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2021年中考数学压轴题提升训练 实际问题中的方程与函数题型

2021年中考数学压轴题提升训练 实际问题中的方程与函数题型

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实际问题中的方程（组）与函数题型
【例1】俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%，在试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元.
（1）请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天的利润w最大？最大利润是多少元？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）y=300－10(x－44)，
整理得：y=－10x+740，（44≤x≤52）；
（2）由题意得：（x－40）（－10x+740）=2400，
解得：x=50，x=64（舍），
即当每本足球纪念册的销售单价是50元时，商店每天获利2400元.
（3）由题意得：w=（x－40）（－10x+740）
=－10（x－57）2+2890
∵－10<0，对称轴为x=57，
∴当x<57时，w随x增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x=52时，w取最大值，最大为2640元，
即当每本足球纪念册的销售单价是52元时，商店每天的利润最大，最大利润是2640元.
【例2】某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元，买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.
（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？
（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%，若购买以上两种牲畜共50头，并使这50头的成活率不低于97%，且要使购买的总费用最低，应如何购买？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设甲种牲畜的单价为x元，由题意得：
3x+2x+3000=7500，
解得：x=1100，
2×1100+200=2400，
即甲种牲畜的单价为1100元，乙种牲畜的单价为2400元.
（2）设购买甲种牲畜m头时，总购买费用为w元，
则w=1100m+2400（50－m）
=－1300m+120000，
由题意知：95%m+99%（50－m）≥97%×50，
解得：m≤25，
即0≤m≤25，
∵－1300<0，
∴w随m的增大而减小，
当m=25时，w取最小值，即费用最低，
∴购买两种牛各25头时，费用最低.
【变式2-1】水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）

【答案】见解析．
【解析】解：（1）设现在实际购进这种水果价格为每千克a元，则原来价格为每千克（a+2）元，由题意，得：80（a+2）＝88a，
解得：a＝20．
即现在实际购进这种水果每千克20元；
（2）①设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将（25，165），（35，55）代入y＝kx+b得，
，
解得：，
即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣11x+440；
②设这种水果的销售价格为x元/千克时，利润为w元，
则w＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣11x+440）
＝﹣11（x﹣30）2+1100，
∵﹣11<0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为1100．
即这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．
【例3】在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的机器人小度以3:1的总成绩，，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来．
某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？

【答案】见解析.
【解析】解：（1）设该商家第一次购进机器人x个，
由题意得：，
解得：x=100．
经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a元．
由题意得：a﹣11000﹣24000≥×20%，
解得：a≥140．
答：每个机器人的标价至少是140元．
【变式3-1】由于技术更新，智能电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的A款40英寸智能电视去年销售总额为5万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款40英寸智能电视每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款40英寸智能电视和新款B款40英寸智能电视共60台，且B款40英寸智能电视的进货数量不超过A款40英寸智能电视数量的两倍，应如何进货才能使这批智能电视获利最多？
A，B两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表：

A款40英寸智能电视
B款40英寸智能电视
进货价格（元）
1 100
1 400
销售价格（元）
今年的销售价格
2 000
【答案】见解析.
【解析】解：设今年A款40英寸智能电视每台售价为x元，则去年每台售价为（x+400）元，由题意得：
，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，符合题意，
∴今年A款40英寸智能电视每台售价为1600元.
（2）设购进A款电视a台，则购进B款（60－a）台，此时获利y元，
y=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）
=-100a+36000，
其中：60-a≤2a，0≤a≤60，
即20≤a≤60，且a为整数；
∵-100<0，
∴y随a的增大而减小，
当a=20时，y取最大值，
即当进A款电视20台，B款电视40台时，获利最大.
【例4】紫石中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树3棵香樟树共需360元，购买3棵桂花树2棵香樟树共需340元．
（1）桂花树香樟树的单价各多少？
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设桂花每棵x元，香樟树每棵y元，
由题意得：，
解得：x=60，y=80，
答：桂花树每棵60元，香樟树每棵80元.
（2）设桂花树购买x棵，则香樟树购买（150－a）棵，
由题意得：
，
解得：58≤x≤60，
∴有三种购买方案：桂花树58棵，香樟树92棵；桂花树59棵，香樟树91棵；桂花树60棵，香樟树90棵.
【变式4-1】冬季来临，某网店准备在厂家购进 A，B 两种暖手宝共 100 个用于销售，若购买 A 种暖手宝 8 个，B 种暖手宝 3 个，需要 950 元；若购买 A 种暖手宝 5 个，B 种暖手宝 6 个，则需要 800 元．
（1）购买 A，B 两种暖手宝每个各需多少元？
（2）①由于资金限制，用于购买这两种暖手宝的资金不能超过 7 650 元，设购买 A 种暖手宝 m 个，求 m 的取值范围；
②在①的条件下，购进 A 种暖手宝不能少于 50 个，则有哪几种购买方案？
（3）购买后，若一个 A 种暖手宝运费为 5 元，一个 B 种暖手宝运费为 4 元， 在第（2）问的各种购买方案中，购买 100 个暖手宝，哪一种购买方案所付的运费最少？最少运费是多少元？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设A、B两种暖手宝的价格分别为x元/个、y元/个，
由题意得：，
解得：x=100，y=50，
即A、B两种暖手宝的价格分别为100元/个,50元/个.
（2）①由题意得：
100m+50（100－m）≤7650，
解得：m≤53，
∴m的取值范围是：0≤m≤53，且m为整数；
②∵50≤m≤53，
∴共有以下四种购买方案，
A种50个，B种50个；A种51个，B种49个；A种52个，B种48个；A种53个，B种47个；
（3）设总运费为w元，则：
w=5m+4(100－m)=m+400，
∵1>0，
∴w随m的增大而增大，
当m=50时，运费最少，最少为450元，
∴当购买A种产品50个，B种产品50个时，总运费最少，最少为450元 .

1.为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户， 经市场调查得知，种植草莓不超过 20 亩时，所得利润 y（元）与种植面积 m（亩）满足关系式 y=1 500 m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过 15 亩时，每亩可获得利润 1800 元；超过 15 亩时，每亩获得利润 z（元）与种植面积 x（亩）之间的函数关系式为 z=－20x+2 100．
（1）设小王家种植 x 亩樱桃所获得的利润为 P 元，直接写出 P 关于 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果小王家计划承包40 亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积（x亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意得：

（2）种植樱桃面积x亩，则种植草莓面积（40－x）亩，
由题意知，
①当0<x≤15时，w=1800x+1380(40－x)+2400
=420x+57600,
∵420>0，
∴w随x的增大而增大，
当x=15时，w最大，最大值为63900，
②当15<x≤20时，w=－20x2+2100x+1380(40－x)+2400
=－20（x－18）2+64080，
∵－20<0，
∴当x=18时，w取最大值，最大值为64080，
∵64080>63900，
∴当x=18时，小王家总共获得的利润w取最大值，最大值为64080元.
2.某游乐园的门票销售分两类：一类个人门票，分为成人票，儿童票；一类为团体门票（一次购买门票 10 张及以上），每张门票在成人票价格基础上打 6 折．已知一个成人带两个儿童购门票需 80 元；两个成人带一个儿童购门票需 100 元．
（1）每张成人票和儿童票的价格分别是多少元？
（2）光明小学 4 名老师带领 x 名儿童到该游乐园，设购买门票需 y 元．
①若每人分别购票，求 y 与 x 之间的函数关系式；
②若购买团体票，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
③请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案．
【答案】见解析.
【解析】解：设成人票每张a元，儿童票每张b元，
由题意得：a+2b=80，2a+b=100，
解得：a=40，b=20，
即成人票每张40元，儿童票每张20元；
（2）①y=4×40+20x
=160+20x
②y=40×0.6（x+4）
=24x+96，
由x+4≥10，得x≥6，且x为整数.
③（i）当160+20x>24x+96,即x<16，
∴当6≤x<16且x为整数时，应全部购买团体票较为优惠；
（ii）当160+20x=24x+96,即x=16，
∴当x=16时，购买团体票或分别购买均可以；
（iii）当160+20x<24x+96,即x>16，
∴当x>16且x为整数时，应分别购买较为优惠.
3..近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加，某商场从厂家购进了 A，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
A 型销售数量（台）
B 型销售数量（台）
总利润（元）
5
3
950
3
4
900
（1）每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共 80 台，其中 B 型空气净化器的进货量不多于 A 型空气净化器的 2 倍，为使该公司销售完这 80 台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；
（3）已知 A 型空气净化器的净化能力为 200 m3/小时，B 型空气净化器的净化能力为 300 m3/小时，某长方体室内活动场地的总面积为 200 m2，室内墙高 3 m，该场地负责人计划购买 5 台空气净化器每天花费 30 分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，至多要购买 A 型空气净化器多少台？
【答案】见解析.
【解析】解：(1)设每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是x元，y元，
由题意得：，解得：x=100，y=150，
∴每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是100元，150元.
（2）设购买A型m台，则购进B型（80－x）台，利此时润为w元，
由题意知：80－m≤2m，0≤m≤80，m为整数
可得：≤m≤80，m为整数，
W=100m+150（80－m）
=－50m+12000，
∵－50<0，
∴w随m的增大而减小，
当m=27时，w取最大值，80－27=53，
即购进A型27台，B型53台时，售完后获利最大.
（3）设购买A型a台，则够买B型（5－a）台，
∴×200a+×300（5－a）≥200×3，
解得：a≤3，
∵0≤a≤5，
∴0≤a≤3，且a为整数，
即至多要购买A型空气净化器3台.
4.某水果店购买一批时令水果，在20天内销售完毕，店主将本次此销售数据绘制成函数图象，如图①，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图②，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式．
（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；
（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？

【答案】见解析．
【解析】解：（1）分两种情况：
①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，
∵直线y=k1x过点（15，45），
∴15k1=45，解得k1=3，
∴y=3x（0≤x≤15）；
②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，
∵点（15，45），（20，0）在y=k2x+b的图象上，
∴15k2+b=45， 20k2+b=0
解得：k2=－9，b=180
∴y=﹣9x+180（15＜x≤20）；
∴y与x之间的函数关系式为：y=．
①当0≤x＜10时，p=25，
当10≤x≤20时，设销售单价p与销售时间x之间的函数解析式为：p=mx+n，
∵点（10，25），（20，15）在p=mx+n的图象上，
∴10m+n=25，20m+n=15，
解得：m=－1，n=35，
∴p=﹣x+35（10≤x≤20），
∴p=；
（2）若日销售量不低于36千克，即y≥36．
当0≤x≤15时，y=3x，3x≥36，
解得：x≥12；
当15＜x≤20时，y=﹣9x+180，
﹣9x+180≥36，
解得：x≤16，
∴12≤x≤16，
∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）；
∵p=﹣x+35（10≤x≤20），
k=﹣1＜0，
∴p随x的增大而减小，
∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=﹣12+35=23．
∴此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售金额最高是第12天．
5..某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元；购买1个A品牌和2个B品牌的计算器共需124元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店举行促销活动，具体办法如下：购买A品牌计算器按原价的九折销售，购买B品牌计算器超出10个以上超出的部分按原价的八折销售．
①设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
②小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过10个，问购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设A品牌计算器的单价为m元，B品牌计算器的单价为n元，
由题意得：2m+n=122，m+2n=124，
解得：m=40，n=42，
即A品牌计算器的单价为40元，B品牌计算器的单价为42元．
（2）①由题意：y1=0.9×40x
=36x，
当0＜x≤10时，y2=42x；
当x＞10时，y2=42×10+42（x﹣10）×0.8
=33.6x+84．
∴y2=．
②当购买数量超过10个时，y2=33.6x+84．
（i）当y1＜y2时，36x＜33.6x+84，
即x＜35，
当10＜x＜35时，购买A品牌的计算器更合算；
（ii）当y1=y2时，36x=33.6x+84，
即x=35，
∴当x=35时，购买两种品牌的计算器花费一样多；
（iii）当y1＞y2时，36x＞33.6x+84，
即x＞35．
∴当x>35时，购买B品牌的计算器更合算．
6..某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，
根据题意，得：2x+y=56，x+2y=82，
解得：x=10，y=36，
即一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；
（2）由m≤3（50﹣m），得：m≤37.5，
∴0≤m≤37，且m为整数，
设购进A型跳绳m根，总费用为W元，
根据题意，得：W=10m+36（50﹣m）
=﹣26m+1800，
∵﹣26＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=37时，W最小=838，
即当购买A型跳绳37根，B型跳绳13根时，最省钱．
7..为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购进A种树苗a棵，所需费用为W，求W与x的函数关系式；
（3）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，
由题意得：80x+60（17﹣x ）＝1220，
解得：x＝10，
即购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
（2）W与a的函数关系式：
W＝80a+60（17﹣a）
＝20a+1020；
（3）由题意得：17－a<a，即a>8.5，
∴8.5<a≤17，且a为整数，
由（2）知，W＝20a+1020，
W随a的增大而增大，
∴a=9时，即购买9棵A种树苗，8棵B种树苗时，费用最少，
W＝80×9+60×8＝1200，
即购买9棵A种树苗，8棵B种树苗时，费用最少，需要1200元．
8..孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
（1）求A种，B种树木每棵各多少元？
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，
依题意得：，
解得：，
答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，
有a≥3（100﹣a），
解得：a≥75．
设实际花费金额是y元，则：
y＝0.9[100a+80（100﹣a）]
＝18a+7200．
∵18＞0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a＝75时，y取最小值，
即当a＝75时，y最小值＝18×75+7200＝8550（元）．
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．
9..某校计划购进甲、乙两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表：
规格
线下
线上
单价（元/个）
运费（元/个）
单价（元/个）
运费（元/个）
甲
240
0
210
20
乙
300
0
250
30
（1）如果在线下购买甲、乙两种书架共30个，花费8 280元，求甲、乙两种书架各购买了多少个？
（2）如果在线上购买甲、乙两种书架共30个，且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3倍，请求出花费最少的购买方案及花费．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设线下购买甲种书架x个，乙种书架y个，
由题意得：，
解得：，
即线下购买甲种书架12个，乙种书架18个.
（2）设购买甲种书架a个，则购买乙种书架（30－a）个，总花费为w元，
∵30－a≥3a，即a≤7.5（其中a为正整数），
W=（210+20）a+（250+30）（30－a）
=-50a+8400，
∵-50<0，
∴w随a的增大而减小，
当a=7时，w最小，最小值为8050元，
即当购买7个甲种书架，23个乙种书架时，总费用最低，最低为8050元.
10..某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
y与x之间的函数表达式是：y＝﹣2x+200；
（2）由题意得，
W＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
（3）∵W＝﹣2（x﹣70）2+1800，40≤x≤80，
∵﹣2<0，
∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，
且当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800.
11..小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：
信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；
信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：
生产甲产品数（件）
生产乙产品数（件）
所用时间（分钟）
10
10
350
30
20
850
信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．
信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；
（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟．
由题意得：，
解得：x=15，y=20，
即生产一件甲产品需要15分钟，生产一件乙产品需要20分钟．
（2）设生产甲种产品共用x分钟，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）=（12000－x）分钟，收入为w元，
则生产甲种产品件，生产乙种产品件．
∴w＝1.5×+2.8×
＝﹣0.04x+1680，
∵≥60，即：x≥900，
w＝﹣0.04x+1680中，∵﹣0.04<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝900时，w取得最大值，最大值为：1644元，
则小王该月收入最多是1644+1900＝3544元，
此时生产甲60件，乙555件，
∴小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60件，555件．
12..“京东电器”准备购进A、B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B每盏进价贵30元，A售价120元，B售价80元已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同．
（1）求A、B的进价；
（2）超市打算购进A、B台灯共100盏，要求A、B的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该超市决定对A台灯进行降价促销，A台灯每盏降价m（8＜m＜15），B的售价不变，超市如何进货获利最大？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设A品牌台灯进价为x元/盏，则B品牌台灯进价为（x﹣30）元/盏，
由题意得：，
解得：x=80，
经检验x＝80是原分式方程的解，
80﹣30＝50（元/盏），
答：A、B 两种品牌台灯的进价分别是 80 元/盏，50 元/盏
（2）设超市购进 A 品牌台灯 a盏，则购进 B 品牌台灯有（100﹣a）盏，
根据题意得：3400≤（120﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）≤3550
解得：40≤a≤55．
∵a 为整数，55－40+1=16，
∴该超市有 16 种进货方案
（3）设超市销售台灯所获总利润为 w元，
w＝（120﹣m﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）
＝（10﹣m）a+3000
∵8＜m＜15
①当 8＜m＜10 时，即 10﹣m＞0，w 随 a 的增大而增大，
当 a＝55 时，所获总利润 w 最大，
此时进货方案为：A 品牌台灯 55 盏、B 品牌台灯 45 盏；
②当 m＝10 时，w＝3000；
当 A 品牌台灯数量满足 40≤a≤55时，利润均为 3000元；
③当 10＜m＜15 时，即 10﹣m＜0，w 随 a 的增大而减小，
当 a＝40 时，所获总利润 w 最大，
此时进货方案为：A品牌台灯 40 盏、B 品牌台灯 60 盏.
13..为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元．
（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？
（2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩，求w关于m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入x万元，y万元，
由题意得：
解得：，
即种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入0.6万元，0.8万元.
（2）由题意得：
w＝0.8m+1.2×
＝﹣0.1m+150
∵≥0，
∴0≤m≤，
（3）∵m≥2×
解得：m≥100
在w＝﹣0.1m+150中，
∵﹣0.1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w取最大值为：140万元，
∴＝50
即当种A蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，获得最大利润为140万元．
14..2018年4月8日﹣11日，博鳌亚洲论坛2018年年会在海南省博鳌镇召开．本届博鳌亚洲论坛的主题为“开放创新的亚洲，繁荣发展的世界”．围绕这一主题，年会设置了“全球化与一带一路”“开放的亚洲”“创新”“改革再出发”四大板块，展开60多场正式讨论．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设甲种、乙种商品的销售单价分别是x元，y元，
由题意，得：
解得：x=900，y=600，．
答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元
（2）设销售甲种商品a万件，则销售乙种商品（8﹣a）万件，
由题意，得：900a+600（8﹣a）≥5400
解得：a≥2，
即至少销售甲种商品2万件．
15..某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元．
（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？
（2）该商店计划一次购进两种型号的手机共110部，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部，这110部手机的销售总利润为y元．
①求y关于n的函数关系式；
②该手机店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元，且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设每部A型手机的销售利润为x元，则每部B型手机的销售利润为（x－50）元，
根据题意，得：，
解得：x=150，
经检验：x=50是原方程的解，
150－50=100，
答：每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元；
（2）①设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，
则y＝150（110﹣n）+100n
＝﹣50n+16500，
∵110﹣n≤2n，
∴36≤n≤110且n为整数，
∴y关于n的函数关系式为y＝﹣50n+16500 （36≤n≤110且n为整数）；
②∵﹣50＜0，
∴y随n的增大而减小，
∴当n＝37时，y取得最大值，最大值为14650元，
答：购进A型手机73部、B型手机37部时，销售总利润最大；
（3）y＝150（110﹣n）+（100+m）n
＝（m﹣50）n+16500，
其中，36≤n≤80，且n为整数），
①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，
当n＝37时，y取得最大值，
即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；
②当m＝50时，m﹣50＝0，y＝16500，
n取36≤n≤80的整数时，获得最大利润；
③当50＜m＜100时，y随n的增大而增大，
∴当n＝80时，y取得最大值，
即购进A型手机30部、B型手机80部时销售总利润最大．
16..某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．
（1）求两种球拍每副各多少元？
（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，
由题意得，，
解得：，
答：直拍球拍每副220元，横拍球每副260元；
（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球（40﹣m）副，所需的费用为w元，
由题意得：m≤3（40﹣m），
即m≤30，
则w=（220+20）m+（260+20）（40﹣m）
=﹣40m+11200，
∵﹣40＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=30时，w取最小值，最小值为10000（元）．
答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球10副时，费用最少为10000元．
17..某学校计划购买排球、篮球，已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总费用为420元．
（1）求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？
（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60个，并且篮球的数量不超过排球数量的2倍．求至少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设每个排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，
由题意得：，
解得：，
即：每个排球的价格是60元，每个篮球的价格是120元；
（2）设购买排球m个，则购买篮球（60﹣m）个，总购买费用为w元，
由60﹣m≤2m，
得：m≥20，
w=60m+120（60－m）
=－60m+7200，
∴w随m的增大而减小，当m＝20时，购买排球、篮球的总费用最大，最大值为6000元．
18..母亲节前，某淘宝店从厂家购进某款网红礼盒，已知该款礼盒每个成本价为30元．经市场调查发现，该礼盒每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．当该款礼盒每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该款礼盒每个售价为55元时，每天可卖出150个．
（1）求y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）若该店老板想达到每天不低于240个的销售量，则该礼盒每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝kx+b，
由题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x+700；
（2）设每天的销售利润为W元，
W＝（x﹣30）（﹣10x+700）
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
由﹣10x+700≥240，得：x≤46，
即30＜x≤46，
∵﹣10＜0，
∴当x＜50时，W随x的增大而增大，
当x＝46时，W有最大值，最大利润是3840元，
答：该礼盒每个售价定为46元时，每天的销售利润最大，最大利润是3840元．
19..某小区2号楼对外销售，已知2号楼某单元共33层，一楼为商铺，只租不售，二楼以上价格如下：第16层售价为6000元/米2，从第16层起每上升一层，每平方米的售价提高30元，反之每