z轴上, 点的坐标为(0, 0, z).
A在xOy面上, B在yOz面上, C在x轴上, D在y轴上.
8. 求点(a, b, c)关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.
解 (1)点(a, b, c)关于xOy面的对称点为(a, b, -c), 点(a, b, c)关于yOz面的对称点为(-a, b, c), 点(a, b, c)关于zOx面的对称点为(a, -b, c).
(2)点(a, b, c)关于x轴的对称点为(a, -b, -c), 点(a, b, c)关于y轴的对称点为(-a, b, -c), 点(a, b, c)关于z轴的对称点为(-a, -b, c).
(3)点(a, b, c)关于坐标原点的对称点为(-a, -b, -c).
9. 自点P0(x0, y0, z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.
解 在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x0, y0, 0)、(0, y0, z0)和(x0, 0, z0).
在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x0, 0, 0), (0, y0, 0)和(0, 0, z0).
10. 过点P0(x0, y0, z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
解 在所作的平行于z轴的直线上, 点的坐标为(x0, y0, z); 在所作的平行于xOy面的平面上, 点的坐标为(x, y, z0).
11. 一边长为a的立方体放置在xOy面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x轴和y轴上, 求它各顶点的坐标.
解 因为底面的对角线的长为, 所以立方体各顶点的坐标分别为
, , , ,
, , , .
12. 求点M(4, -3, 5)到各坐标轴的距离.
解 点M到x轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即
.
点M到y轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距
离, 即
.
点M到z轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即
.
13. 在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, -2, -2)和C(0, 5, 1)等距离的点.
解 设所求的点为P(0, y, z)与A、B、C等距离, 则
,
,
.
由题意, 有
,
即
解之得y=1, z=-2, 故所求点为(0, 1, -2).
14. 试证明以三点A(4, 1, 9)、B(10, -1, 6)、C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.
解 因为
,
,
,
所以, .
因此DABC是等腰直角三角形.
15. 设已知两点和M2(3, 0, 2). 计算向量的模、方向余弦和方向角.
解 ;
;
, , ;
, , .
16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0; (2)cosb=1; (3)cosa=cosb=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
解 (1)当cosa=0时, 向量垂直于x轴, 或者说是平行于yOz面.
(2)当cosb=1时, 向量的方向与y轴的正向一致, 垂直于zOx面.
(3)当cosa=cosb=0时, 向量垂直于x轴和y轴, 平行于z
轴, 垂直于xOy面.
17. 设向量r的模是4, 它与轴u的夹角是60°, 求r在轴
u上的投影.
解 .
18. 一向量的终点在点B(2, -1, 7), 它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4, -4, 7. 求这向量的起点A的坐标.
解 设点A的坐标为(x, y, z). 由已知得
,
解得x=-2, y=3, z=0. 点A的坐标为A(-2, 3, 0).
19. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k. 求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.
解 因为
a=4m+3n-p
=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k )
=13i+7j+15k,
所以a=4m+3n-p在x轴上的投影为13, 在y轴上的分向量7j .
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