例谈“因动点产生的最值问题”的求解策略.pdf

2024 年第 2 期(下)中学数学研究39例谈“因动点产生的最值问题”的求解策略广东省江门市新会区睦洲中学(529143)黄秀焕摘要本文以近几年的中考题为例,借助添加辅助线的方法,破解因动点产生的最值问题,展现几何的魅力.关键词 初中几何;中考;动点;最值初中数学最值问题涉及的情境灵活多变,考查的知识点灵活多样.其中因动点产生的最值问题,除了题型复杂、知识点多外,更主要是能很好考查一个人运用方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想、分类讨论法、数形结合法等的能力.几何动点问题主要是以几何知识为载体,突出了对几何基本图形掌握情况的考查、数学逻辑思维能力和数学表达能力的考查.题型上变化多端,常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角相结合的综合性试题,所以因动点产生的最值问题常常会作为中考的热点压轴问题.本人结合授课经验及近年来的中考试题,围绕不同题型总结几种常用的求“因动点产生的最值问题”的求解方法,给学生留下深刻印象,从而使数学课堂更为积极有效,学生也能深入探究、触类旁通、举一反三,体验探究带来的快乐.1 单动点引出的求解线段和最小值例 1 如图 1,正方形 ABCD 的面积为 12,ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的和最小,则这个最小值是.图 1图 1图 1 解析:根据正方形的对称性,连接 BP,如图 1,得PD=PB,PD+PE=PB+PE;又 正方形ABCD 的面积为 12,AB=23,ABE 是等边三角形,BE=23;当 P 点运动到 P点位置的时候,如图 1,即 PB+PE=BE,此时,PD+PE 的值最小,最小值=BE=23.变式 1:如图 2,AB 是 O 的直径,AB=10,点 C 在O 上,CAB=30,点 D 为弧 BC 的中点,点 P 在直径AB 上运动,则 PC+PD 的最小值是.图 2图 2图 2 解析:根据圆的轴对称性:取点 D 关于 AB 的对称点D,如图 2,得 PD=PD;又因为在同圆或等圆中,等弧所对的圆心角相等求出 COD=90,连接 CD交 AB 于P,连接 PD,当 P 点运动到 P点位置时,如图 2 ,此时PC+PD=CD,PC+PD 的最小值=52.变式 2:如图 3,在 ABC 中,AB=5,AC=4,sinA=45,BDAC 交 AC 于点 D.点 P 为线段 BD 上的动点,则 PC+35PB 的最小值为.图 3图 3图 3 事实上,只要将直线 x=1 向左平移 1 个单位即可得到直线x=0,即是 y 轴.因此将函数 f(x)=x44x3+3x2+2x2的图像向左平移 1 个单位,即可得到函数 y=f(x+1).函数 y=f(x+1)为偶函数,故 y=f(x+1)图像关于直线x=0(y 轴)成轴对称图形.参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中数学程标准(2017 年版 2020 年修订)M.北京:人民教育出版社,2020.2 普通髙中教科书(A 版)数学必修第一册 M.北京:人民教育出版社,201940中学数学研究2024 年第 2 期(下)解析:过点 C 作 CNAB 于 N 交 BD 于 P,构造一个含 A 的直角三角形,如图 3,在 RtCAN 中,根据锐角三角函数,求出 CN=165;而题目要求 PC+35PB 的最小值,但35PB 究竟是多少呢?这时,我们必须学会转化,过点P 作 PMAB 于 M;在 RtPBM,根据三角形内角和定理等量代换出 BPM=A,再根据 sinA=45,从而求出35PB=PM,即 PC+35PB=PC+PM,当 P 点运动到P位置的时候,如图 3 ,PC+PM=CN,PC+35PB的最小值=CN=165.图 4图 4图 4 变式 3:如图 4,已知正方形 ABCD,边长为 23.点 E是线段 CD 上的一动点,则 BE+12DE 的最小值是.解析:如图 4,作 RtFDC,令 FDC=30,过点 E作 EMDF 于 M,则12DE=EM,所以求 BE+12DE的值转化为 BE+EM 的值;过点 B 作 BNDF 于 N,交 CD 于 E,当 E 点运动到 E点的位置时,如图 4,即 BE+12DE 的 最 小 值=BN,在 RtFDC 中,FDC=30,DFC=60,正方形 ABCD 的边长为23,BC=CD=23,CF=2,BF=23+2,BN=3+3,即 BE+12DE 的最小值 3+3.2 两动点引出的求线段和最小值例2 如图5,已知正方形ABCD 的边长为2,点E,F 分别是 BC,CD 边上的动点,且满足 BE=CF.则 AE+AF的最小值为.图 5图 5图 5 解析:连接 DE,如图 5,根据题意简单可证 AF=DE,在 AB 的延长线上取 A 点关于 BC 的对称点 G 点,则AE=GE,连接 EG、DG,当点 E 运动到 DG 与 BC 的相交位置时,如图 5 ,AE+AF=DE+EG=DG,正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2,AD=2,AG=4,DG=22+42=25,即 AE+AF 的最小值=25.例 3如图 6,AOB=45,角内有点 P,P0=10,在角的两边上两点 Q,R(均不同于 O 点),则 PQR 的周长的最小值为.图 6图 6图 6 解析:动线段(或定点)应居于动点轨迹的两侧,本题的三条动线段 PQ、PR、QR 在 OA、OB 的内侧.所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧,从而把三条动线段 PQ、PR、QR 转化为连接两点之间的路径.如图 6,把点 P 分别沿 OA、OB 作对称点 P、P,PQR 的周长转化为 PQ+QR+RP,这三条线段的和正是连接两个定点 P、P之间的路径,从而转化为 P、P两点之间的最短距径 PP,轴对称,AOB=45,PPP=90,OP=OP=10,PP=102,即 PQR 的周长最小值为 102.3 折叠引出的求解线段的最小值例 4 如图 7,在矩形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,P 为BC 边上的任意一点,把 PBE 沿 PE 折叠,得到 PFE,连接 CF.若 AB=10,BC=12,则 CF 的最小值为.图 7图 7图 7 解析:由题意可知:PBE 沿 PE 折叠,EF=BE=12AB=5;随着不同的折叠,F 点的轨迹是以E 点为圆心,BE 为半径的圆中的一部分,如图 7;所以求 CF 的最小值,立刻被转化为圆外一点跟圆上的点的距离中,最小距离是多少;连接 CE 交 E 于 F,当点 F 与点 F重合时,如图 7 ,此时 CF 的值最小,CF=CE EF=52+122 5=8.变式 1:如图 8,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3,BC=4,点 P 是 BC 边上一动点(点 P 不与 B,C 重合),连接 AP,作点 B 关于直线 AP 的对称点 M,则线段 MC的最小值为().A.2B.52C.3D.102024 年第 2 期(下)中学数学研究41图 8图 8图 8 解析:本题 M 点的轨迹是以 A 点为圆心,AB 为半径的圆的一部分,MC 最小=AC AM=32+42 3=2,故选 A.变式 2:如图 9,抛物线 y=x2+x+6 交 x 轴于 A、B 两点(A 在 B 的左侧),交 y 轴于点 C,点 D 是线段 AC 的中点,点 P 是线段 AB 上一个动点,APD 沿 DP 折叠得APD,则线段 AB 的最小值是.图 9图 9图 9 解析:这是一道二次函数中的三角形折叠问题,要解决这个问题,我们先利用二次函数的解析式求出函数与坐标轴的交点坐标 A(2,0),B(3,0),C(0,6),AB=5,AC=210;通过折叠可知,A点的运动轨迹是以 D点为圆心,AD 的长为半径的圆的一部分,如图 9,过点D 作 DMAB 于 M,连接 BD 交 D 于 K,根据三角形的中位线定理,DM=12OC=3,OM=12OA=1,BM=4,BD=5,当 A点与 K 点重合,如图 9 ,此时,AB 的值最小,AB=BD DA=5 10.4 通过动点轨迹,找到特殊位置,求解线段最小值例 5如图 10,有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,ABC=90,点 M,N 分别在射线BA,BC 上,MN 长度始终保持不变,MN=4,E 为 MN的中点,点 D 到 BA,BC 的距离分别为 4 和 2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离 DE 的最小值为.图 10图 10图 10 解析:根据题意点 E 的轨迹是在以点 B 为圆心,BE为半径的是圆上;连接 BD 交 B 于 E(如图 10),当 E点与 E重合时(如图 10 ),DE 的值最小,DE 最小值=BD BE=25 2.图 11图 11图 11 例 6如图 11,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,点E 是 AD 上的动点(不与端点重合),在矩形 ABCD 内找点F,使得 EFAD,且满足 AF2=AE AD,则线段 BF 的最小值是.解析:根据题意连接 DF,AF2=AE AD,EAF=FAD,AEF AFD,AFD=AEF=90,随着 E 点的运动,点 F 的轨迹是以 AD 为直径的半圆 O上,如图 11,点 O 是 AD 的中点,连接 OB 交 O 于 F,当点 F 运动到点 F的位置时,如图 11 ,此时 BF 的值最小,BF=OB OF=32+42 3=2.例 7 如图 12,在边长为 6 的正方形 ABCD 中,P 是边AD 的中点,E 是边 AB 上的一个动点(不与 A 重合),以线段 AE 为边的正方形内作等边 AEF,M 是边 EF 的中点,连接 PM,则在点 E 运动过程中,PM 的最小值是.图 12图 12图 12 解析:在等边 AEF 中,M 是边 EF 的中点,根据等腰三角形的三线合一定理,可以求出 MAE=30,随着 E点的运动,M 点的运动轨迹是 M 点在射线 AN 上,所以求PM 的最小值被转化为求直线外一点到直线的距离;如图12,过点 P 作 PMAN 于 M,当 M 点与 M点重合时,如图 12 ,此时 PM 的值最小.求 PM 的值就被转化为:在RtAPM 中,利用锐角三角函数或者勾股定理都可以求出PM=323.以上是我初中几何教学中的几点粗见.总之,我们要根据情况仔细分析,要大胆尝试、善于总结、勇于思考方能巧用辅助线,妙解几何题.