一道等轴双曲线定值问题的探究.pdf

2024 年第 3 期(上半月刊)中学数学研究21一道等轴双曲线定值问题的探究华南师范大学数学科学学院(510631)邓清睿广州大学附属中学(510000)王守亮摘要针对 2023 年江西省景德镇、上饶等地名校联考的一道等轴双曲线问题,先给出三种求解方法,再探究等轴双曲线背景下两条线段 OP、OQ 所成角 POQ 与1|OP|4+1|OQ|4之间的关系,所成角 POQ 与 xPyPxQyQ之间的关系等,最后证明相关结论.关键词 等轴双曲线;夹角;线段;定值1 问题背景圆锥曲线问题是历年来热门的探究问题,主要涉及:求解各类曲线方程、求解最值问题、求解离心率取值范围以及定点定值的证明问题等.等轴双曲线是双曲线的特例,过去在等轴双曲线与其他几何图形位置关系的探究方面也取得了一些成果1-4,包括:等轴双曲线上四点共圆的充要条件;等轴双曲线上点到特殊点的距离成等比数列的延伸结论;等轴双曲线与圆交点距离平方和的定值问题及与特殊圆交点满足的几何关系;借助反比例函数探究等轴双曲线的相关问题等.本文仅针对第二问展开解法研究与问题推广.2 解法分析题目 已知等轴双曲线 C 的中心为坐标原点 O,焦点在x 轴上,且焦点到渐近线的距离为2.(2)若 C 上有两点 P,Q 满足 POQ=45,证明:1|OP|4+1|OQ|4是定值.第(1)问已得 C 的方程为 x2 y2=2,本文给出(2)的三种证明方法.证法1 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由|OP|2=x21+y21及x21y21=2,则x21=|OP|2+22,y21=|OP|2 22.同理可得 x22=|OQ|2+22,y22=|OQ|2 22.由 POQ=45,则图 1x1x2+y1y2=OP OQ=?OP?OQ?cos45=22?OP?OQ?,则y21y22=(22|OP|OQ|x1x2)2=12?OP?2?OQ?22x1x2?OP?OQ?+x21x22,所以|OP|2 22|OQ|2 22=12|OP|2|OQ|22x1x2|OP|OQ|+|OP|2+22|OQ|2+22.化简得|OP|2|OQ|2+2(|OP|2+|OQ|2)=22x1x2|OP|OQ|.两边平方|OP|2|OQ|2+2(|OP|2+|OQ|2)2=8x21x22|OP|2|OQ|2=8|OP|2+22|OQ|2+22|OP|2|OQ|2.次交于 D、E、G 三点,直线 GF 与直线 x=n(n=0)交于点 H,记 GEF、GHD 的面积分别为 S1、S2,双曲线的离心率为 e,则S1S2=|mn|e2.命题 6已知双曲线x2a2y2b2=1(a 0,b 0)和点F(0,m)(m=0),斜率存在且不为 0 的动直线与双曲线交于A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 AB、y 轴、x 轴依次交于 D、E、G 三点,直线 GF 与直线 y=n(n=0)交于点 H,记 GEF、GHD 的面积分别为 S1、S2,双曲线的离心率为 e,则S1S2=|mn|e2e2 1.命题 5、命题 6 的证明方法与命题 3 相同,略.参考文献1 高继浩.探究一类椭圆和双曲线试题中的三线斜率关系 J.数学通讯(下半月),2022(5):42-43+60.2 高继浩.探究一道两线关系的质检试题 J.中学数学教学,2021(3):36-37.22中学数学研究2024 年第 3 期(上半月刊)两边同除以|OP|4|OQ|4,有1+2(1|OP|2+1|OQ|2)2=2(1+2|OP|2)(1+2|OQ|2).注意到1+2(1|OP|2+1|OQ|2)2=1+4(1|OP|4+1|OQ|4+1|OP|2+1|OQ|2)+8|OP|2|OQ|2,且2(1+2|OP|2)(1+2|OQ|2)=2+4|OP|2+4|OQ|2+8|OP|2|OQ|2.则4|OP|4+4|OQ|4=1.故1|OP|4+1|OQ|4=14.注记 1证法 1 从向量的角度切入,用含|OP|、|OQ|的分式表示点 P、Q 的横、纵坐标,得到仅含|OP|2与|OQ|2关系的分式,最后进一步变形化简得到1|OP|4+1|OQ|4的定值.由于 POQ=45为特殊角且所求|OP|、|OQ|与原点相关,证法 1 思路清晰,计算量适中.证法2 设P(t1cos,t1sin),Q(t2cos(+4),t2sin(+4),则 t21cos2 t21sin2=2,故 t21=2cos2 sin2=2cos2.同理可得 t22=2cos(2+2)=2sin2.从而1|OP|4+1|OQ|4=1t41+1t42=cos224+sin224=14.注记 2 证法 2 巧妙地运用了参数方程,用含参变量 t1、t2及 的关系式分别表示点 P、Q 的横、纵坐标,进而消参求解,计算量比证法 1 少,且消参的关键在于 POQ=45.证法 3设直线 OP:kx=y(0 k 0),2POQ=4+k2(k Z),31|OP|4+1|OQ|4=1m2.结 论 2已 知 等 轴 双 曲 线 C 上 有 两 点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则已知以下任意两个命题条件可推出余下命题结论:1C:x2 y2=m 或 C:x2 y2=m(m 0),2POQ=4+k2(k Z),3x1x2y1y2=m24.结论 3已知等轴双曲线 C:x2 y2=m2(m 0)上 有 两 点 P(x1,y1),Q(x2,y2),记 点 N1(22m,0),N2(22m,0),则(kPN1 kPN2 1)2+(kQN1 kQN2 1)2=1 的充要条件为 POQ=4+k2(k Z).注记 5 事实上,N1(22m,0),N2(22m,0)分别为双曲线左右焦点与原点的中点.注记 6结论 1 和 2 结合在一起,说明:已知等轴双曲线 C:x2 y2=m 或 C:x2 y2=m(m 0)上有 两 点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 下 面 三 个 条 件 等 价:11|OP|4+1|OQ|4=1m2,2POQ=4+k2(k Z),3x1x2y1y2=m24.4 结论证明1.仅证明1、32与2、31.证明1、32.(仅证 C:x2 y2=m(m 0)的情形).可设P(t1cos,t1sin),Q(t2cos(+),t2sin(+),则 t21cos2 t21sin2=m,故 t21=mcos2 sin2=mcos2.同理可得 t22=mcos(2+2).从而1|OP|4+1|OQ|4=1t41+1t42=cos22m2+cos2(2+2)m2=1m2.那么 cos2(2+2)=sin22,则 2+2=2+2+k(k Z),即 =4+k2(k Z).证明2、31.不 妨 设 双 曲 线 方 程 为 x2 y2=(=0),直 线OP:kx=y(0 k 0)的情形)可 设 P(t1cos,t1sin),Q(t2cos(+4+k2),t2sin(+4+k2),则 t21cos2 t21sin2=m,故 t21=mcos2 sin2=mcos2.同理 t22=msin(2+k),x1x2y1y2=t21t22cossincos(+4+k2)sin(+4+k2)=t21t224sin2cos(2+k)=14mcos2msin(2+k)sin2cos(2+k)=m24.证明1、32.可设P(t1cos,t1sin),Q(t2cos(+),t2sin(+),则 t21cos2 t21sin2=m,故 t21=mcos2 sin2=mcos2.同理 t22=mcos(2+2).x1x2y1y2=t21t22cossincos(+)sin(+)=t21t224sin2sin(2+2)=14mcos2mcos(2+2)sin2sin(2+2)=m24,那么sin2sin(2+2)cos2cos(2+2)=1,从而 cos2cos(2+2)+sin2sin(2+2)=0,即 cos(2+2 2)=0,则=4+k2(k Z).当 C:x2 y2=m(m 0)时同样成立.证明2、31.不妨设双曲线方程为 x2 y2=(=0),直线 OP:kx=y(0 k 1),则 OQ:k 11+kx=y 或k+11 kx=y.当OQ:k 11+kx=y 时,由点P 在C 上,联立kx=y,x2 y2=,则 x21=1 k2,同理可得 x22=(1+k)24k.从而x1x2y1y2=k k 1k+1 x21x22=k k 1k+11 k2(1+k)24k=24=m24.故 =m.当 OQ:k+11 kx=y 时,x21=1 k2,x22=(1 k)24k,从而 x1x2y1y2=24=m24,故x2 y2=m(m=0).3.只证必要性.可 设 P(t1cos,t1sin),Q(t2cos(+4+k2),t2sin(+4+k2),则 t21cos2 t21sin2=m2,故 t21=m2cos2 sin2=m2cos2.同理 t22=m2cos(2+2+k)=m2sin(2+k),则kPN1 kPN2=t1sint1cos+22mt1sint1cos 22m=t21sin2t21cos212m2=m2cos21 cos22m2cos21+cos2212m2=1 cos21+cos2 cos2=1 cos2.同理 kQN1 kQN2=1+(1)ksin2,故(kPN1 kPN2 1)2+(kQN1 kQN2 1)2=1.参考文献1 魏国兵,王芬芬.等轴双曲线的一个优美性质从一道高三模拟试题谈起 J.中学数学月刊,2023(07):71-72.2 蔡立艳,姜坤崇.等轴双曲线的若干有趣性质 J.中学数学研究(华南师范大学版),2023(09):34-36.3 崔宝法.等轴双曲线和圆相交时的几个优美性质 J.中学数学月刊,2008(09):32-34.4 王志和,施海虹.等轴双曲线问题的一种简单解法 J.中学生数学,2015(07):50.