一种可实现多运动模态的串并联机构的运动学分析.pdf

第 56 卷第 1 期郑 州 大 学 学 报(理 学 版)Vol.56 No.12024 年 1 月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Jan.2024收稿日期:2022-08-23基金项目:科技部重点研发计划项目(2020YFB1313701)。第一作者:曾庆山(1963),男,教授,主要从事机器人自动化研究,E-mail:qszeng 。通信作者:马飞凡(1998),女,硕士研究生,主要从事机器人运动学研究,E-mail:mafeifan1 。一种可实现多运动模态的串并联机构的运动学分析曾庆山,马飞凡(郑州大学 电气与信息工程学院河南 郑州 450001)摘要:串联机构灵活,工作空间大,并联机构稳定,承载能力强。串联和并联机构结合起来的混联机构兼具两者的优点,整体机构的灵活性高且工作空间大,可以实现多种运动模态,但运动学分析较复杂。提出了一种基于 3-RPS的新型串并混联机构,其可以实现多种运动模态。首先,阐述了机构的结构特性,建立了机构的坐标系;其次,根据机构特点,对其进行了正、逆运动学的分析,建立机构的正解和逆解模型;最后,通过数值算例进行验证,将理论计算结果与 Adams 仿真结果进行对比分析,结果表明,所构建运动学模型正确,且机构具有蜿蜒、伸缩等多模态运动功能。关键词:混联机构;3-RPS;位置正解;运动学;数值算例中图分类号:TB411文献标志码:A文章编号:1671-6841(2024)01-0025-07DOI:10.13705/j.issn.1671-6841.2022257Kinematic Analysis of a Series-parallel Mechanism that Enabled Multiple Motion ModesZENG Qingshan,MA Feifan(School of Electrical and Information Engineering,Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China)Abstract:The series mechanism was flexible and had a large working space,while the parallel mecha-nism was stable and had a high load-bearing capacity.The hybrid mechanism combined the advantages of both mechanisms,with high flexibility and large working space.And it realized a variety of motion modes,but the kinematic analysis was more complicated.A novel series-parallel hybrid mechanism based on 3-RPS was proposed,which could realized isokinetic modes.Firstly,the structural characteristics of the mechanism was described,and the coordinate system of the mechanism was established.Secondly,according to the characteristics of the mechanism,forward and inverse kinematics was analyzed,and the inverse and forward solution models of the mechanism was established.Finally,the theoretical calculation results were compared with the Adams simulation results by numerical calculation.The results showed that the constructed kinematics model was correct,and the mechanism had the functions of multi-modal mo-tion such as meandering and telescoping.Key words:hybrid organization;3-RPS;positive solution of position;kinematics;numerical example0引言随着机器人技术和理论的不断发展,基于串联、并联机器人的工业、商用、军工等发挥着越来越重要的作用。串联机器人具有灵活、工作空间大的特点。并联机器人1具有结构稳定、刚度大的特点。随着技术的不断发展,将并联与串联机器人结合而成的混联机构应运而生。混联机构大部分是由少自由度并联机构2和串联机构结合而成。郑 州 大 学 学 报(理 学 版)第 56 卷3-RPS 是少自由度并联机构中的典型机构,具有两个自由度的转动和一个自由度的移动,这类机构结构简单、易于控制、容易制造且应用很广泛,许多混联机构都采用这类机构作为并联部分本体。自1986 年 3-RPS 机构被 Hunt3教授提出后,经过长时间的发展改进,目前被广泛应用到机床、零件加工、流水线作业等。Lu 等4提出了一种求解 3-SPR 并联机器人位置和工作空间的方法。串并混联机构兼具串联、并联机构的优点,但其构型复杂,建模难度较高,国内外许多学者对混联机构进行了研究。Lu 等5提出了由两个 3-RPS 并联机构串联而成的六自由度混联机构。Lu 等6采用解析法对文献5提出的串并混联机构进行了深入研究。Gallardo 等7利用螺旋理论研究 2(3-RPS)串并结构的奇异位型。李伟等8提出了一种串并混联机器人的设计方案,并分析了该机器人的优势及应用场景。机构的位置分析是运动分析、受力分析、动力分析的基础9。机构分析中有位置正解和反解两个基本问题。大多数串联机构的正解求解简单,逆解求解复杂。并联机构位置的逆解简单,正解求解复杂,大多数采用封闭解法和数值解法10。而串并混联结构的位置分析则更复杂11。对于不同的构型,没有较为统一的方法。马春生等12提出了一种基于 3-SPR 的混联机构,分析逆运动学及其机构的工作空间,但没有分析混联机构的正解。李峰等13提出了一种针对 2(3-RPS)串并联机器人运动构型位置正解的解析算法,该方法复杂且求出的解不唯一。上述混联机构大多是两层并联机构串联而成,可以实现的功能有限,本文提出了一种新型 3-RPS+R+3-SPR 混联机构,该机构是由三部分串联而成,可作为爬行机器人的躯干结构,具有多种运动模态,例如转弯、伸缩等。本文对该机构进行了运动学分析,利用并联机构的几何约束求解机构位置逆解,分开求解混联机构的正运动学,便于正运动学的分析,并利用优化算法求解正解的值,避免了求解的不唯一。在 Adams 中建立机构虚拟样机进行仿真,与Matlab 理论计算作对比分析,并给出了具体的数值算例进行正、逆运动学验证。1机构构型描述1.1机构简介及坐标系建立为实现多种运动模态,本文提出了一种新型的串并混联机构,其 SolidWorks 模型如图 1 所示,机构简图如图 2 所示。该构型主要由三部分串联构成,下机 构 为 3-RPS,中 间 为 旋 转 关 节,上 机 构 为3-SPR。上、下机构可以伸缩进行蠕动,中间机构可以旋转,上、中、下机构协调运作可以实现蜿蜒。图 13-RPS+R+3-SPR 模型图Figure 1The 3-RPS+R+3-SPR model diagram图 23-RPS+R+3-SPR 串并联机构简图Figure 2The 3-RPS+R+3-SPR serial-parallel mechanism diagram3-RPS+R+3-SPR 结构一共有六个支链和四个平台。每个支链都是由转动副 R、移动副 P 及球副S 构成,四个平台由下至上依次记为 0,1,2,3 平台,各平台均是正三角形构成,中心点分别为 O0,O1,O2,O3,平台 0、3 的外接圆半径为 E,平台 1、2 的外接圆半径为 e,在平台 0 上建立坐标系 O0-X0Y0Z0,记作坐标系0。其中:X0轴平行于 A2A3轴;Z0竖直向上;依据右手螺旋法则可以得到 Y0轴。同理建立其他坐标系 O1-X1Y1Z1,O2-X2Y2Z2,O3-X3Y3Z3,并分别记为坐标系1,2,3。下机构 3-RPS 的下平台 端 点 为 Ai(i=1,2,3),其 上 平 台 端 点 为Bi(i=1,2,3),上 机 构 3-SPR 的 下 平 台 端 点 为Ci(i=1,2,3),其上平台端点为 Di(i=1,2,3),两个机构的上、下平台中间通过移动副 P 连接,下机62第 1 期曾庆山,等:一种可实现多运动模态的串并联机构的运动学分析构 3-RPS 的三个杆长为 l1i(i=1,2,3),上机构 3-SPR 的三个杆长为 l2i(i=1,2,3),该串并联机构的坐标轴 满 足 如 下 关 系:X0/A3A2,Y0 A3A2;X1/B3B2,Y1 B3B2;X2/C3C2,Y2 C3C2;X3/D3D2,Y3D3D2。机构满足的几何约束关系有:下机构 3-RPS 的转动副满足 R1i l1i(i=1,2,3);上机构 3-SPR 的转动副满足 R2i l2i(i=1,2,3)。2串并混联结构的逆运动学分析根据机构几何约束,进行位置逆解分析,位置逆解为已知动平台 3 的中心点位姿,求解混联机构六个驱动杆的长度。2.1逆运动学分析下层 3-RPS 并联机构的下平台各顶点 Ai在坐标系0中的坐标为A1=A1xA1yA1z()=0E0(),A2=A2xA2yA2z()=12qE-E 0(),A3=A3xA3yA3z()=-12qEE0(),(1)其中:q=3。下平台各顶点 Bi在坐标系1中的坐标为1B1=0e0(),1B2=12qe-e 0(),1B3=-12qee0()。(2)同理,可求出上层 3-SPR 并联机构的下平台各顶点 Ci在坐标系2中的坐标及上平台各顶点 Di在坐标系3中的坐标:2C1=0e0(),2C2=12qe-e 0(),2C3=-12qee0();(3)3D1=0E0(),3D2=12 qE-E 0(),3D3=-12qEE0()。(4)设10T 为平台 0 和 1 之间的坐标转换矩阵,O1为平台 1 的中心点在坐标系0的位置坐标。则下层3-RPS 并联机构的上平台顶点 Bi在坐标系0中表示为Bi=10T1Bi,(5)其中:10T=d11d12d13d21d22d23d31d32d33O101;O1=X1Y1Z1()。同理,上机构 3-SPR 的下平台各顶点 Ci在坐标系0中表示为Ci=10T21R2Ci+O2,(6)其中:21R=rot(z,)H01();O2=X2Y2Z2()T,为中间平台的旋转角度。30R 为坐标系3与坐标系0之间的旋转变换矩阵,O3为末端平台中心相对于坐标系0的位置坐标。设,为三个欧拉角,其中:是绕 X 轴旋转的角度;是绕 Y 轴旋转的角度;是绕 Z 轴旋转的角度,使用 Z-Y-X 型欧拉旋转,旋转变换矩阵30R 表示为30R=rot(z,)rot(y,)rot(x,)=cos cos sin sin cos +cos sin cos sin sin +sin sin cos sin sin sin sin +cos cos cos sin sin +sin cos sin sin cos cos cos,(7)上层3-SPR 并联机构的上平台各顶点 Di在坐标系0中为Di=30R3Di+O3=30T3Di,(8)其中:30R=xlylzlxmymzmxnynzn();O3=XYZ();30T=30RO301()。根据 3-RPS 和 3-SPR 的几何结构限制,3-RPS机构的转动副 R1i(i=1,2,3)为R11=100(),R12=121q0(),R13=12-1q0()。(9)上层 3-SPR 机构的转动副 R2i(i=1,2,3)为R21=30RR11,R22=30RR12,R23=30RR13。(10)根据并联机构的几何限制得R1i l1i(i=1,2,3)R1iBi-Ai(),(11)R2i l2i(i=1,2,3)R2iDi-Ci(),(12)代入式(11)可得B1x=0,B2x=-qB2y,B3x=qB3y,(13)代入式(12)可得72郑 州 大 学 学 报(理 学 版)第 56 卷xlxmxn()TD1x-C1xD1y-C1yD1z-C1z()=0,xl+qylxm+qymxn+qyn()TD2x-C2xD2y-C2yD2z-C2z()=0,-xl+qyl-xm+qym-xn+qyn()TD3x-C3xD3y-C3yD3z-C3z()=0,(14)则顶点 Bi在坐标系0下为B1=0B1yB1z(),B2=-qB2yB2yB2z(),B3=qB3yB3yB3z()。(15)根据顶点 Bi在坐标系0下的坐标可以求得坐标系0下与1的变换矩阵为O1=(B1+B2+B3)3=13q(B3y-B2y)B1y+B2y+B3yB1z+B2z+B3z,(16)y=(XB1-XO1)i+(YB1-YO1)j+(ZB1-ZO1)kB1-O1=(y1i+y2 j+y3k)/t1,x=(XB2-XB3)i+(YB2-YB3)j+(ZB2-ZB3)kB2-B3=(x1i+x2j+x3k)/t2,z=x y,(17)其中:t1=y21+y22+y23;t2=x21+x22+x23;y1=(q(B2y-B3y)3;y2=(2B1y-B2y-B3y)3;y3=(2B1z-B2z-B3z)3;x1=-q(B2y+B3y);x2=(B2y-B3y),x3=(B2z-B3z)。通过 Bi坐标可以表示出坐标系0和1之间的变换矩阵10T 为10T=xiyiziXO1xjyjzjYO1xkykzkZO10001,(18)将10T 代入式(6),得到上层 3-SPR 的下平台顶点 Ci坐标,将 Ci坐标代入几何限制方程式(12),可以得到三个关于 Bi坐标的方程,R2i30T3Di-(10T21R2Ci+O2)=0,i=1,2,3,(19)由于平台 1 和平台 2 是边长为 qe 的等边三角形,故满足B1-B2=B2-B3=B1-B3=qe,C1-C2=C1-C3=C2-C3=qe,(20)即(XB1-XB2)2+(YB1-YB2)2+(ZB1-ZB2)2=(qe)2,(XB1-XB3)2+(YB1-YB3)2+(ZB1-ZB3)2=(qe)2,(XB3-XB2)2+(YB3-YB2)2+(ZB3-ZB2)2=(qe)2,(XC1-XC2)2+(YC1-YC2)2+(ZC1-ZC2)2=(qe)2,(XC1-XC3)2+(YC1-YC3)2+(ZC1-ZC3)2=(qe)2,(XC3-XC2)2+(YC3-YC2)2+(ZC3-ZC2)2=(qe)2。(21)根据式(19)(21)的九个约束方程,给定末端平台 3 的位姿参数 X、Y、Z、,求解方程组,根据 Bi的约束条件(13),Bi被限制在三个平面内,根据约束条件及几何限制对约束方程组的求解值进行筛选,可求出唯一的 Bi坐标,利用式(6)进而求出Ci坐标。则整个混联机构的逆解为l1i=Ai-Bi,(i=1,2,3),(22)l2i=Ci-Di,(i=1,2,3)。(23)3串并混联机构的正运动学分析正运动学的求解是通过给定机构的杆长求解机构末端平台的位姿。对本文机构进行正运动学求解时,将其分为三部分,分别求出各部分的旋转变换矩阵,整体变换矩阵即为各部分变换矩阵的乘积。正解的计算采用优化算法求解,避免求解的不唯一。3.1 3-RPS 正运动学分析对于下层 3-RPS 并联机构,根据其几何结构,三个转动副均沿其同平面的三角形对边平行方向布置,转 动 副 轴 线 与 X 轴 的 夹 角 分 别 为 0、210、330。假设下层机构的各个杆与平台 0 的夹角为11、12、13,则下层 3-RPS 并联机构的上平台顶点Bi在坐标系0下的坐标为B1=0E-l11cos 11l11sin 11,B2=(E-l12cos 12)sin 120(E-l12cos 12)cos 120l12sin 12,82第 1 期曾庆山,等:一种可实现多运动模态的串并联机构的运动学分析B3=(E-l13cos 13)sin 240(E-l13cos 13)cos 240l13sin 13。(24)下层 3-RPS 并联机构的上平台端点 Bi满足式(20)。将式(24)中的 Bi坐标代入,得到三个关于夹角 11、12、13的非线性方程,求解这三个非线性方程可以使用解析法或者优化算法,解析法需要变量之间互相代换,将非线性方程转换成一元高次方程,求解过程烦琐复杂。本文采用改进的粒子群优化算法求解三个非线性方程,求解过程简便且能得到准确的结果。使用粒子群算法的步骤如下。1)根据三个方程构造出目标函数 f1、f2、f3。f1=B1-B2-(qe)2f2=B1-B3-(qe)2f3=B2-B3-(qe)2。(25)2)确定适应度函数F 11,12,13()=minf12+f22+f32。(26)3)初始化粒子群算法参数,包括学习因子、空间维数、种群规模数、最大迭代次数、参数的取值范围等。当给出三个杆长,即可计算出下层并联机构3-RPS 的三个杆长与平台 0 的夹角 1i,进一步可求出下层机构的三个顶点 B1、B2、B3坐标。已知顶点Bi坐标,即可求出 3-RPS 上平台的位姿矩阵10T,求解平台位姿矩阵过程如式(17)所述。3.2 3-SPR 正运动学分析与 3-RPS 类似,可以将 3-RPS 看成 3-SPR 的对称机构,在对其进行正运动学建模过程中,类比 3-RPS 的建模方法得到动平台的 3-SPR 的位姿矩阵。当给出上层机构的三个杆长 l2i,即可计算出夹角2i,可以求出上层 3-SPR 并联机构的位姿矩阵为32T=liminiXO2ljmjnjYO2lkmknkZO20001。(27)3.3中间关节正运动学分析对于中间旋转关节,给出旋转角度,及旋转关节高度,其位姿矩阵为21T。3.4串并混联机构正运动学求解分析正运动学总体分析过程如下:平台 0 和平台 3之间的旋转变换矩阵为三部分:下层的 3-RPS;中间的旋转关节及上层的 3-SPR。三部分变换矩阵的乘积为30T=10T21T32T=xiyiziXO1xjyjzjYO1xkykzkZO10001cos-sin 00sin cos 000 01H0 001liminiXO2ljmjnjYO2lkmknkZO20001。(28)当给出机构的杆长 l1i、l2i及中间平台的旋转角度,即可求出10T、21T、32T。整个混联机构的位置正解便可求出。4机构运动学仿真通过具体的数值算例对所建立串并混联机构运动学模型进行仿真验证,验证机构正、逆运动学模型。设定机构的参数为:e=6.25 cm;E=10.25 cm;中间旋转关节高度 H=10 cm。4.1逆运动学仿真验证给 定 末 端 平 台 的 位 姿=-19.059,=-13.001,=-30.282,X=-2.848 cm,Y=12.484 cm,Z=57.918 cm,中 间 关 节 旋 转 角 度=30。根据本文理论分析,编写 Matlab 程序,代入末端平台位姿,计算出混联机构的六个驱动杆杆长,见表 1。表 13-RPS+R+3-SPR 混联机构逆解算例Table 1Inverse solution calculation example of 3-RPS+R+3-SPR hybrid mechanism杆长理论计算/cm标准值/cm相对误差/%l1124.354 424.353 90.000 499 999l1228.281 728.280 90.000 800 001l1325.663 725.662 90.000 799 999l2124.353 324.353 9-0.000 599 990l2225.661 925.662 9-0.000 930 000l2326.971 226.971 9-0.000 700 000从逆解仿真验证的结果来看,将 Matlab 理论计算结果与标准值进行对比,其相对误差均在 110-3范围内,验证了位置逆解的正确性。4.2正运动学仿真验证在 SolidWorks 中建立混联机构的模型,将其导入 Admas 中,建立虚拟样机。添加各个关节的运动副,验证虚拟样机模型的正确性。对 Admas 中虚拟92郑 州 大 学 学 报(理 学 版)第 56 卷样机添加相应的驱动,得出正解模型的仿真结果。对于该结构正运动学的仿真验证,其流程图如图 3 所示。在 Adams 中给六个驱动杆添加一定的驱动函数以及中间旋转关节的驱动角度,可以通过仿真得到末端平台的位姿曲线。将驱动函数导出为样条函数,并作为理论计算的输入值,通过优化算法得到末端平台位姿曲线,将两种曲线对照,如图 4 所示。从图 4 中看出,一段时间内,机构杆长的变化导致末端平台中心点位姿的变化,图 4(a)(c)分别是 X、Y、Z 轴方向上的移动,图 4(d)(f)是分别绕X、Y、Z 轴的旋转角度变化。理论计算与仿真测量的曲线是吻合的,说明位置正解的正确性。机构在Z 方向上的移动可以实现伸缩运动,绕 X、Y、Z 轴的旋转,X、Y、Z 轴方向上的移动可以实现蜿蜒运动。图 3正运动学仿真验证流程图Figure 3Flow chart of forward kinematics simulation verification图 4末端平台位姿变化曲线Figure 4The end platform pose change对于本文结构的伸缩蠕动功能的仿真验证,其过程与蜿蜒运动类似,区别在于给出不同的驱动函数,使驱动杆伸长收缩来完成伸缩蠕动功能。平台0 作为定平台,驱动杆通过伸长或收缩可实现平台1、2、3 向前移动,在到达伸长状态后,末端平台固定,驱动杆使平台 0、1、2 向前收缩,完成蠕动。图 5给出结构作为机器人主体帮助机器人实现蠕动功能的实例。03第 1 期曾庆山,等:一种可实现多运动模态的串并联机构的运动学分析图 5蠕动步态实例Figure 5Diagram of peristaltic gait综上,本文机构可以实现多种运动方式,具有多运动模态 功能,可以 应用到工业、军事等特殊 的场合。5结论本文提出了一种新型 3-RPS+R+3-SPR 串并混联机构,该机构兼具串联和并联的优点,可实现蜿蜒、伸缩蠕动等功能。根据机构几何约束方程,建立了逆运动学模型,给出了该构型逆解的分析过程及具体数值算例。对于其正运动学正解,将整个机构分开进行分析,使得求解问题更有序,使用优化算法求解,避免了正解求解的复杂性和不唯一。最后,将利用 Admas 仿真测量与 Matlab 计算的理论模型得到的结果进行对比分析,验证了正运动学模型建立的正确性,结论表明该结构可以实现多种运动模态。参考文献:1刘辛军,谢福贵,汪劲松.并联机器人机构学基础M.北京:高等教育出版社,2018.LIU X J,XIE F G,WANG J S.Fundamental of parallel robotic mechanisms M.Beijing:Higher Education Press,2018.2胡波.基于约束力/矩的少自由度并联机构和串并联机构理论研究D.秦皇岛:燕山大学,2010.HU B.Theoritical study of limited-DOF parallel manipu-lators and serial-parallel manipulators based on constrain-ed force/torqueD.Qinhuangdao:Yanshan University,2010.3HUNT K H.Structural kinematics of In-parallel-actuated robot-arms J.Journal of mechanisms,transmissions,and automation in design,1983,105(4):705-712.4LU Y,ZHAO Y H.Position and workspace analyses of 3-SPR and 3-RPS parallel manipulatorsCProceedings of the ASME 2005 International Design Engineering Tech-nical Conferences and Computers and Information in Engi-neering Conference.New York:ASME Press,2005:957-962.5LU 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